§28. Спектр атома водорода.

Для атома водорода

Потенциальная энергия в кулоновском поле ядра:

Запишем УШ для атома водорода (единственное уравнение атомной физики, которое можно решить аналитически):

Для решения данного уравнения необходимо перейти к сферической СК, при этом УШ решается методом разделения переменных и решение имеет следующий вид:

–радиальная часть

- сферические или шаровые функции

УШ допускает два типа решений:

1. , энергия принимает любые положительные значения, соответствует инфинитному движению электрона, т.е. когда не существует атома, а есть система протон-электрон.

2. –спектр энергий атома в связанном состоянии.

Энергия водорода зависит только от главного квантового числа, в то время как волновая функция определяется тремя числами , уровни энергии атома водорода вырождены по орбитальному и магнитноорбитальному квантовым числам

Пример.

Пусть водород находится в первом состоянии.

Второй энергитический уровень водорода четырехскоростно вырожден.

-статистический вес уровня или кратность его вырождения, количество различных состояний системы, при которых ее энергия одинакова.

Вырождение по орбитальному квантовому числу для водорода случайно, т.к. электростатическое поле протона и электрона – кулоново.

Независимость энергии от связано с изотропией пространства. Изотропию можно нарушить, создавая магнитное или электрическое поле, при этом вырождение поснимается.

Найдем кратность вырождения уровня энергии водорода. Любому квантовому числу соответствуетзначений, каждому из которых отвечаетзначений, т.о. для любого зафиксированногократность вырождения:

С учетом спина электрона:

В спектроскопии уровни энергии атомов обозначают:

1. 

2. 

3. 

Обобщенная формула Бальмера для спектроскопии волнового числа:

Схема уровней атома водорода.

Правила отбора для радиационных переходов являются следствием закона сохранения четности, а также закона сохранения момента импульса в дипольном приближении.

Правила отбора заключаются в следующем. При радиационных переходах возможны следующие изменения квантовых чисел.

–может изменяться произвольно

- на

Таким образом S уровни комбинируют только с P уровнями.

Рассмотрим волновые функции атома водорода:

Сферические функции являются собственными функциями оператора квадрата момента импульса, при

Рассмотрим плотность вероятности

Вероятность обнаружить электрон на расстоянии от протона при данныхи

§29. Щелочные металлы.

Щелочные металлы образуют первую группу периодической системы элементов и имеют один валентный электрон на внешней оболочке. Внутренние электроны и ядро атома щелочного металла образуют прочный остов.

В случае щелочного металла электростатическое поле, как и у водорода, сферически симметрично, но уже не кулоново. Если внешний электрон находится на значительном расстоянии от остова, то он движется в поле с эффективным электрическим зарядом . При проникновении внешнего электрона в остов, он поляризуется и его эффективный заряд изменяется, поэтому потенциальную энергию валентного электрона можно представить:

- поле точечного заряда

- поле диполя

Подставляя данную формулу потенциальной энергии в УШ и решая последнее, получаем спектр энергии щелочного металла:

Энергия зависит от двух квантовых чисел , что связано с некулоновостью поля.

- квантовый дефект или поправка Ридберга.

Для водородоподобного атома:

Для щелочных металлов:

- зарядовое число

- постоянная экранирования заряда ядра

Правила отбора для щелочных металлов.

–любое

Схема уровней атома натрия:

Основные серии щелочного металла:

1. Главная.

2. Вторая побочная (резкая)

3. Первая побочная (диффузная)

Опытным путем было установлено, что спектральные линии щелочных металлов дублетны (двойные), что связано с тем, что во всех состояниях, кроме , уровни энергии расщепляются на два уровня. Данное расщепление является следствием спин-орбитального взаимодействия.

Под спин-орбитальным взаимодействием понимают взаимодействие магнитного орбитального момента электрона с его спиновым магнитным моментом, в результате чего появляется зависимость энергии атома от спинового квантового числа.

Т.к. в - состоянии, то спин-орбитального взаимодействия в данном случае нет и уровни энергии одинарные.

§. Общая векторная модель атома.

Электроны в атоме имеют орбитальные и спиновыемеханические моменты, которые складываются в общий или полный механический момент импульса атома:

Складывать эти вектора можно различными способами.

Первый способ. – связь (нормальная связь)

Данный способ реализуется для атомов легких элементов, при этом кулоново отталкивание электронов преобладает над спин-орбитальным взаимодействием. В результате чего каждый электрон обладает собственным орбитальным и спиновыммеханическими моментами, которые, складываясь по раздельности, дают результирующий орбитальный и спиновый механические моменты атома.

Полный механический момент атома также по квантовым законам определяется, как сумма орбитального и спинового момента.

- полное (внутреннее) квантовое число.

Как правило, , поэтому вводят характеристику:

–мультиплетность уровня, число, показывающее, каким количеством способов спин может быть ориентирован относительно орбитального момента. Другими словами, мультиплетность – число подуровней тонкой структуры, соответствующее каждому уровню с данным числом (за исключением-уровней, у которых).

Для атомов с одним валентным электроном, спиновое квантовое число и уровни таких атомов двойные или дублетные.

Полный механический момент:

Векторы ипрецессируют вокруг, векторыипрецессируют вокруг. При этом суммарные векторыипри сложении также прецессируют вокруг вектора.

