2003_МИРЗАДЖАНЗАДЕ А.Хи др.-Основы технологии добычи г / 3

ся пузырька оказываются неодинаковыми. Это приводит к появлению дополнительного перепада давления, направленного против движения. Зависимость v îò ∆p/l в данном случае будет иметь вид кривой 1 íà ðèñ. 3.13.

Жидкости, для которых зависимость v îò ∆p/l соответствует кривой 2 на рис. 3.13, характеризуются переменной вязкостью (точнее, с увеличением скорости движения эффективная вязкость уменьшается). Течение таких жидкостей в пористой среде обычно описывается степенным законом фильтрации вида

ãäå à, n – некоторые положительные константы, определяемые по опытным данным; | p| – модуль градиента давления.

Любой физический закон должен быть инвариантным по отношению к определенным преобразованиям и свойствам. Для пояснения покажем, что второй закон Ньютона (сохранение импульса замкнутой механической системы) связан с однородностью пространства. Рассмотрим функцию Лагранжа системы материальных точек

ãäå mi, vi – масса и скорость i-й точки; U – потенциальная функция системы. В силу однородности пространства механические свойства замкнутой

системы не изменяются при любом параллельном переносе этой системы как целого в пространстве или, что то же самое, при любом переносе начала координат. Параллельный перенос означает, что все радиусы-векторы системы изменяются на одну и ту же величину ri → ri + ε . Изменение функции L в результате бесконечно малого изменения координат при неизменных скоростях частиц

В силу произвольности ε требование δL = 0, что соответствует неизменности механических свойств системы, равнозначно условию

Известно, что с использованием функции Лагранжа уравнения движения записываются в виде

Сопоставляя выражения (3.32) и (3.33), получаем

Отсюда следует, что импульс замкнутой механической системы постоянен во времени:

272

∑ mi vi = const.

t

Закон фильтрации (3.29) должен отвечать инвариантности относительно поворота осей, т.е. изотропности пространства.

В одномерном случае закон (3.29) принимает вид

Очевидно, что случай n > 1 соответствует кривой 2 на рис. 3.13. Уменьшение эффективной вязкости системы при увеличении скорости движения связано с разрушением внутренней структуры жидкости, в частности с ослаблением межмолекулярных связей и преимущественной ориентацией макромолекул высокомолекулярных компонентов и других надмолекулярных образований вдоль линий тока. При n < 1 получаем зависимость типа 3 (см. рис. 3.13). Такое поведение характерно для вязкоупругих систем при движении в пористой среде. Об этом подробнее будет сказано далее.

3.8. ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА В ПОЛЗУЧИХ СРЕДАХ

При фильтрации жидкости или газа в пористых (или трещиноватых, тре- щиновато-пористых) средах на характеристики течения существенно влияет деформация горных пород. Экспериментальному исследованию деформационных свойств нефтегазосодержащих пластов в связи с фильтрацией в них жидкостей и газов посвящено множество работ. Развитая в этих исследованиях теория исходит из предположения о мгновенной связи между деформациями и напряжениями, возникающими в горных породах. В то же время известно, что деформация горных пород имеет релаксационный характер. Это подтверждено экспериментальными исследованиями, в которых приведены результаты изуче- ния зависимости деформации от времени для различных пород. Время релаксации в экспериментах изменялось в широких пределах (от нескольких часов до нескольких лет).

Анализ разработки конкретных месторождений показывает, что во многих случаях обнаруживается несоответствие наблюдаемых и расчетных данных. Например, по результатам газодинамических исследований скважин Оренбургского и Вуктыльского месторождений время стабилизации давлений часто достигает 10 сут и более, а иногда даже и нескольких месяцев. Эти значения намного превышают расчетные времена, определенные по формулам теории упругого режима фильтрации. Приведенные факты свидетельствуют о необходимости учитывать в расчетах фильтрационные течения релаксационного характера и происходящие при этом деформации пород.

Рассмотрим основные соотношения, описывающие изменение фильтрационных параметров пород-коллекторов в зависимости от нагрузки. Предположим, что зависимость между параметрами среды и действующими напряжениями является линейной. Для учета объемной ползучести горных пород по аналогии с методами теории ползучести можно записать:

273

t

Fi u ≡ ∫Fi (t − τ)u(τ)dτ, i = 1, 2.

0

Здесь F1, F2 – ядра ползучести, являющиеся характеристиками горной породы; ð – внутрипоровое давление; ð0 – некоторое пластовое давление, принятое за начало отсчета.

