1. Вычислим е электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Предположим, что сферическая поверхность радиуса R несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда всюду одинакова 

Через произвольную точку, находящуюся на расстоянии r>R от центра сферы мысленно построим новую сферическую поверхность S,симметричную заряженной сфере. В соответствии с теоремой Гаусса

следовательно,

Для точек, находящихся на поверхности заряженной сферы радиуса R, по аналогии можно записать:

Любая замкнутая поверхность, построенная внутри заряженной сферы, не содержит внутри себя электрических зарядов, поэтому поток , согласно теореме Гаусса, равен нулю, а следовательно и величина напряженности электрического поля будет равна нулюЕ = 0.

2. Вычислим напряженность е поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью.

Пусть - поверхностная плотность заряда, находящегося на бесконечной плоскости. Из симметрии ясно, что линии вектораЕперпендикулярны плоскости и густота их везде одинакова. Построим замкнутую поверхность в виде цилиндра, боковая поверхность которого перпендикулярна плоскости.

Поток линий Е сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а во всех точках оснований Следовательно, полный поток будет равен потокучерез два основания цилиндра

- площадь оснований цилиндра.

Так как заряд, находящийся внутри цилиндра, равен то

Как следует из этой формулы, напряженность поля не зависит от расстояния до заряженной плоскости, т.е. поле бесконечной заряженной плоскости является однородным.

3. Вычислим напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными разноименно с одинаковыми плотностями.

Построим вектора иполей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Применяя принцип суперпозиции электрических полей, получим:

между плоскостями 

вне плоскостей  поле отсутствует

6. Метод изображений, его применение для расчёта полей по заданному распределению зарядов.

Метод изображений (метод зеркальных отображений) — один из методов математической физики, применяемый для решениякраевых задачдляуравнения Гельмгольца,уравнения Пуассона,волнового уравненияи некоторых других.

Суть метода изображений состоит в том, что исходная задача отыскания поля заданных (сторонних) источников в присутствии граничных поверхностей сводится к расчёту поля тех же и некоторых добавочных (фиктивных) источников в безграничной среде, которые помещаются вне области отыскания поля исходной задачи. Эти добавочные источники называются источниками-изображениями. Правила их построения полностью аналогичны тем, по которым строятся изображения точечных источников в оптике в системе зеркал(здесь зеркала повторяют форму граничных поверхностей). Величины источников-изображений определяютсяграничными условиямина поверхностях, а также требованиями одинаковости поля, создаваемого реальной системой источников и поверхностей, и системой, составленной из действительных источников и фиктивных источников-изображений в пространстве вблизи действительных источников.

С помощью метода изображений обычно решаются задачи, в которых каждому заданному точечному источнику можно сопоставить конечную систему (иногда бесконечный дискретный ряд) однотипных точечных источников-изображений. Поэтому наибольшее распространение метод изображений получил в электростатике. Также метод изображений можно распространить на более широкий класс границ и граничных условий в рамках метода геометрической оптики при достаточно малой длине волны и некоторых уточняющих его коротковолновых приближений. В этом случае он сводится к построению картины лучей и геометрооптических изображений.

Пусть точечный заряд расположен на расстоянии от проводящей плоскости. Требуется определить силу, с которой плоскость действует на заряд.

Введём равный и противоположный по знаку заряд-изображение с другой стороны плоскости на том же расстоянии. Сила притяжения между реальным зарядом и зарядом-изображением определяется по закону Кулона:

Пусть точечный заряд расположен на расстоянииот плоской границы раздела двух диэлектриков с проницаемостямии. Требуется определить силу, которая действует на заряд.

Введём заряд-изображение с другой стороны плоскости на том же расстоянии. Из закона преломления определим величину этого заряда:

Сила притяжения между реальным зарядом зарядом-изображением определяется по закону Кулона:

Справедливость метода зеркальных отображений доказывается с помощью теоремы единственности решения соответствующего дифференциального уравнения(уравнения Пуассонав случае электростатики) при определённыхграничных условиях.

