2003_МИРЗАДЖАНЗАДЕ А.Хи др.-Основы технологии добычи г / 3

Другим примером решетки, на котором удобно моделировать развивающиеся, ветвящиеся процессы, является решетка, или дерево, Бете (от фамилии известного немецкого физика Ганса Бете), которая изображена на рис. 3.6. Кружки представляют собой узлы решетки, причем светлые обозначают узлы, которые передают поступивший к ним сигнал, а зачерненные — узлы, которые принятый сигнал блокируют. Число линий, выходящих из каждого узла, может быть произвольным, но одинаковым для всех узлов. Обозначим это через q. Для решетки на рис. 3.6 q = 3.

Допустим, что рассматриваемая система ничем не ограничена и имеет бесконечное число узлов. Тогда можно поставить вопрос: распространяется ли сигнал, вышедший из точки À, на бесконечное расстояние или же через конеч- ное число шагов будет заблокирован? Очевидно, что это зависит от относительной доли белых кружков. Нетрудно подсчитать величину порога протекания в данном случае. Каждый «белый» узел передает сигнал ближайшим q узлам. Среднее число узлов, которое передает его дальше, равно, очевидно, qÕ , ãäå Õ – доля белых узлов. Значит, после каждой передачи каждый белый узел вводит в работу qÕ новых узлов. Таким образом, величина qÕ является неким коэффициентом размножения системы. Для того чтобы процесс не останавливался, необходимо соблюдение условия qÕ ≥ 1. Отсюда следует, что критиче- ская концентрация Õêð = 1/q.

Проанализируем еще одну задачу теории перколяции – задачу твердых сфер. Представим, что в сосуде находится большое число шариков, одна часть которых изготовлена из алюминия, а другая – из пластика. Шарики заранее тщательно перемешаны. При укладке шариков сосуд следует хорошо потрясти, чтобы добиться их максимального уплотнения. Ко дну и к крышке плотно закрытого сосуда подсоединяют разность потенциалов. Поскольку алюминий является хорошим проводником, существует критическая доля Õ0 шариков из алюминия, при которой возникает ток через сосуд, т.е. система становится проводящей. Установлено, что Õ0 ≈ 0,25. При этом доля объема алюминиевых шариков в объеме всего сосуда составляет примерно 0,16. Интересно, что это зна- чение оказывается примерно постоянным независимо от того, используются шарики одного или разных размеров.

В качестве последнего примера рассмотрим задачу об уровне протекания. Представим себе следующую образную картину. Некая горная страна полно-

Рис. 3.6. Пример решетки Бете

252

стью находится под водой. По мере снижения уровня воды над ее поверхностью сначала показывается самая высокая вершина, затем все большие участки земли появляются над водой. Очевидно, вначале поднявшиеся над уровнем воды участки земли будут представлять собой отдельные острова. Поставим вопрос: до какого уровня должна опуститься вода, чтобы исчез последний водный путь через всю горную систему? Ясно, что такой путь существует, пока определенная часть перевалов не вышла из воды. Уровень воды, при котором появляется или исчезает водный путь, называют уровнем протекания. Его определение представляет собой плоскую задачу теории протекания.

Чтобы сформулировать пространственную задачу, изменим исходное описание. Допустим, что плоскость хаотически раскрашена белой и черной краской. Обозначим долю площади, закрашенной белой краской, через Õ. При малых Õ белые участки образуют изолированные острова, а при больших Õ изолированы, наоборот, черные участки. Очевидно, существует критическое значе- ние Õêð, при котором появляется или исчезает непрерывный путь по белым областям. Таким же образом можно рассмотреть объемную задачу.

Можно показать, что при некоторых простых условиях уровень протекания в плоской задаче равен 0,5. Действительно, при равной вероятности возникновения черных и белых областей, если Õêð > 0,5 для белых областей, зна- чит, Õêð < 0,5 – для черных, что не согласуется с принятой гипотезой.

В результате расчетов установлено, что уровень протекания в объемной задаче равен 0,16. Вполне понятно, что это значение должно быть близким к критической объемной концентрации шариков одного сорта в задаче твердых сфер.

Рассмотрим теперь с позиции теории протекания некоторые эффекты при движении жидкости и газа в пористых средах.

