Тимофеева, УМК, Математика для гуманитариев

13.Задача «Вокруг света» придумана Вильямом Гамильтоном в 1859 г. и состоит в следующем: найти такой замкнутый путь по рѐбрам изображѐнного ниже многогранника, который проходил бы через каждую вершину ровно один раз.

Тема 3. Элементы комбинаторики

Понятие выборки и виды выборок. Подсчѐт количества элементов выборки.

Словарь терминов и обозначений по Теме 4.

1.Правило умножения. Пусть требуется выполнить одно за другим k действий, при-

чѐм первое действие можно выполнить n1 способами, второе – n2 способами, …, k- ое действие – nk способами. Тогда указанную последовательность действий можно

выполнить n1 n2 … nk способами. Пример: допустим, что в продаже имеются 5 видов тортов и 6 видов пирогов, тогда общее число вариантов покупки двух кулинарных изделий – одного торта и одного пирога – равно 5 6=30.

2.Правило суммы. Пусть требуется выполнить одно из k действий, причѐм первое

действие можно выполнить n1 способами, второе – n2 способами, …, k-ое действие

– nk способами. Тогда общее число вариантов выполнения одного действия равно n1 + n2 + … + nk. Пример: допустим, что в продаже имеются 5 видов тортов и 6 ви-

Итоговая таблица:

Количество вариантов выборки

n – общее число элементов, k – количество элементов в выборке

Тренировочные задания по теме 4.

1.В 1888 г. появились первые фотоаппараты фирмы «Kodak». Основатель компании Джордж Истман так объяснял происхождение этого слова:

"Я сам придумал это слово. Буква "К" - моя любимая буква алфавита. Она мне кажется сильной и запоминающейся. Мне пришлось перепробовать множество комбинаций букв, прежде чем получилось слово, начинающееся и заканчивающееся на букву "К". И слово "КОДАК" - результат моих попыток".

Сколько комбинаций букв пришлось бы перепробовать Истману при выборе названия своей фирмы, если бы он составлял это название из букв русского алфавита (количество букв в русском алфавите 33) и хотел придумать слово

А) из 5 букв? Б) из 6 букв? В) из 7 букв?

2.Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 книг? Решение:

3.Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «математика»? Какой тип выборок здесь будет использован?

4.Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник Пушкина так, чтобы том 2 стоял рядом с томом 1 и справа от него?

5.Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 4 и 7? Используйте при подсчѐте следующий рисунок.

6.Для проведения письменного экзамена надо составить 4 варианта по 7 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 28 задач на 4 варианта, если считать, что порядок нумерации вариантов неважен, а также порядок расположения заданий внутри каждого варианта не имеют значения?

Решение. По правилу произведения получаем:

C287 C217 C147 C77

Поскольку порядок расположения вариантов значения не имеет, полученное число

Тема 4. Элементы теории вероятностей

Виды событий: элементарное, сложное; совместимые и несовместимые события; достоверные, практически невозможные, случайные. Вероятность события, таблица вероятностей. Сумма и произведение событий. Правило сложения вероятностей. Правило умножения вероятностей. Условная вероятность события. Теоретико-множественная трактовка вероятности. Свойства функции вероятности. Математическое ожидание случайного события.

Словарь терминов и обозначений по Теме 4.

1.Вероятность некоторого события равна отношению числа равновероятных исходов, благоприятных для данного события, к общему числу равновероятных исходов. Допустим, что n – общее количество испытаний, среди них в m случаях произошло интересующее нас событие а. Тогда вероятность наступления данного события равна

2.Если результат опыта полностью исчерпывается только каким-либо одним из множества событий, значит эти события элементарны.

3.Сложное событие – это событие, состоящее из нескольких элементарных (например, «появление букв м или е»)

4.События несовместимы, если появление одного из них при данном испытании исключает появление другого. В противном случае события совместимы

5.Если для некоторого А выполнено Р(А) = 0, то А – практически невозможное событие.

6.Если для некоторого А выполнено Р(А) = 1, то А – достоверное событие.

7.Если для некоторого А не выполнено ни то, ни другое, то А – случайное событие. Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в результате произведѐнного опыта.

