Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Сопромат Лекции Филатов

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
1.65 Mб
Скачать

А.П. Филатов

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

1

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1 Введение

Сопротивление материалов - это наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций, деталей машин. Она является частью механики твердого деформируемого тела, куда входят теории упругости, пластичности, ползучести, строительная механика, механика разрушений и др.

Прочность – это способность элементов конструкции сопротивляться действию приложенных к ним сил без разрушения.

Жесткость – способность элементов конструкции сопротивляться изменению размеров и формы под действием внешних сил в пределах заданных (обычно весьма малых) величин, допустимых при условии нормальной эксплуатации.

Устойчивость это способность элементов конструкции под действием внешних сил сохранять свою первоначальную форму равновесия.

Задача сопротивления материалов состоит в разработке инженерных методов расчѐта конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при заданной долговечности и экономичности.

Методы сопротивления материалов различны, так как различны решаемые инженерные задачи, но все они должны быть простыми и обеспечивать достаточную точность.

Целью расчѐтов методами сопротивления материалов является определение размеров элементов конструкций и деталей машин (или внешних нагрузок), исключающих их разрушение.

1.2 Реальный объект и расчѐтная схема

Исследование вопроса о прочности реального объекта начинается с выбора расчѐтной схемы путѐм отбрасывания тех факторов, которые не могут заметным образом повлиять на его работоспособность в целом. Это совершенно необходимо, так как решение с полным учѐтом всех свойств реального объекта является принципиально невозможным в силу их бесчисленного множества.

Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, называется расчетной схемой, выбор которой начинается со схематизации свойств материалов на основе гипотез о твердом деформируемом теле.

Основные гипотезы о твердом деформируемом теле:

1.Общепринятым считается рассматривать все материалы как однородную сплошную среду, независимо от особенностей их микроструктуры. Эта гипотеза позволяет использовать математический аппарат бесконечно малых величин.

Под однородностью материала понимается независимость его свойств от величины выделенного объѐма.

2.Материал конструкции принимается изотропным, т.е., предполагается, что упругие свойства его одинаковы по всем направлениям.

3.Материал конструкции принимается идеально упругим. Упругость - это свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры частично или полностью после снятия нагрузки. Если тело восстанавливает свои размеры полностью, то оно называется идеально упругим.

F

h

F h h

4. Гипотеза Сен-Венана: если к некоторой части тела приложена самоуравновешенная система сил

2

(рис.1.1), то эффект действия этих сил (напряжения, деформация) быстро убывает по мере удаления от места их приложения (принцип Сен-Венана).

5. Гипотеза плоских сечений: поперечные сечения бруса плоские и перпендикулярные к оси до нагружения остаются плоскими и перпендикулярными к ней после нагружения. Это допущение называется гипотезой плоских сечений или гипотезой Бернулли

6. Гипотеза неизменности первоначальных размеров. Рис.1.1

Даже при максимально допустимых нагрузках деформации в конструкциях предполагаются настолько малыми, что можно пренебречь изменениями положения сил в процессе нагружения

(рис.1.2)

F═0

о

 

 

 

 

 

 

о

 

 

α

F=0

 

 

о

 

α'

о

'

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

ℓ═ℓ'

Рис.1.2

 

α═α

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

7. Закон Гаука – деформации материала конструкции в каждой его точке прямо пропорциональны напряжениям в этой точке.

8. Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции) – результат воздействия на конструкцию системы сил равен сумме результатов воздействия каждой силы в отдельности. Это положенние применимо в тех случаях, когда выполняетсфя закон Гука.

При выборе расчетной схемы вводятся упрощения и в геометрию реального объекта, когда геометрическая форма тела приводится к схеме бруса или оболочки.

ось

Брус

Оболочка

 

Рис.1.3

Рис.1.4

 

Под брусом (стержнем) понимается тело, у которого длина значительно больше его поперечных размеров (рис.1.3).

Осью бруса называется линия, проходящая через центры тяжестей площадей поперечных сечений. Поперечное сечение бруса - это плоскость, перпендикулярная его оси. В зависимости от формы оси брус может быть прямым, криволинейным или пространственным.

Под оболочкой понимается тело, у которого длина и ширина значительно превышают его толщину (рис.1.4).