Соотношения (3.35) – естественное обобщение известной модели в теории фильтрации с мгновенной связью между деформациями и напряжениями для проницаемости k и пористости m и записаны для случая, когда пластическими деформациями можно пренебречь. Вид функций F1(t), F2(t) определяют экспериментально.

В предположении о справедливости закона Дарси для капельной жидкости при ρ = ρ0[1 + β(ð – ð0)] уравнение фильтрации сжимаемой жидкости в ползу- чей среде имеет вид

где µ, ρ – вязкость и плотность жидкости.

Учитывая, что в реальном диапазоне изменения внутрипорового давления относительные деформации пород малы, и пренебрегая величинами второго порядка малости, из уравнения (3.36) получаем

Рассмотрим частные случаи уравнения (3.37). Для расчета стабилизации фильтрационного потока существенное значение имеет изменение проницаемости в зависимости от давления, тогда как изменением пористости практически можно пренебречь. При этих условиях в уравнении (3.37) следует положить

F2 = 0.

Для расчетов изменения давления при прекращении фильтрации существенным становится изменение пористости. Уравнение для этого случая можно получить из уравнения (3.37) при F1 = 0.

Рассмотрим теперь фильтрацию идеального газа, уравнение состояния которого ρ = ñð. Аналогично (3.37) получаем

Предположим, что решения (3.38) близки к решению следующего линейного (относительно квадрата давления) уравнения:

x = k0 p0(m0 µ)–1; µ = const.

При стабилизации расхода процесс фильтрации газа описывается уравнением (3.36) при F2 = 0.

В случае изменения давления при прекращении фильтрации газа в уравнении (3.36) следует положить F1 = 0.

274

Граничные условия для уравнений типа (3.36)—(3.39) формулируют обыч- ным образом. При формулировке начальных условий следует учитывать исходное распределение давления, так как в соотношениях (3.35) за исходное принято фиксированное значение внутрипорового давления. Например, при пуске скважины начальное условие записывают в виде ð = ð0 ïðè t = 0, а уравнения (3.36)–(3.38) сохраняют свой вид.

В общем случае, когда начальное распределение давления отлично от ð0, соотношения (3.35) следует несколько видоизменить. При этом характер изменения давления и расхода при повышении и снижении внутрипорового давления оказывается различным.

Рассмотрим задачу о пуске скважины с постоянным расходом в осесимметричном случае. Радиус скважины обозначим rc, радиус пласта R.

Предположим, что функции Fi(t) в соотношениях (3.35) имеют вид

Проинтегрировав это уравнение и использовав (3.41) с учетом rc << R, íàé-

äåì

Здесь начальное условие при t = 0 для функции f получено из начального условия в среднем ð(0) = 0.

Для решения уравнения (3.44) поступим следующим образом. Так как усредненное давление ð(t) изменяется от нуля до q0/2, положим в соотношениях (3.42) ð(t) = –q0/4. Тогда

275

k(t) = k0 {1 − 14 q0k1[1 − exp(−γ1t)]}.

Подставив выражение для k(t) в (3.44) и проинтегрировав, определим давление в скважине:

что совпадает с формулами для упругого режима фильтрации с характерным временем T = R2(8õ).

При больших t

Характерное время Ò2 этого процесса определяется не только параметрами системы (R1, k0, k1, γ1), но и расходом q0. При его увеличении время стабилизации давления возрастает.

При исследовании фильтрации природных газов характерна задача о восстановлении давления в скважине, работавшей до остановки с постоянным расходом. Решение этой задачи используется для определения фильтрационных параметров пластов. Положим, что ядра Fi(t) имеют вид

ãäå m1 > 0 – некоторый параметр; γ2−1 – время релаксации породы.

Для расчета восстановления давления необходимо использовать уравнение (3.39), которое с учетом выражений (3.49) принимает вид

Уравнение (3.50) решается при условиях: t = 0; p2 = q0 ln (r/R); r = rc, ∂p2/∂r = 0; r = R; p2 = 0.

Применив для решения этой задачи преобразование Лапласа по времени, получим в пространстве изображений решение в виде

n2 = Sx−1[1 + 2p0 m1(S + γ2 )−1],

ãäå U(r, S) – изображение функции ð2(r, t); S – параметр преобразования Лапласа; K0, K1, J0, J1 – стандартные обозначения функций Бесселя.

Тогда для изменения давления на скважине получим асимптотическое выражение

276

ð02 − ð2 (rc, t) = [Aexp(δ, t) + (1 − A) exp(δ2 t)]q0 ;

(3.52)

Из выражений (3.52) следует, что существуют два асимптотических представления для изменения давления на скважине:

Íà ðèñ. 3.14, à, á представлена КВД, снятая на одной из скважин Оренбургского газоконденсатного месторождения, построенная в координатах

X = ln [(p02 − p2 )q0−1] è Y = ln [(p02 − p2 ) q0−1 −1 + A] .