Фазовые проницаемости. Известно, что при совместном движении двух фаз и более в пористой среде характер течения существенно отличается от однофазного. В частности, одна из фаз при малых насыщенностях является неподвижной. Эта фаза находится в пористой среде в диспергированном состоянии в виде изолированных капель или включений, окруженных со всех сторон другой фазой, поэтому вследствие действия капиллярных сил капельки жидкости оказываются неподвижными. Используя терминологию теории протекания, можно сказать, что неподвижная жидкость находится в пористой среде в виде кластеров ограниченных размеров. С увеличением насыщенности размеры и число этих кластеров возрастают, и при достижении некоторого порогового значения образуется бесконечный кластер этой фазы. От начальной до конеч- ной точки течения можно провести непрерывную траекторию, проходящую че- рез поровые каналы, занятые полностью или частично только одной жидкостью. При повышении насыщенности порового пространства данной фазой сопротивление ее движению снижается.

Задавливание несмачивающей жидкости в пористую среду. Подобный процесс лежит в основе метода ртутной порометрии, в котором по данным о количестве проникшей в образец пористой среды ртути при разных давлениях строят кривую распределения пор по размерам. Очевидно, для того чтобы ртуть проникла в капилляр радиусом R, необходимо повысить давление на величину 2σ/R, где σ – поверхностное натяжение. При малых давлениях жидкость может попасть только в самые большие поровые каналы. Поскольку их относительное число невелико, жидкость не может проникнуть в образец пористой среды дальше приповерхностного слоя. Это означает, что каналы, через которые при определенном давлении может проходить жидкость, образуют только ограни-

253

ченные кластеры. При повышении давления жидкость проникает во все более мелкие каналы, и по достижении некоторого критического уровня происходит явление прибоя. Пропускающие жидкость капилляры образуют связанную систему, пронизывающую всю пористую среду. Начиная с этого уровня жидкость просачивается через образец пористой среды.

Явление начального градиента давления. Исходя из этих соображений аналогичным образом можно объяснить явление начального градиента давления при фильтрации газа через пористую среду. Известно, что это явление возникает при наличии в материале глины и в присутствии остаточной воды. Из-за глины проницаемость и, следовательно, размеры поровых каналов имеют пониженные значения. Присутствие небольшого количества связанной воды приводит к появлению менисков. Вследствие наличия отступающих и наступающих менисков необходимо приложить определенный перепад давления. Для того чтобы началось движение газа, приложенный перепад (на единицу длины образца) должен превысить некоторое критическое значение, при котором поровые каналы, в которых мениски стронулись, объединяются в единую связанную систему.

Влияние литологического состава на проницаемость пористой среды.

Представим, что пористая среда состоит из материалов двух сортов – проницаемого, например песчаника, и непроницаемого – глины, равномерно перемешанных между собой. Обозначим концентрацию проницаемой части через Õ. Очевидно, что при малых концентрациях пористая среда будет непроницаемой и существует некоторое пороговое значение Õ0, по достижении которого пористый материал начинает пропускать жидкость или газ. Такая ситуация может быть промоделирована задачей твердых сфер, рассмотренной выше.

Проблема нефтеотдачи. Повышение нефтеотдачи пластов, как известно, является главной задачей нефтедобывающей промышленности, поэтому важное значение имеет выявление факторов и причин, влияющих на нее. Некоторую оценку возможной нефтеотдачи можно сделать на основе аналогии с задачей об уровне протекания.

В процессе вытеснения нефти водой весь продуктивный пласт разбит на области, занятые водой (белая краска) и нефтью (черная краска). Очевидно, что, пока существуют сквозные пути по черным (нефтяным) областям, нефть продолжает двигаться и нефтеотдача растет. По достижении уровня протекания нефть оказывается в пористой среде в виде изолированных целиков и вытеснение ее из пласта прекращается.

3.4. ФРАКТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФИЛЬТРАЦИИ

Ученым Мандельбротом было введено новое понятие – фрактал (от лат. fraktus – дробный, ломаный). Оказалось, что многие хорошо известные процессы имеют в действительности фрактальный характер. В частности, фрактальные свойства имеют и фильтрационные потоки.

Фракталами называют геометрические объекты (более точное определение будет дано ниже) – линии, поверхности, пространственные объекты, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие некоторыми свойствами однородности и самоподобия.