1.3 Классификация внешних сил

Силы являются мерой механического взаимодействия тел. Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих еѐ тел, то действие последних на неѐ заменяется силами, которые называются внешними. К внешним силам относятся и реакции опорных устройств.

Классификацию сил можно провести по нескольким признакам.

3

1. Внешние силы могут быть поверхностными или объѐмными.

Поверхностные силы - это силы, действующие по поверхности тела или по еѐ значительной части (давление воды на боковую поверхность плотины, давление газа на лопатку компрессора и т.д.).

Объѐмные силы распределены по всему объѐму тела, т.е., приложены к каждой его частице (силы тяжести, силы инерции, силы электромагнитных полей).

2. Силы сосредоточенные и распределѐнные.

Сосредоточенные силы -это силы, приложенные к малой части поверхности конструкции (сила давления колеса железнодорожного вагона на рельс). В расчетной схеме такая сила принимается приложенной в точке.

Распределенные силы– это силы, приложенные к достаточно большой части поверхности конструкции (подъемная сила крыла самолета).

3. Силы постоянные и временные.

Постоянная сила действует, не изменяясь, в течение длительного промежутка времени (например, вес железнодорожного моста, передающийся на его опоры).

Временная сила это сила, действующая в течение сравнительно небольшого промежутка времени (вес железнодорожного состава, проходящего через мост).

4. Силы статические и динамические.

Статические силыэто силы, постепенно возрастающие от нуля до конечного значения, а затем почти не изменяющие своей величины (действие силы тяжести строящегося здания на фундамент).

Динамические силы - это ударные, инерционные, либо циклически изменяющиеся нагрузки. Ударные нагрузки возникают в том случае, когда скорости соприкасающихся тел изменяется

существенно за короткий промежуток времени (например, усилия, возникающие при ковке и штамповке деталей).

Циклически изменяющиеся - это силы, которые периодически изменяются от одного крайнего значения до другого и обратно. Это наиболее часто встречающиеся нагрузки, действующие на детали машин.

4.Силы активные (обычно бывают заданными) и силы реактивные (силы, действующие со стороны опорных устройств, которые, как правило, подлежат определению).

1.4 Метод сечений

Внешние силы, деформируя тело, вызывают в нем внутренние силы силы взаимодействия одной части тела с другой. Прочность тела, в конечном счете, зависит именно от этих сил.

Внутренние усилия определяются методом сечений. Рассмотрим его на примере тела произвольной формы, нагруженного системой внешних сил, удовлетворяющей условиям равновесия. Мысленно рассечем его некоторой плоскостью на две части (рис.1.5, α). Так как связи между частями тела устранены, то действие их друг на друга необходимо заменить системой внутренних сил. Воспользовавшись правилами статики, приведем эту систему сил к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор R и главный момент М (рис1.5, b), проекциями которых на координатные оси Х,Y, Z являются силы Qx , Qy , N (проекции главного вектора) и моменты Mx, My, Mz (проекции главного момента). Эти составляющие называются внутренними силовыми факторами в сечении бруса или внутренними усилиями: N- нормальная или продольная сила; Qx, Qy - поперечные силы, Mx, My - изгибающие моменты, Mz - крутящий момент.

При известных внешних силах все рассмотренные силовые факторы определяются из шести уравнений равновесия, которые могут быть составлены для отсеченной части бруса.

Х Qx 0, Y Qy 0, Z N 0,

Lx M x 0, Ly M y 0, Lz M z 0.

Здесь ∑Х, ∑У, ∑Z – сумма проекций внешних сил на координатные оси Х, У, Z, Lx L y, Lz

- сумма проекций моментов внешних сил относительно координатных осей Х, У, Z

4

Из приведенных уравнений равновесия следует, что внутренние усилия правой и левой части бруса равны по величине, но противоположны по знаку.

Наиболее подробно определение внутренних усилий будет рассмотрено при изучении простых деформаций бруса – центрального растяжения, сжатия, изгиба и кручения.

Если на каком-то участке бруса в поперечных сечениях возникает только нормальная сила N, а остальные силовые факторы обращаются в нуль, то на этом участке брус испытывает деформацию растяжения или сжатия. Если в поперечном сечении будет отличным от нуля только крутящий момент Мк, то брус в этом сечении будет испытывать деформацию кручения. Если в поперечных сечениях возникает только изгибающий момент Mх (или Mу), то брус будет испытывать деформацию чистого изгиба в плоскости YZ (или XZ ). Обычно в поперечном сечении наряду с изгибающим моментом возникает поперечная сила Qy (Qx). В этом случае брус испытывать поперечный изгиб.

