Сопромат Лекции Филатов

Опытная проверка этой теории показала, что она, как и первая теория, дает удовлетворительные результаты лишь для весьма хрупких материалов.

Третья теория прочности – теория наибольших касательных напряжений была предложена в 1773 году Кулоном. В этой теории в качестве критерия прочности принята величина наибольшего касательного напряжения, а нарушение прочности в общем случае сложного напряженного состояния наступает, когда наибольшие касательные напряжения достигают своего

Эта теория прочности хорошо подтверждается экспериментально для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Еѐ недостатком является то, что она не учитывает влияния на

прочность материала среднего по величине главного напряжения ζ2

Левая часть этого выражения определяется известной формулой

41

После подстановки (5.10), (5.11) в выражение (5.9) получим формулу, определяющую условие прочности по четвертой теории предельного напряженного состояния.

Контрольные вопросы

1.Что называется напряженным состоянием в точке?

2.Сколько и какие компоненты напряжений определяют напряженное состояние в точке?

3.В чем заключается закон парности касательных напряжений?

4.Какие площадки называются главными?

5.Какие напряжения называются главными?

6.Виды напряженного состояния?

7.Как вычисляются напряжения на произвольных площадках, повернутых от главных на угол a (альфа), аналитическим способом при плоском напряжѐнном состоянии?

8.Как вычисляются напряжения на произвольных площадках, повернутых от главных на угол альфа, графическим способом при плоском напряжѐнном состоянии?

9.Как определяются главные напряжения и положение главных площадок аналитическим способом при плоском напряжѐнном состоянии?

10.Как определяются главные напряжения и положение главных площадок графическим способом при плоском напряжѐнном состоянии?

11.Обобщенный закон Гука для главных площадок при объѐмном напряжѐнном состоянии?

12.Обобщенный закон Гука для произвольных площадок при объѐмном напряжѐнном состоянии?

13.Условие прочности по третьей теории прочности?

14.Условие прочности по четвѐртой теории прочности?

42

6.3 Определение реакций

Определение опорных реакций изучается в теоретической механике. Поэтому рассмотрим только некоторые практические вопросы.

Опоры балок обычно обозначаются буквами, например, А, В, С, показывается воз-можное направление реакций, действующих в этих опорах. Обычно их направляют вверх от опоры.

Если на балку действует распределѐнная нагрузка, то она заменяется равнодействую-щей (Σq ), величина которой находится как площадь грузовой эпюры, прикладывается она в центре тяжести этой эпюры. В качестве примера рассмотрим равномерно распределѐнную нагрузку и нагрузку, изменяющаяся по линейному закону. Грузовые эпюры этих нагрузок представляет собой соответственно прямоугольник и прямоугольный треугольник Их равнодействующие и точки приложения показаны на рисунках (6.5) и (6.6).

Согласно правилам теоретической механики для определения реакций плоской системы сил используется три уравнения статики.

∑Z =0 - сумма проекций всех внешних сил на ось балки должна равняться нулю. При изгибе это уравнение выполняется тождественно, так как все силы действуют перпендикулярно оси, поэтому в балках горизонтальные реакции отсутствуют.

∑У=0 – сумма проекций всех внешних сил на направление, перпендикулярное оси балки должна, равняться нулю.

∑M=0 – сумма моментов всех внешних сил относительно центра тяжести любого произвольного сечения балки должна равняться нулю.

Целесообразно для определения реакций использовать уравнения моментов относи-тельно шарнирных опор.

Условие ∑У=0 наиболее часто используется для проверки правильности нахождения реакций.

6.4 Внутренние усилия при изгибе

Рассмотрим в условиях статического равновесия балку, нагруженную сосредоточенной силой

F, распределенной нагрузкой с интенсивностью q=q(z) и парой сил m (рис.6.7 а). Применяя метод сечений, разделим брус мысленно на две части (рис. 6.7 в). Для того чтобы каждая из частей находилась в равновесии, в сечении необходимо приложить поперечную силу Q и изгибающий момент М (рис.6.7 с). Эти силовые факторы определяются из уравнений равновесия одной из частей бруса по следующим правилам: поперечная сила Q в каком либо

44

а

Х

Рис.6.7

сечении балки равна сумме проекций всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения, на направление перпендикулярное оси балки; изгибающий момент М в каком либо сечении балки равен сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения относительно центра тяжести этого сечения.