Пример. Допустим, что в некотором тексте (не содержащем ошибок и опечаток) встретилось буквосочетание которо. Проведѐм эксперимент: отгадайте следующую букву текста? Для носителя языка этот вопрос прост: ясно, что в данной позиции правильного русского текста может находиться только одна из букв г, е, й, м. Каждое из этих событий случайно, так как может произойти, а может и не произойти.

8.Если проводимый опыт может иметь несколько разных исходов, то ему соответст-

вует таблица вероятностей:

9.Пусть нас интересует случай, когда выполняется хотя бы один из возможных исходов А или В. Такое событие называется суммой событий А и В, обозначается

А+ В.

10.Произведением двух событий А и В называется ситуация, когда выполняются сразу оба события А и В, обозначается АВ.

11.Правило сложения вероятностей.

Если события А и В несовместимы, тогда Р (А + В) = Р (А) + Р (В) Если события А и В совместимы, тогда Р (А+В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ)

12.Правило умножения вероятностей.

Допустим, что А происходит в m1 из n1 равновероятных исходов первого опыта, а независимое от него событие В – в m2 из n2 равновероятных исходов второго опы-

та. Тогда вероятность события А и вероятность события В соответственно равны: Вероятность совместного появления событий А и В такова:

13.Пусть А1, А2, … Аk – все такие события, что при каждом единичном испытании наступает одно и только одно из этих событий. Тогда эти события образуют полную систему событий. Сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна единице: Р (А1) + Р (А2) + … + Р (Аk) = 1.

14.Условной вероятностью события В при условии А называется вероятность, ко-

торую имеет событие В в том случае, когда известно, что событие А произошло. Обозначение: РА(В)

15.Если события А и В независимы, то РА (В) = Р(В). Пусть событие А происходит при n равновероятных исходах опыта, причѐм среди этих исходов в m случаях происходит также и событие В. Тогда

m РА (В) = n

Пусть k – общее число равновероятных исходов опыта, с которым связано выполнение событий А и В. Тогда Р(АВ)=Р(А) РА(В). Отсюда следует, что

16. Теоретико-множественная интерпретация вероятности

Вероятность достоверного события Р (Е) = 1 Вероятность невозможного события Р ( ) = 0

17. Свойства функции вероятности:

1. Р (А) 0, Р (Е) = 1

2. Р (А В) = Р (А) + Р (В), если А В = (т.е. А и В несовместимые события)

3. Р (А В) = Р (А) + Р (В) – Р (А В)

4.Р (Ā) = 1 – Р (А)

5.Р (А В) = Р (А) · Р (В) (события А и В несовместимы)

6.Р (А В) = Р (А) РА (В)

18.Математическое ожидание случайной величины

х– случайная величина, принимающая конечное число значений: х1, х2,…,хn. Среднее значение величины х определяется следующей формулой:

М (х) = х1 · Р (х1) + х2 · Р(х2) + … + хn Р (хn) = Σхi · Р (хi)

Пример. Имеются четыре карточки, на каждой из которых записано одно из чисел 1, 2, 3, 4. Наугад выбирается одна карточка. Среднее значение:

М (х) = х1 Р (х1) + х2 Р (х2) + х3 Р (х3) + х4 Р (х4) = 1 +2 +3 + 4 = 2

Тренировочные задания по теме 5

1.Имеются два завода, производящих лампочки. Первый выпускает 20% всех лампочек (из них 30% бракованных), второй – 80% (из них 10% бракованных). Какова вероятность того, что покупатель купит в магазине исправную лампочку?

2.Пусть М - некоторое множество, а М, |М|=n. Требуется выбрать из этого множества наугад один элемент. Если шансы каждого элемента быть выбранным одинаковы, то какова вероятность того, что выбранным элементом окажется а?

3.Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков, делящееся на 3?

4.В зале присутствуют 200 студентов из одного ВУЗа, 250 - из второго, 300 - из третьего. Какова вероятность того, что студент, с которым Вы случайно заговорили, учится во втором институте?

5.Имеется игральный кубик, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3 (каждое на двух гранях). Кубик бросают два раза. Случайная величина – получившаяся сумма очков. Вычислите математическое ожидание для данной случайной величины.