Р1 Рn+1

Р2

Р3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α)

 

 

у

пра

Рn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М лев

 

 

 

 

 

 

 

 

Му

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rлев

 

 

 

Rпр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M лев

 

 

 

 

 

Qyправ

 

 

 

 

 

x

 

M п

 

 

 

 

 

лев

 

 

z

пра

 

 

 

 

пра

 

 

 

 

 

 

 

 

Мхлев

Qx

 

ле

 

ле

Мz

 

прав

 

прав

Мх

x

Qyлев

N

 

М z

z

N

 

 

Qx

x

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

b)

 

 

 

 

 

Рис.1.5 Метод сечений

Понятие о напряжении

Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру. За такую меру принимается напряжение –

 

 

это величина внутреннего усилия, приходящаяся на единицу

ΔR

площади сечения.

 

 

Рассмотрим сечение А некоторого тела. В окрестности точки К

 

 

 

к

выделим элементарную площадку dА, в пределах которой действует

 

 

внутреннее усилие ΔR (рис.1.6). За среднее напряжение на

 

 

А

R

 

 

площадке dА принимается отношение рср= A . Уменьшая эту

 

 

 

 

 

 

площадку, стянем еѐ в точку К. В пределе получим: р=ℓim R

при

Рис.1.6

 

A

 

 

 

 

5

ΔA→ 0.Векторная величина р представляет собой полное напряжение в точке К сечения А.

 

 

 

 

Размерность напряжения [H/м2]. Единицей измерения

 

р

 

является Па =1Н/м2. Эта единица измерения мала,

 

 

поэтому на практике используется 1 МПа = 106Па.

η

ζ

n

 

 

η′'

 

Полное напряжение р может быть разложено

 

 

 

 

 

 

 

на три составляющие: по нормали к плоскости

 

 

 

 

сечения и по двум осям в плоскости сечения (рис1.7)

Рис. 1.7

Перемещения и деформации

Все тела под действием внешних сил в какой - то мере меняют свои форму и размеры (деформируются). В этом случае точки тела меняют свое положение в пространстве. Вектор , начало которого находится в точке недеформированного тела, а конец в той же точке деформированного тела, называется вектором полного перемещения точки (рис. 1.8).

Проекции этого вектора на координатные оси X,Y, Z обозначаются соответственно через u, v, w. Если на систему тел наложены связи, исключающие еѐ перемещения в пространстве как жесткого целого, то такая система называется кинематически неизменяемой. Именно такие системы рассматриваются в сопротивлении материалов. В этом случае из перемещений всех точек исключаются составляющие перемещений тела как абсолютно жесткого и остаются лишь перемещения, свойственные только деформируемому телу. Тогда перемещения u, v, w являются малыми по отношению к общим геометрическим размерам тела. На основе малости таких перемещений и принята сформулированная ранее гипотеза неизменности начальных размеров, которая позволяет

 

Z

w

F

 

А

А

u

v

Y

Рис.1. 8

при составлении уравнений статики рассматривать тело как недеформированное, имеющее геометрические размеры такие же, как и до нагружения внешними силами.

Интенсивность изменения формы и размеров тела характеризуется линейными и угловыми деформациями.

Рассмотрим точки А и В недеформированного тела, расстояние между которыми равно(рис.1.9). После деформации тела это расстояние изменится на величину . Отношение к

начальной длине называется средним удлинением на отрезке ср

. Уменьшая отрезок ,

 

 

 

 

будем приближать точку В к точке А, тогда в пределе получим im

 

АВ

при ℓ →0.

Величина ξАВ называется линейной деформацией в точке А по направлению АВ. В этой же точке, но в другом направлении деформация будет другой. Если рассматриваются деформации в направлении координатных осей x, y, z, то в их обозначение вводятся соответствующие индексы: ξx, ξy, ξz.

Следует отметить, что слово «деформация» имеет два значения. В обиходном языке оно обозначает всякое изменение формы без количественной оценки. В сопротивлении материалов имеет данное выше строгое определение и выступает как количественная мера изменения геометрических размеров в окрестности точки.

