8.5. Моделирование равномерной с.В.

Равномерно распределенную с.в. x можно реализовать путем линейного преобразования БСВ z:

x = Az + B. (8.7)

При этом, поскольку z ~ R[0,1], а преобразование (8.7) увеличивает диапазон значений с.в в A раз и смещает вправо на величину B, то x будет иметь диапазон значений (B,B+A), т.е.

x ~ R[B,B+A].

Кроме того, поскольку M(z) = 1/2, D(z) = 1/12, то

M(x) = A/2 + В,

D(x) = A /12.

9. ПЛАНИРОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

9.1. Задача планирования

Пусть X = (x₁ , ... ,x_k ) - вектор случайных величин, имеющий распределение P . Во многих случаях цель статистического эксперимента может быть сведена к определению математического ожидания с.в. y = g(X), где g(x) - заданная функция с.в. X. Поэтому типовая схема статистического эксперимента имеет вид рис. 9.1.

i = 1..n

: g(X)

X ~ P ; X = (x, ... ,x )

y - значение с.в. y в i-ом опыте

n - число опытов

Рис. 9.1. Типовая схема статистического эксперимента

Здесь оценка приближается к точному значению M(y) с ростом числа опытов n. Задача планирования статистического эксперимента состоит в нахождении такого n, при котором достигается заданная точность оценки .

9.2. Теоретическое решение задачи планирования

Оценка является случайной величиной, т.к. представляет собой функцию от случайных величин:

(9.1)

В типовой схеме статистического эксперимента (рис. 9.1) используются независимые реализации x_i , поэтому с.в. y_i в формуле (9.1) также независимы. Из центральной предельной теоремы вытекает, что с.в. в (9.1) при больших n имеет нормальное распределение, т.е.~ N[m,]. Определим параметры этого распределения:

,

,

Таким образом, при увеличении числа опытов на порядок  уменьшается в  3 раза. На рис. 9.2. схематически показан вид распределения оценки в зависимости от n.

Рис. 9.2. Распределение с.в. в зависимости от n

Диапазон вероятных отклонений оценки от точного значения M(y) сужается пропорционально . Параметр  используют как показатель точности оценки. Поскольку имеет нормальное распределение, то практически достоверно, чтоотклоняется от искомого M(y) не более, чем на 3. Можно сказать, что  является аналогом абсолютной погрешности, а 3 - самой абсолютной погрешностью.

В качестве аналога относительной погрешности для с.в. можно рассматривать ее коэффициент вариации:

v =, (9.5)

а в качестве самой относительной погрешности - величину 3v. Из (9.2) и (9.4) находим, что

v ==, (9.6)

где - коэффициент вариации с.в. y.

Соотношения (9.4) и (9.6) показывают, что "абсолютная погрешность" 3б и "относительная погрешность" 3v оценки убывают пропорционально .

Из формулы (9.4) находим решение задачи планирования: для достижения заданной точности  требуется

(9.7)

опытов. Если требование к точности задано в форме коэффициента вариации v, то требуемое число опытов определяется из формулы (9.6) в виде:

(9.8)

В решении (9.7) кроме заданного  для определения n необходимо знать , в варианте (9.8) - коэффициент вариации v. Ни то, ни другое до эксперимента, как правило, не известно. Поэтому планирование числа опытов на практике осуществляется в ходе самого статистического эксперимента. Достаточно удобными методами такого планирования являются метод автоостанова и метод интерактивного контроля.

9.3. Метод автоостанова

Метод автоостанова покажем на примере достижения точности v = 0.01. Схема статистического эксперимента с автоостановом изображена на рис. 9.3.

Рис. 9.3. Схема эксперимента с автоостановом

Как видно из ИСнка, в ходе эксперимента ведется непрерывный контроль за оценкой v' коэффициента вариации v. Когда оценка v' устойчиво входит в зону v' < 0.01, эксперимент завершается.

Устойчивое достижение неравенства v' < 0.01 здесь обеспечивается требованием, чтобы это неравенство было подтверждено A = 10 раз.

Заметим, что минимальное начальное значение счетчика подтверждений на рис. 9.3., задаваемое в начале алгоритма, должно составлять A = 2, т.к. необходимо исключить одно ложное подтверждение, которое имеет место при n = =1. Действительно, при n = 1 оценка дисперсии равна нулю, поэтому получается v' = 0. При A = 10 получится несколько "лишних" повторений цикла. Однако, так как n обычно составляет десятки тысяч, то увеличение его на несколько лишних единиц не имеет существенного практического значения.