Показателен следующий пример. Известным английским физиком

254

Л.Ф. Ричардсоном была предпринята попытка измерить длину морского побережья острова Британия. С этой целью он выбрал следующий, естественный для обычных гладких кривых, способ определения этой длины. Линию побережья на детальной карте Британии он изобразил в виде замкнутой ломаной линии, составленной из отрезков постоянной длины à, все вершины которой располагались на побережье. Длину Là ломаной ученый принял за приближенное значение длины побережья, соответствующее значению à. Предполагалось, что при уменьшении à соответствующее значение длины аппроксимирующих ломаных Là будет стремиться к определенному конечному пределу (как, например, в случае окружности), который и следует принять за длину морского побережья. Однако в отличие от гладкой кривой – окружности линия морского побережья оказалась настолько изрезанной, вплоть до самых малых масштабов, что с уменьшением длины звена аппроксимирующей ломаной à значение Là неограниченно возрастало.

Чтобы разобраться в понятии «фрактал», обратимся к так называемой кривой Коха, которая получается следующим образом (рис. 3.7). Возьмем равносторонний треугольник со стороной, равной единице. Каждую сторону разделим на три равные части и отбросим среднюю часть длиной, равной одной трети (рис. 3.7, à). На каждой стороне соединим внутренние концы получившихся двух отрезков ломаной, состоящей из двух звеньев длиной, равной одной трети. На следующем этапе эту же операцию повторим с каждым из отрезков длиной 1/3 (рис. 3.7, á) и так до бесконечности (третий шаг показан на рис 3.7, â).

На первый взгляд кажется, что получаемая последовательность сходится к некоторой замкнутой гладкой кривой, например к окружности. Однако на самом деле это не так. Длина получаемой в пределе линии стремится к бесконеч- ности. Действительно, на n-м шаге длина отрезка ломаной равна ln = (1/3)n. Очевидно, что на каждой стороне треугольника на n-м шаге построено 4n отрезков, и общее число отрезков равно Nn = 3 4n. Таким образом, общая длина получаемой кривой на n-ì øàãå

Ln = Nn ln = 3(4/3)n è lim Ln = ∞.

n→∞

Получается, что непрерывная кривая, расположенная в ограниченной области плоскости, имеет бесконечную длину. Схожее свойство имеют траектории частиц при броуновском движении. Если вести наблюдение за движением броуновской частицы в замкнутой области в течение определенного времени, то

Рис. 3.7. Пример прямой-фрактала

255

видно, что траектория четко определена, и ее можно просто нанести на лист бумаги. Понятно, что размерность этой линии (траектории) равна единице. Однако чем больше время наблюдения, тем плотнее траектория заполняет плоскость. Хорошо известно следующее свойство броуновской траектории. Предположим, что положение броуновской частицы фиксируется с точностью ε. Тогда для любого сколь угодно малого значения ε можно указать такое конечное время t(ε), что траектория частицы будет неотличима от плоскости в следующем смысле.

Выберем произвольную точку на плоскости и зададимся произвольно малым числом. Тогда найдется такой момент времени t(ε), ÷òî ïðè t > t(ε) найдутся точки траектории частицы, находящиеся от выбранной точки на расстоянии, меньшем ε. Таким образом, с точностью до ε траектория покрывает всю плоскость. Мы сталкиваемся здесь с необычной ситуацией: линия, имеющая размерность, равную единице, в некотором смысле неотличима от плоскости, имеющей размерность, равную двум. Для характеристики таких объектов уче- ным Хаусдорфом была введена размерность, которая оказалась удобным определением, позволяющим различать в некотором смысле степень сложности траекторий. Эта размерность вводится следующим образом.

Рассмотрим, например, линию на плоскости. Будем покрывать эту линию одинаковыми квадратами, плотно укладывая их. Квадратов надо взять столько, чтобы накрыть ими всю линию. Обозначим сторону квадрата через r, а число квадратов, в которые попадает хотя бы одна точка линии, через N(r). Тогда хаусдорфова размерность рассматриваемого объекта (линии) равна

Отметим, что в случае пространственной фигуры она покрывается кубиками и т.п.