Правила знаков при определении поперечной силы: поперечная сила Q считается положительной, если внешняя сила стремится повернуть рассматриваемую часть балки относительно сечения по часовой стрелке, если внешняя сила стремится повернуть рассматрива-емую часть балки против часовой стрелки, то Q принимается отрицательной. Эти правила знаков можно представить схемой (рис.6.8)

Правила знаков при определении изгибающего момента: если внешние силы изги-бают балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент считается положительным, если выпуклостью вверх - отрицательным (рис. 5.9).

45

М<0

М>0

Рис. 6.9

6.5 Дифференциальные зависимости при изгибе между q, Q, M

Вырежем из балки на участке с распределенной нагрузкой (рис.6.10 а) элемент длиной dz , по торцам которого будут действовать внутренние усилия (рис.6.10 б). В силу малости

участка

dz интенсивность распределенной нагрузки на нем можно принять постоянной, тогда еѐ равнодействующая будет равняться q·dz. Рассмотрим равновесие этого элемента

∑У = 0, Q(z) + q·dz –Q(z) - dQ(z) =0, из этого уравнения следует, что dQdz q , т.е., производная от

поперечной силы Q по длине балки z равна интенсивности распределенной нагрузки q.

В качестве второго уравнения равновесия рассмотрим сумму моментов всех сил относительно правого торца: - M(z) - Q(z)·dz - q·dz· dz2 + M(z) + dM(z) =0, так как q·dz· dz2 величина второго порядка

малости, то ею можно пренебречь, тогда dM ( z ) Q( z ) , т.е., производная от изгибающего момента по dz

длине балки z равна поперечной силе Q(z).

46

минус он будет максимальным, при смене знака с минуса на плюс - минимальным.

3. В сечении балки, где имеется сосредоточенная сила, на эпюре Q будет скачок, равный по величине этой силе, а на эпюре М излом (рис.6.12).

4. В сечении балки, где имеется сосредоточенный момент, на эпюре моментов будет скачок, равный по величине этому моменту (рис.6.13).

5.На участке с распределенной нагрузкой эпюра моментов описывается параболой с выпуклостью на встречу нагрузке (рис.6.14).

6.Эпюры изгибающих моментов, согласно принятым правилам знаков, всегда строятся на сжатых волокнах.

q>

q<0

6. Эпюры изгибающих моментов, согласно принятым правилам знаков, всегда строятся на сжатых волокнах.

6.6 Напряжения при изгибе

47

ζdА будет равняться изгибающему моменту М, а равнодействующая ηdА будет равна поперечной силе Q.

Таким образом, нормальные напряжения в балке зависят только от момента, а ка-сательные от силы Q (рис.6.15)

6.6.1 Нормальные напряжения при чистом изгибе

При чистом изгибе Q=0, М=const. Такой вид деформации будет на участке между силами F балки, представленной на рис. 6.16 а.

Изгиб изучается в главных центральных осях, поэтому оси Х и У (рис.6.16 б) – главные

48

Первый интеграл представляет статический момент площади уdA Sx 0, так как он равен нулю,

A

то нейтральная линия совпадает с центральной осью Х, во втором интеграле edA eA 0

оси Х,У являются главными центральными.

формула для нормальных напряжений при чистом изгибе. Из неѐ следует, что по ширине сечения нормальные напряжения не меняются, а по высоте (вдоль оси У) они меняются по линейному закону

(рис.6.19).

сопротивления изгибу, тогда m ax M . Эта формула позволяет записать условие прочности

Wx

при изгибе по нормальным напряжениям при условии, что материал одинаково

Из этого условия прочности может быть решен вопрос о размерах поперечного сечения

6.6.2 Напряжения при поперечном изгибе

При поперечном изгибе в сечении бруса кроме изгибающего момента действует и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

50