4.3. Концепция статистического моделирования

В основе статистического моделирования лежит процедура, применяемая для моделирования случайных величин и функций и носящая название метода статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Общая схема метода Монте-Карло может быть записана в виде

(4.1)

Результат ищется как математическое ожидание некоторой случайной величины Y, которая чаще всего является неслучайной функцией случайной величины X, имеющей распределение р(х). Случайная величина Х имеет распределение р(х) и запись Х р(х) означает, для непрерывной случайной величины, что для непрерывной случайной величины плотность вероятности равна р(х); для дискретной случайной величины функцию р(х) надо понимать как функцию вероятности. Для случайной дискретной величины интеграл (4.1) заменяется суммойу(х) р(х), в которой суммирование осуществляется по всем возможным значениям Х. Функция у(х) может иметь несколько аргументов, т.е. зависеть от нескольких случайных величин. В таком случае запись (4.1) остается в силе, только интеграл надо считать многомерным, Х рассматривать как вектор, а р(х) – как многомерную плотность (или функцию) вероятности. Приближенная оценка неизвестного математического ожидания, совпадающая с искомым результатом, находится как среднее арифметическое результатов независимых опытов. Это отражено в правой части (4.1). По закону больших чисел среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию.

В каждом опыте разыгрывается реализация х случайной величины Х (в i- м опыте реализация ) в соответствии с распределением р(х) и вычисляется значение функции в виде у (). Индекс i подчеркивает, что для каждой (i-й) реализации процесса аргументы, составляющие вектор Х, имеют свои случайные значения. Вычисленное очередное значение у () добавляется к накапливаемой суммеу (). На этом заканчивается очередной опыт. После того как проведено М опытов, вычисляется итоговая оценка в виде правой части выражения (4.1). Опыты повторяются до тех пор, пока дисперсия оценкине снизится до требуемой величины, зависящей от допустимой погрешности и коэффициента доверия. Структурная схема эксперимента по имитационному моделированию представлена на рис. 4.2.

М

σ

R

Рис. 4.2.Структурная схема эксперимента по имитационному

моделированию

4.3. Пример: оценка надежности системы

Проиллюстрируем суть метода Монте-Карло относительно простым примером. Пусть требуется оценить надежность системы (Рис. 4.3).

Система выполняет свою функцию, если работают цепочки блоков: 1,2,5,7; 1,3,5,7; 1,4,6,7. Каждый блок характеризуется временем безотказной работы i,Пусть заданы плотности распределения рi (i),Какие-то блоки могут отказать. Какова надежность системы в целом?

Рассмотрим случайную величину

 = min1,max[min(4,6),min[max(2,3),]],7, (4.2)

где - время безотказной работы системы.

2

5

1

3

7

4

6

Рис. 4.3. Блочная структура системы

В одном опыте разыгрывается значения всех i,в соответствии с рi(i),Используя полученные реализацииi,, по формуле (4.2) вычисляем реализацию. Один опыт дает одну реализацию (одно выборочное значение). Проводим М опытов (испытаний), получаем «статистический» материал (выборку). Берем среднее арифметическое времени безотказной работы системыср в качестве оценки надежности системы. При необходимости можно построить закон распределения вероятностей случайной величиныв виде соответствующей гистограммы.

Таким образом, испытания реальной системы заменены испытаниями математической модели. Каждое испытание сопровождается расчетом. Поэтому имитационное моделирование и называют численным экспериментом на ЭВМ с математической моделью (модель выступает как объект исследования). При реализации испытания возможны и логические операции. И расчетные и логические операции реализуются на ЭВМ с помощью соответствующих алгоритмов, которые в совокупности и составляют моделирующий алгоритм.

Моделирующий алгоритм обеспечивает построение траекторий смены состояний системы во времени, а воспроизведение случайных факторов, определяющих эти состояния, конструируется с использованием заданных законов случайных событий и величин и реализуется с помощью датчиков базовой случайной величины (БСВ).

Вопросы для самопроверки и задания для упражнения

1. Почему метод статистических испытаний применяют при имитационном моделировании?

2. для реализации какой значений какой переменной используется метод Монте-Карло в примере разд 4.2, 4.3?

3. В чем достоинства и недостатки применения метода Монте –Карло?

4. Как Вы думаете, эффективен ли метод статистических испытаний для разыгрывания маловероятных событий?