Легко проверить непосредственно, что, например, для отрезка прямой или гладкой кривой d = 1, а, скажем, для треугольника и квадрата d = 2 и т.д. Это означает, что в привычных простых случаях хаусдорфова и топологическая размерности совпадают: d = dò . Различие возникает в необычных случаях.

Определим размерность кривой Коха. На n-м шаге длина отрезка ломаной, как показано выше, r = ln = (1/3)n. Эти отрезки можно принять за сторону квадрата. Число таких квадратов N(r), очевидно, равно числу отрезков ln = 3 4n. Вычисляя по формуле (3.22), находим

Отметим, что для кривой dò = 1 и, следовательно, dí > dò = 1. Предложено называть фракталом такой объект, для которого его хаусдорфова размерность строго больше топологической:

d > dò.

Это неравенство имеет определенный физический смысл. Оно характеризует усложнение множества. Если это кривая (d = 1), то ее можно усложнять путем бесконечного числа изгибаний до такой степени, что ее фрактальная размерность достигнет двух, если она плотно покроет конечную площадь, или трех, если кривая «заполнит» куб.

Другим примером фрактала может служить «ковер» Серпинского. Он устроен следующим образом. Разделим единичный квадрат на девять равных час-

256

тей так, что сторона каждого из десяти полученных квадратов была равна одной трети. Вырежем средний квадрат, а каждый из восьми оставшихся вновь разделим на девять равный частей и вырежем средние квадраты (рис. 3.8). Продолжая этот процесс неограниченно, получим фрактал. Вычислим его размерность. Очевидно, что на n-м шаге число квадратов N, которые покрывают фигуру, равно 8n, а длина их сторон равна (1/3)n. Исходя из формулы (3.22) получаем, что фрактальная размерность полученной фигуры

причем 1 < dn < 2.

При вытеснении нефти в пористой среде водой или иным вытесняющим агентом граница раздела между жидкостями носит фрактальный характер.

Фрактальный характер процесса можно определить по виду кривой, его описывающей. Рассмотрим это на примере зависимости дебита нефти от времени. При совместной фильтрации воды и нефти в призабойной зоне граница раздела, как отмечалось выше, может иметь фрактальный характер, что и определяет соответствующие свойства процесса. На рис. 3.9 приведена зависимость такого типа для скв. 1388 Самотлорского месторождения.

Обработаем зависимость следующим образом. Как следует из формулы (3.22), число аппроксимирующих ломаную участков N(r) связано с длиной уча- стка r зависимостью

Аппроксимируя реальную кривую отрезками длиной r, подсчитывая их число и перестраивая данные в координатах (3.23), получаем представление этой зависимости (рис. 3.10). То, что точки хорошо ложатся на прямую линию, а угловой коэффициент этой прямой, равный dn, оказывается больше единицы (dn = 1, 2), свидетельствует о фрактальном характере гидродинамических процессов в призабойной зоне.

Фрактальный рост удобно наблюдать с помощью прибора Хили – Шоу. Прибор состоит из двух плоских параллельных пластин, между которыми заключена вязкая жидкость. Пластины изготовляют из прозрачного материала.

Рис. 3.8. «Ковер» Серпинского

257

Нетрудно понять механизм вязкого пальцеобразования. Перепад давления между водой и нефтью выравнивается за счет оттока нефти от границы с водой. После того как процесс начался, скорость течения оказывается выше там, где наибольшие градиенты давления, т.е. в области границы между жидкостями. В результате возникает неустойчивость роста «пальцев».

В качестве еще одного примера определим фрактальную размерность полимерной цепочки в клубке макромолекулы. Известно, что последняя представляет собой хаотично запутанную длинную цепь соединенных последовательно молекул полимера. Если представить точку, движущуюся вдоль такой цепочки, то ее траектория есть не что иное, как траектория броуновского движения. Из теории броуновского движения известно, что среднее расстояние R, пройденное частичкой, пропорционально корню квадратному из длины пройденного пути L, ò.å. R L1/2. Аналогом величины R для клубка полимерной цепочки является его размер, а аналогом длины пройденного пути – число звеньев n. Отсюда получаем, что n = R2 и, в соответствии с формулой (3.22), размерность клубка полимера d = 2. Так что размерность линейной цепочки равна двум, а не единице (удивительный факт!). Это можно понять, представив, что клубок сплющили в тонкий плоский слой. В результате получаем как бы кусок ткани, размерность которого, естественно, равна единице.