Рис. 1. Положительный заряд над проводящей плоскостью и его отображение. Показаны лини электрического поля.

В электростатикеметод позволяет легко рассчитать распределение электрического поля в объёме между совокупностьюэлектрических зарядови проводящими поверхностями определённой формы, а также между электрическими зарядами идиэлектрическимиповерхностями. В простейшем случае, когда электрический заряд расположен над проводящейплоскостью(Рис. 1), электрическое поле между зарядом и поверхностью является идентичным полю между этим зарядом и его противоположно заряженным зеркальным отображением. Обоснованность такой замены вытекает из условия отсутствия тангенциальной составляющей векторанапряжённостиэлектрического поля на поверхности проводника, или, другими словами, вытекает из того, чтопотенциалполя одинаков в любой точке проводящей поверхности^[1]. Отсюда также очевидно, что сила взаимодействия между зарядом и плоскостью равна силе взаимодействия между фактическим зарядом и его зеркальным отображением, а также то, что эта сила взаимодействия является силой притяжения.

Рис. 2. Магнитный диполь над поверхностью идеального сверхпроводника и его отображение. Показаны линии индуцированного ими магнитного поля.

Аналогично метод зеркальных отображений позволяет рассчитать магнитное поле постоянных токов, находящихся над проводящей или диэлектрической плоскостью.

Кроме того, в магнитостатикеметод позволяет рассчитать магнитное поле в объёме между совокупностьюмагнитных диполей(или каким-либо источником внешнего магнитного поля) и поверхностью идеальногосверхпроводника(см.эффект Мейснера). Здесь, в простейшем случае магнитного диполя над сверхпроводящей плоскостью (Рис. 2), поле от экранированных сверхпроводящих токов вне сверхпроводника является эквивалентным полю отражённого диполя. Обоснованность вытекает из условия отсутствиянормальной составляющеймагнитного поля на поверхности сверхпроводника. Сила взаимодействия между магнитом и идеальным сверхпроводником является отталкивающей. Существует также обобщение метода —метод застывших зеркальных изображений, который применим также и к сверхпроводникам с сильнымпинингом.

Метод часто используют для расчёта других полей, например потоков жидкости или тепла.

7. Электроемкость системы тел, случай одного и двух тел, расчёт электроемкости (в простых случаях симметрии тел).

Рассмотрим систему, состоящею из двух проводников, заряды которых равны и противоположны по знаку или один заряжен, а другой нет. Если проводники удалены от других заряженных тел, то разница потенциалов (напряжение) между ними пропорционально заряду. И можно говорить о взаимной емкости двух проводников:

.

Взаимная емкость двух проводников зависит от их формы, размеров, взаимного расположения, а также от диэлектрических свойств окружающей их среды.

Практический интерес представляет система из двух проводников, форма и взаимное расположение которых таковы, что электростатическое поле этих проводников при сообщении им равных по абсолютному значению электрических зарядов полностью или почти полностью локализовано в ограниченной области пространства. такая система двух проводников называется конденсатором, а сами проводники – обкладками конденсатора. Электрическая емкость конденсатора представляет взаимную емкость его обкладок. Конденсаторы являются электрическими устройствами, способными быстро накапливать и отдавать заряд.

Промышленно выпускаемые конденсаторы классифицируются:

1) по форме обкладок: плоские, сферические, цилиндрические;

2) по типу примеряемого диэлектрика: воздушные, бумажные, керамические, оксидные и т.д.;

3) по схеме подключения: полярные и неполярные.

В полярных конденсаторах одну обкладку всегда подключают к «плюсу» другую к «минусу» источника тока. Полярные конденсаторы делятся на: электролитические оксидные и электрохимические (танталовые). Последние не являются принципиально конденсаторами. Танталовые конденсаторы представляют собой слабо инерционный аккумулятор. Анод (положительный полюс) которого изготовляют из серебра, а катод – из оксида тантала. Электролитом является раствор едкого натра (NaOH).