Отметим, что в течение 3 сут восстановилось примерно две трети начального перепада давления (ð = 19,8 МПа). Как уже отмечалось, столь длительное время восстановления давления трудно объяснить исходя из обычных уравнений упругого режима.

Обработка КВД по формулам (3.53), (3.54) дала γ2 = 4,3 10–6 ñ–1; 4x2 = = 1,4 10–5 ñ–1; m1 = 3,4 10–7 ÌÏà–1. Как видно, время релаксации породы намного больше времени гидродинамического перераспределения давления в пласте.

С использованием полученных данных можно оценить коэффициент сжимаемости порового объема. Действительно, из соотношений (3.35) следует, что при создании постоянной нагрузки изменение пористости

В рассмотренном случае коэффициент сжимаемости βï = 8 10–2 ÌÏà–1. Äëÿ

Рис. 3.14. Кривая восстановления давления:

à – Õ = ln (p02 − p2 )q0−1; á – Y = ln[(p02 − p2 )q0−1 − 1 + A]

277

известняков βï изменяется от 10–1 äî 10–3 ÌÏà–1. Газосодержащие породы Оренбургского месторождения представлены трещиновато-пористыми карбонатными породами. Обработка результатов газодинамических исследований большого числа скважин этого месторождения показала, что параметр βï изменяется от 10–1 äî 10–2 МПа, что достаточно хорошо согласуется с известными данными.

Следует отметить, что увеличение времени переходных процессов в пластах обусловливается различными физическими причинами. В частности, релаксационный эффект можно объяснить двойной пористостью или межпластовыми перетоками газа или жидкости, поэтому модель для описания фильтрации необходимо выбирать с учетом имеющейся геологической, геофизической и другой информации о залежи.

Как уже было сказано, пласт представлен трещиновато-пористой средой, однако характерные времена релаксации, определенные в соответствии с теорией фильтрации в среде с двойной пористостью [13], оказываются значительно меньше, чем полученные в рассмотренных примерах. Это говорит о необходимости учета ползучести пород при фильтрационных расчетах и возможности трактовки пласта месторождения как обычной пористой среды, обладающей, однако, объемной ползучестью.

Из полученных результатов следуют некоторые качественные выводы. При разработке газовой залежи на истощение по мере снижения пластового давления периоды перераспределения давления в пласте увеличиваются вследствие релаксационных эффектов. Такая картина наблюдалась на Вуктыльском газоконденсатном месторождении, где, по данным филиала ВНИИГаза в Республике Коми, времена восстановления давления в скважинах при их остановке увеличились в несколько раз по сравнению с начальными при снижении пластового давления примерно на 30 %.

3.9. ВЛИЯНИЕ СОРБЦИОННОЙ СПОСОБНОСТИ ПОРОД

НА ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЛЕКТОРОВ

Стационарное движение газа в пористых средах традиционно описывают на основе законов фильтрации – линейного, двучленного, с начальным градиентом давления. Известно, что стационарный режим фильтрации устанавливается за промежуток времени, определяемый исходя из гидродинамических соображений. Таким образом, на основе экспериментальных данных о стационарных режимах движения устанавливают закон фильтрации. Ранее было показано, что фильтрация разных газов (в экспериментах использовались воздух и природный газ) при однотипных условиях подчиняется различным законам (см. п. 3.1). В определенных условиях стабилизация фильтрационного потока происходит в течение длительного времени, которое на несколько порядков превышает гидродинамическое время. Очевидно, что эти результаты нельзя описать в рамках существующих представлений, и для их объяснения необходимо привлечение новых подходов.

278

Как известно, при фильтрации газа в пористой среде существенное значе- ние имеют сорбционные процессы. По данным экспериментальных исследований, количество сорбированного газа может доходить до 10–15 % его количества, заключенного в порах. Тем не менее, влияние сорбированного газа на фильтрационные характеристики может быть весьма ощутимым. Дело в том, что при определении фильтрационных свойств за время исследований через модель проходит объем газа, составляющий незначительную часть объема, заключенного в порах, причем с увеличением размеров модели эта величина уменьшается. Так, простой расчет показывает, что время, необходимое для про-

хода через модель объема газа, равного количеству газа в модели, при коэффициенте проницаемости около 10–15 ì2, l ≈ 10 ì, ∆ð ≈ 0,1 ÌÏà, ð ≈ 0,1 ÌÏà èìå-

ет величину порядка суток и более. В связи с этим массообмен между сорбированным и свободным газом может ощутимо влиять на характеристику фильтрационного потока.