и ;и– быстрые прецессии.

и - медленная прецессия.

В центральном поле сохраняется только вектор - полный момент импульса, векторыипри этом сохраняются только по модулю, но меняют свое направление. Если поместить такой атом в МП, т.е. задать выделенное направление в пространстве, то сохраняться будет только проекция полного момента на выделенное направление.

- магнитное внутреннее квантовое число.

Если внутренние оболочки атома полностью заполнены, то моменты импульсов внутренних электронов полностью скомпенсированы. Т.о. в общей векторной модели атома учитываются только механические и магнитные моменты легких электронов в незаполненных оболочках.

Второй способ. - связь.

Характерен для тяжелых атомов с большим количеством валентных электронов, в данном случае, спин-орбитальное взаимодействие каждого электрона преобладает над электростатическим отталкиванием электронов между собой, в результате чего у каждого из них есть полный механический момент.

Все моменты складываются в общий механический момент.

Очевидно, что как и в случае – связи, число возможных значенийтакое же, но уровни энергии при этом будут отличаться, т.к. различна природа взаимодействия. При этом величины:

полностью теряют смысл.

§. Тонкая структура спектральных термов

щелочных металлов и атома водорода.

Тонкой структурой называют расщепление энергитических уровней в результате спин-орбитального взаимодействия.

Рассмотрим атом с одним валентным электроном.

В спектроскопии для обозначения уровня энергии и соответствующего спектрального терма вводится следующая запись:

Например:

Таблица уровней.

1	0
2	0
	1
	1
3

Для атома водорода уровни энергии вырождены по , и, как следует из теории Дирака, для данных значенийи, и разныхуровни энергии совпадают.

Например:

Рассмотрим термы водородоподобного атома с учетом тонкой структуры:

- поправка к термам, учитывающая спин-орбитальное взаимодействие.

С ростом зарядового числа , поправкаувеличивается. С ростом главного квантового числа, поправкауменьшается.

–постоянная тонкой структуры.

§. Тонкая структура спектральных линий

щелочных металлов и атома водорода. Лэмбовский сдвиг.

1. Главная серия щелочных металлов.

Правила отбора:

Рассмотрим .

2. Резкая серия

3. Диффузная серия

Линии исливаются в одну, т.к. расщепление термамного меньше расщепления терма(), и не любой спектрограф может эти линии разрешить.

Рассмотрим спектральные линии атома водорода.

1. Серия Лаймона.

Картина, аналогичная главной серии щелочных металлов.

2. Серия Бальмера

Рассмотрим серии Бальмера

Линия состоит из пяти компонент тонкого расщепления.

В 1947 году в опытах Лэмба и Резерфорда было установлено, что для атома водорода уровни и, которые по теории Дирака должны совпадать, имеют различные значения энергии.

Разность между уровнями тонкой структуры водорода с одинаковыми и, и разныминазывается Лэмбовским сдвигом. Исследования, проведенные в рамках квантовой ЭД (квантовой теории для КТП) показали, что Лэмбовский сдвиг обусловлен взаимодействием электронов с вакуумом. Лэмбовский сдвиг можно рассмотреть, как суперпозицию состояний с рождающимися и исчезающими фотонами, электрон – позитронными, протон – антипротонными и другими парами частиц и античастиц.

Точные измерения Лэмбовского сдвига показали, что закон Кулона выполняется на расстояниях вплоть до см. С учетом Лэмбовского сдвига, линиясерии Бальмера состоит из семи компонент.

§. Понятие о сверхтонкой структуре спектральных линий.

Сверхтонкая структура обусловлена спин – спиновым взаимодействием. Спин – спиновое взаимодействие связано с взаимодействием магнитного спинового момента электронной оболочки и магнитного спинового момента ядра.

где

- спин ядра

–спиновое ядерное квантовое число

С учетом сверхтонкого расщепления, на переходы между термами различных состояний накладывается дополнительное правило отбора:

§. Применение векторной модели к атомам с двумя валентными электронами.

К атомам с двумя валентными электронами относится изоэлектронный ряд (и соответствующие элементы второй группы ПСЭ:)

Рассмотрим гелий , имеющий один электрон в

1. Второй электрон варьирует.

2. 

Такое обозначение спектрального терма многоэлектронного атома включает в себя спектральные термы каждого из электронов и результирующий терм всего атома.

Дополнительное правило отбора для данных атомов:

§. Магнитный момент атомов.

- гиромагнитное отношение

- спин обладает удвоенным магнетизмом по сравнению с орбитальным.

Т.о. полный магнитный момент атома определяется суммой моментов, вычисленных с учетом правил пространственного квантования.

Пренебрегаем в силу его малости.

Рассмотрим связи:

Результирующий магнитный момент атома не коллинеарен результирующему механическому моменту, но его можно разложить на две составляющие:

Т.к. ипрецессируют относительно, то ипрецессирует относительно, а значитравна продольной составляющей.

может быть найдено следующим образом:

- фактор или множитель Ланде

Рассмотрим пример.

а) Пусть - полный механический момент чисто орбитальный.

б) - полный механический момент чисто спиновый (ферромагнетик).

в) Магнитный момент атома может быть равен нулю даже при отличных от нуля механических моментах (диамагнетик).