6

Кроме линейной деформации в теле возникают также и угловые деформации. Прямой угол, образованный в недеформированном теле отрезками СD и DE, после нагружения его внешними силами изменит свою величину и примет значение, равное углу C D E (рис. 1.9).

В DС Е

С

 

А ℓ+ ∆ℓ D

Е

Аℓ В

Рис.1.9

Будем уменьшать отрезки СD и DЕ, приближая точки С и Е к точке D и оставляя угол СDЕ прямым, тогда получим в пределе, что разность углов СDЕ и C D E определится выражением

im( CDE C D E ) = CDE .

CD 0, ED 0

Величина CDE называется угловой деформацией или углом сдвига в точке D плоскости СDЕ. Если углы сдвига рассматриваются в координатных плоскостях , то они обозначаются через γху, γуz , γ

Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям для одной и той же точки образуют деформированное состояние в этой точке.

Контрольные вопросы

1.Чем занимается наука о сопротивлении материалов?

2.Что такое прочность, жѐсткость и устойчивость элементов конструкций?

3.Что понимается под расчѐтной схемой?

4.Какие силы называются внешними? Какие внутренними?

5.Для чего используется в сопротивлении материалов метод сечений? В чѐм он заключается?

6.Количество внутренних усилий в поперечном сечении бруса, как они определяются?

7.Что такое напряжение? Какова его размерность?

8.Какие простые деформации может испытывать брус при его нагружении внешними силами?

7

2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ БРУСА

 

2.1 Основные определения

 

При решении задач сопротивления материалов возникает необходимость оперировать

 

 

 

 

 

 

 

определенными геометрическими характерис-тиками

 

 

 

 

 

 

 

поперечных сечений бруса. В силу своего узкого

у

 

 

 

 

 

 

прикладного значения в общем курсе геометрии они

 

 

 

 

 

 

 

не изучаются.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим некоторое поперечное сечение

х

 

 

 

 

 

бруса площадью А в системе координат х,у (рис.2.1).

 

 

 

 

А

 

 

Интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

Sх = ydA и Sy= xdA

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

A

A

 

 

 

 

 

 

называются статическими моментами площади

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

поперечного сечения. Здесь dA – элементарная часть

 

 

 

 

 

 

рассматриваемой площади (элементарная площадка) с

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.1

 

 

 

 

 

координатами х,у. Размерность статического момента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сечения [м3] или [см3]. Он может быть больше нуля,

меньше нуля или равен нулю.

 

 

 

 

 

 

 

Если известны координаты центра тяжести сечения и его площадь, то статические моменты

определятся по формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sх= yc А·, SY = xс А,

 

 

 

 

из которых следуют выражения для определения координат центра тяжести

 

yс=

S

x ,

xс=

S y

.

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

Интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Іх = y 2 dA, Іу = x2 dA

 

 

 

 

 

 

A

 

 

A

 

 

 

 

 

называются осевыми моментами инерции сечения относительно соответственно осей х и у

Интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Іху = ху dA

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

называется центробежным моментом инерции сечения относительно осей х, у

Интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Іρ = 2 dA

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется полярным моментом инерции сечения.

 

 

 

Размерность рассмотренных моментов инерции [м4] или [см4]].

Так как ρ2 = у2 + х2 , то Іρ = ( y2 x2 )dA = y2 dA

x2 dA , таким образом,

 

 

 

 

A

 

 

A

 

A

 

 

Іρ = Іх + Іу .

 

 

 

 

 

 

Осевые и полярный моменты инерции всегда положительны, центробежный момент инерции

может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Отношение осевого момента инерции к ординате наиболее удаленной от оси точки

называется моментом сопротивления при изгибе: Wx

 

I x

-момент сопротивления при изгибе

yнаиб

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

относительно оси х, Wy

I y

- момент сопротивления при изгибе относительно оси у.

xнаиб

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Отношение полярного момента инерции к радиусу наиболее удаленной точки от начала

координат Wp

I

называется полярным моментом сопротивления или моментом сопротивления

наиб

 

 

при кручении.