Рассмотрим три вида конденсаторов, отличающиеся формой обкладок: плоский, сферический и цилиндрический.

Плоский конденсатор состоит из двух параллельных металлических пластин, площадью S каждая, расположенных на близком расстоянии d одна от другой. Между пластинами диэлектрик с диэлектрической проницаемостью e. Для минимизации размеров пластины могут быть закручены в рулон и установлены в корпус. Применяя формулу для потенциала плоскости, можно получить емкость плоского конденсатора:

.

Сферический конденсатор состоит из концентрических сферических обкладок, радиусами R₁ и R₂>R₁. Применяя формулу напряженности электростатического поля сферы:

,

проводя интегрирование, находим напряжение на обкладках конденсатора:

.

Электрическая емкость сферического конденсатора:

.

Цилиндрический конденсатор состоит из двух тонкостенных металлических цилиндров радиусами R₁ и R₂>R₁ и высотой h, коаксиально вставленных друг в друга. Проводя вычисления, аналогичные как и для сферического конденсатора, получим емкость цилиндрического конденсатора:

.

Из формул видно, что электрическая емкость конденсатора, заполненного однородным изотропным диэлектриком прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости этого диэлектрика. Соответственно, кроме емкости у конденсатора должна быть еще и характеристика, связанная с пробивным напряжением. Обычно на конденсаторах указываются две величины – емкость и рабочее напряжение, значение которого как минимум в два раза меньше пробивного напряжения применяемого диэлектрика.

Для увеличения емкости, конденсаторы соединяют в батарею параллельно (рис. 7а). При параллельном соединении конденсаторов, в силу закона сохранения заряда, заряды на конденсаторах батареи складываются, а напряжение на обкладках остается постоянным. Соответственно, емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей каждого:

.

При последовательном соединении конденсаторов (см. рис. 7б), в силу закона сохранения заряда, заряд батареи остается постоянным, а напряжения на обкладках складывается в напряжение на батарее. Соответственно, обратная емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов равна сумме обратных емкостей каждого:

.

Электрическая емкость последовательной батареи конденсаторов меньше емкости любого из них, вкаченных в батарею.

8. Электрический диполь, его дипольный момент. Распределение потенциала в поле, создаваемое электрическим диполем. Сила и момент силы, действующие на диполь, помещенный во внешнее поле.

Электрическим диполем называют систему двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов и , расстояние между которыми значительно меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя (рис. 17.3)

В соответствии с принципом суперпозиции потенциал поля в некоторой точке А равен: .

Пусть точка А выбрана так, что длина намного меньше расстоянийи. В этом случае можно положить, что;и формулу для потенциала диполяможно переписать:

	где - угол между осью диполя и направлением к точке А, проведенным от диполя. Произведениеназываетсяэлектрическим моментом диполя или дипольным моментом. Вектор направлен по оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Таким образом, произведениев формуле дляявляется дипольным моментоми соответственно:
Рис. 17.3

Потенциал поля диполя пропорционален дипольному моменту , косинусуи обратно пропорционален квадрату расстояния от диполя до рассматриваемой точки, т.е. потенциал диполя, убывает быстрее с расстоянием, чем потенциал точечного заряда.

Момент сил, действующий на диполь во внешнем электрическом поле.

Поместим диполь в электрическое поле (рис. 17.4). Пусть направление диполя составляет с направлением вектора напряженности некоторый угол. На отрицательный заряд действует сила, направленная против поля, на положительный заряд действует сила, направленная вдоль поля.
	Рис. 17.4

Эти силы образуют пару сил с вращающим моментом:

.

В векторном виде:

Диполь в однородном внешнем поле поворачивается под действием вращающего момента таким образом, чтобы сила, действующая на положительный заряд диполя, совпадала по направлению с вектором и осью диполя. Этому положению соответствуети