Сорбция (соответственно десорбция) газа происходит весьма медленно. Оценки показывают, что характерное время этих процессов для лабораторных экспериментов составляет не менее 104 с. Следует, однако, учитывать наличие как поверхностной, так и объемной сорбции, т.е. диффузию молекул газа внутрь зерен породы. Известно, что среднее время трехмерной диффузии зна- чительно больше, чем двухмерной, при одинаковых геометрических размерах (например, диффузия в шаре и круге одного радиуса). Поэтому стабилизация сорбционного, а следовательно, и гидродинамического режима происходит в течение времени, значительно превышающего реальное время наблюдений при проведении экспериментов. Исходя из этого рассмотрим модель фильтрации газа с учетом кинетики сорбции в изотермических условиях.

1. Система уравнений линейной фильтрации газа с учетом сорбционного обмена имеет обычный вид

ãäå v – скорость фильтрации; f – член, характеризующий сорбционный массообмен.

Процесс сорбции газа породой можно рассматривать как двухэтапный – осаждение молекул на поверхности и диффузия внутрь блока зерен породы. Поскольку диффузионный процесс, как более медленный, является лимитирующим этапом, сорбцию газа можно рассматривать как диффузию внутрь зерен породы, а кинетику поверхностей сорбции учитывать в граничных условиях.

Для расчета диффузии молекул газа в твердом теле необходимо выбрать определенную модель. В дальнейшем будем использовать одномерное уравнение диффузии (нетрудно показать, что при использовании других расчетных моделей, например цилиндрической или сферической диффузии, получаемые формулы будут иметь аналогичную структуру). Обозначим размер области диффузии через l, массу сорбированного газа в единице объема скелета породы – через ñ. Уравнение диффузии

необходимо дополнить начальным и граничным условиями. В качестве начального условия примем

279

Пусть поверхность твердого тела, которая соприкасается со свободным газом, т.е. через которую молекулы газа проникают в блок породы, имеет координату õ = l. Тогда в сечении õ = 0 имеем естественное условие

В сечении õ = l происходит попадание молекул газа на поверхность блока породы. Пусть à(ð) – изотерма сорбции, т.е. в равновесных условиях ñ0 = à(ð). Тогда, учитывая кинетический характер сорбционного процесса, условие при õ = l можно записать в виде

ãäå Ò – параметр с размерностью времени.

Для определения массообмена между свободным и сорбированным газом необходимо определить

ãäå S – удельная площадь поверхности пористой среды.

Таким образом, уравнения (3.56)–(3.62) составляют полную замкнутую систему фильтрации газа с учетом сорбции.

Далее потребуется найти явное выражение для потока q(t), определяемого равенством (3.61). Применим для решения задачи (3.57)–(3.62) преобразование

Лапласа с параметром σ. Опустив промежуточные выкладки, приведем выражение для изображения потока q :

ãäå a – изображение функции à[p(t)].

ãäå F(t) – ÿäðî.

Далее рассмотрим одномерную фильтрацию. Использовав выражения (3.56), (3.62) и (3.64), получим уравнение фильтрации газа с учетом сорбции (газ считается идеальным

Примем, что изотерма сорбции линейна, т.е. à(ð) = àð. С учетом уравнения (3.64) после обычной линеаризации, взамен последнего уравнения имеем

280

ãäå ð1, ðñð – начальное и среднее давление соответственно.

2. Проанализируем на основе уравнения (3.66) особенности фильтрации газа в сорбируемых средах. Сначала упростим это уравнение. Известно, что коэффициент диффузии молекул газа в твердом теле достигает 10–8 с, поэтому характерное время диффузионного процесса может быть намного больше гидродинамического. Например, для блоков размером 10–2 см оно составляет несколько суток, что значительно превышает обычно время традиционных лабораторных исследований на кернах. Для блоков размером 10–1—100 см время диффузии соизмеримо с периодом эксплуатации залежи. Исходя из приведенных оценок, в уравнении (3.66) можно пренебречь членом в левой части. Тогда

Очевидно, что решения (3.67) описывают квазистационарные фильтрационные течения, при которых медленные изменения характеристик потока определяются процессами диффузии.

Рассмотрим одномерную фильтрацию газа через образец длиной L при заданном перепаде давления. Для этого необходимо решить уравнение (3.67) при условиях

281