 

 

2.2 Геометрические характеристики простейших фигур

Рассмотрим геометрические характеристики прямоугольника, треугольника, круга и кольца. Прямоугольник: выделим элементарную площадку dA ═ b·dy (рис.2.2). Тогда

 

h / 2

 

h / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

3

h / 2

 

3

 

 

Іх =

у dA =

у b dy =

у b ∕ 12|

h / 2

= bh

 

∕ 12.

 

 

h / 2

 

h / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

h

С

 

у

h

 

 

 

dy

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b (у)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

b

 

 

 

 

 

 

b

х

 

Рис.2.2

 

 

 

 

 

Рис.2.3

 

Треугольник: элементарная площадка запишется выражением

dA═b(у)·dy (рис.2.3). Из

подобия треугольников следует

b(у) ∕

b = (h─y) ∕ h, откуда получим

 

 

 

 

b(у) =b( 1-

y

), Іх =

 

у2 dA =

у2 b( 1-

 

y

) ·dy = b

2

y 3

) dy = b(

y 3

y 4

)| 0h = bh3 ∕ 12.

 

 

h

 

3

4h

 

h

А

А

 

 

А

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Круг: выделим элементарную площадку dA (рис.2.4) в виде кольца с радиусами ρ и ρ+dρ,

т.е., dA=2πρdρ .

y

dA

 

x

 

d

d

D

Рис. 2.4

Рис. 2.5

9

Полярный момент инерции Іρ d / 2

ρ2dA d / 2

ρ22πρdρ ═ d / 2

2πρ3dρ ═2πρ4 ∕ 4| 0d / 2

d 4

 

 

 

 

0

 

 

0

 

0

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 4

 

 

Так как Іρ = Іх + Iy , а для круга Іх ═ Іy , то Іх ═ Іy

64 .

 

 

 

Кольцо: моменты инерции кольца с диаметрами D и d ( рис. 2.5) определятся как разница

моментов инерции круга с диаметром D и круга с диаметром d

 

 

D 4

 

d 4

D 4

d 4

 

 

 

 

 

Іх = Іу = 64

64 =

64

( 1 - D 4 ).

 

 

 

Введем обозначение

d

α , тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D 4

( 1 – α4), Іρ=

D 4

( 1 – α4).

 

 

 

Іх = Іу = 64

32

 

 

 

2.3 Зависимость между моментами инерции относительно

 

 

параллельных осей, одни их которых центральные

 

 

x1

 

 

 

 

 

Для произвольного сечения, представленного на рис.

 

 

dA

 

 

 

2.6, проведем центральные оси x, y, относительно

y1

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которых Sх = Sу = 0, а затем параллельные им оси Х1,

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

У1. Координаты центра тяжести в этих осях обозначим

 

 

 

у

 

 

x

через а и b, тогда координаты элементарной площадки

 

c

 

 

 

dA будут х1= x, у1= b y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у1

 

 

a

 

 

Рассмотрим осевой момент инерции

 

 

 

 

 

относительно оси Х1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.6

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I х1 = у12dA ( у)2dA 2dA + 2 уdA+ у 2 dA .

 

 

А

А

 

 

 

А

 

А

А

 

 

Так как

у dA = Sх

= 0, у 2

dA = I x

, 2

dA = 2 А , то I x1 = I x + 2 А,

 

 

А

 

А

 

 

 

А

 

 

 

 

Аналогично I y1 I y b2 A,

I x1 y1 I x y + аb А.

 

 

Таким образом, осевые моменты инерции относительно произвольных осей, параллельных

центральным, находятся как сумма моментов инерции относительно центральных осей и

произведения площади сечения на квадрат расстояния между осями, центробежный момент инерции

– как сумма центробежного момента инерции относительно центральных осей и произведения

площади сечения на расстояния между осями.

 

 

 

 

 

2.4 Главные оси и главные моменты инерции сечения

 

 

у

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим некоторое сечение в

 

dA

х1

координатной системе x,y, а затем в

 

 

 

 

 

dA

координатной системе x1,y1, поверну-той

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

У1

 

 

относительно исходной на 90

0

(рис.2.7). Из

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

у1

х1

рисунка следует:

 

 

 

 

х

 

 

 

х1 = у, у1 = - х. Тогда I x1 у1 =

х1у1dA -

 

 

 

 

 

A

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

хуdA - Іху .

Таким образом, при повороте осей на

90 0 центробежный момент инерции меняет

Рис. 2.7

10