Неожиданное применение нашли фракталы при оценке продуктивных характеристик пород методами геофизики. Как оказалось, кривые, полученные в результате геофизического исследования скважин, обладают фрактальными свойствами. Анализ диаграмм КС и ПС, например, для некоторых отложений месторождений Бакинского архипелага и Прикуринской нефтегазоносной зоны показал, что хаусдорфова размерность этих диаграмм в песчаноглинистом размере находится в пределах 1,0–1,1, причем наиболее высокими значениями фрактальной размерности кривых КС характеризуются продуктивные интервалы, а кривых ПС – пласты-коллекторы. При использовании в качестве меры продуктивности нефтенасыщенности Sí установлена положительная корреляция между Sí и мерой Хаусдорфа с уровнем корреляции примерно 0,8.

3.5. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ

Обычно при использовании понятий «гидростатическое» или «гидродинамическое давление» подразумевают, что давление положительное, т.е. жидкость сжата под действием приложенных нагрузок. В 1843 г. Ю. Донни впервые показал, что жидкость может существовать еще в одном метастабильном состоянии, называемом отрицательным давлением, или гидростатическим растяжением. Схема опыта показана на рис. 3.11.

Установка состоит из U-образной трубки, длинная часть которой сверху запаяна, а короткая часть соединена с вакуумным насосом. Если длинную часть трубки целиком заполнить жидкостью, наклонив ее горизонтально и возвратив затем в вертикальное положение, то под действием атмосферного давления жидкость будет удерживаться в ней над свободной поверхностью À. Когда абсолютное давление в точке À уменьшается до значения, близкого к нулю, уровень жидкости в длинной части трубки обычно тоже падает до тех пор, пока не сравняется по высоте с поверхностью À. Однако, если избавиться от ак-

259

Ò à á ë è ö à 3.2

Значения коэффициента проницаемости k 10–12, ì2

разрыва, равно p = 25σ/r. Учитывая, что для воды σ ≈ 0,1 Н/м, получаем ð ≈ 109 Í/ì2 = 103 МПа. Для ртути эта величина приблизительно в 5 раз больше. Очевидно, что реально получаемые для жидкостей значения отрицательного давления намного меньше соответствующих теоретических значений. Это связано с тем, что в реальных экспериментах разрыв происходит не в объеме жидкости, а на поверхности ее соприкосновения со стенками сосуда, в ослабленных местах, обусловленных наличием зародышей, тонких жирных пленок и т.п.

Усилить эффект отрицательного давления можно путем импульсного (быстрого) расширения системы или сброса давления. В этих условиях «чистота» системы не играет определяющей роли, поскольку имеющиеся в системе центры образования новой фазы не успевают проявляться.

Создание кратковременных отрицательных давлений можно использовать для изменения проницаемости пористой среды. Возможности этого метода иллюстрируют результаты следующих экспериментов. Модель пласта соединяли с камерой высокого давления, и в системе создавалось определенное давление. Предварительно пористая среда, представляющая кварцевый песок с коэфициентом проницаемости k0, насыщалась керосином, а затем искусственно засорялась путем прокачки через модель (со стороны камеры высокого давления) глинистого раствора. Для образования глинистой корки систему выдерживали в покое в течение суток. Затем вновь прокачивали керосин и определяли коэфициент проницаемости k1.

При определенном значении давления в системе ð0 происходил мгновенный разрыв мембраны в камере высокого давления. При этом там на короткое время возникало отрицательное давление, и под действием ударной депрессии глинистая масса выносилась из пористой среды. После этого вновь определяли коэффициент проницаемости k2 пористой среды для керосина. В результате проницаемость частично или полностью восстанавливалась до начального зна- чения k0, а при значениях давления ð0 выше определенного уровня проницаемость становилась даже больше k0 (òàáë. 3.2).

3.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗОВ И НЕФТЕЙ

История нефтегазодобывающей промышленности насчитывает более 100 лет. Однако вопросами повышения коэффициентов нефте- и газоотдачи, которые характеризуют долю извлекаемых запасов от суммарных в месторождении или его части, начали интенсивно заниматься лишь в последнее десятилетие, хотя давно было известно, что большая часть нефти в выработанных месторож-

261