6.Допустим, что слово «азбука» было составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами тщательно перемешали, по очереди извлекли 3 карточки и разложили в один ряд. Какова вероятность того, что в результате сложится слово

А) «куб», Б) «бак»?

7.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачѐт считается сданным, если даны ответы хотя бы на 3 из 4-х вопросов билета. Взглянув на первый вопрос, студент обнаружил, что знает его. Какова вероятность того, что студент сдаст зачѐт? Пусть А – событие, заключающееся в том, что студент сдал экзамен; В – событие, заклю-

Б) не менее шести растений?

19.Участник телевизионной игры за правильный ответ на каждый заданный ему вопрос получает пять баллов. Найти ряд распределения случайной величины Х – числа баллов, которые может получить участник телевизионной игры за правильный ответ на один вопрос, если имеются два варианта ответов на вопрос и этот участник будет отвечать наугад?

20.Игра состоит в набрасывании колец на колышки? Игрок получает четыре кольца и бросает по одному до первого попадания на колышек. Вероятность попадания при каждом бросании равна 0,1. Найти ряд распределения случайной величины Х – числа неизрасходованных игроком колец.

21.Группа из 11 человек, в том числе Иванов и Петров, располагаются за круглым столом в случайном порядке. Найти вероятность того, что между Ивановым и Петровым будут сидеть 3 человека?

Часть II. Информатика

Тема 5. Алгоритмы и языки программирования

Понятие алгоритма. Виды и свойства алгоритмов. Блок-схема как способ описания алгоритма. Примеры задач, не имеющих алгоритмического решения. Стили программирования. Классификация языков программирования. Примеры алгоритмических и компьютерных моделей некоторых видов интеллектуальной деятельности человека.

Словарь терминов и обозначений по Теме 5.

1.Алгоритм – это точное предписание, которое задаѐт вычислительный процесс (называемый в этом случае алгоритмическим), начинающийся с произвольного исходного данного (из некоторой совокупности возможных для данного алгоритма исходных данных) и направленный на получение полностью определяемого этим исходным данным результата. (В.А. Успенский, Математический энциклопедический словарь).

Каждый алгоритм строится в расчѐте на некоторую категорию исполнителей и описывается на доступном для исполнителя языке, предписывая ему совершить определѐнную последовательность действий, направленных на достижение указанной цели или решения поставленной задачи. Предполагается, что исполнитель выполняет команды формально, без каких-либо раздумий по их поводу, не вникая в их содержание.

2.Основные свойства алгоритмов:

•дискретность (представляет собой последовательности раздельных шагов вычисления),

•детерминированность (исходные данные полностью предопределяют результаты работы алгоритма),

•определѐнность (каждый шаг алгоритма должен быть точно определѐн),

•результативность, или конечность (алгоритм направлен на достижение определѐнного результата и должен заканчиваться после выполнения конечного числа шагов),

•универсальность, или массовость (алгоритм ориентирован на решение бесконечного числа однотипных задач).

3.Различие между алгоритмом и исчислением (или дедуктивной системой). В ал-

горитме переход от каждого предыдущего шага к последующему однозначно определѐн. Исчисление задаѐт множество допустимых возможностей такого перехода. Исчисление – это конечный список «разрешительных» правил (или правил поро-

ждения, или правил вывода). Пример исчисления – язык пропозициональной логики.

4.Запись алгоритма распадается на отдельные указания – команды (элементарные законченные действия).

5.Блок – схемы – это графический способ задания алгоритма. Условные обозначения, используемые при построении блок-схем, приведены в следующей таблице.

Начало - конец

Процесс

Ввод-вывод

Типовой процесс

Решение (условие)

6.Три основных алгоритмических конструкции: последовательная (линейная),

циклическая, ветвящаяся (условная).

7.Примеры задач, в общем случае не имеющих алгоритмического решения.

a. Задача о замощении. Суть этой задачи такова: дан набор многоугольников, требуется определить, покрывают ли они плоскость; иными словами, возможно ли покрыть всю плоскость только этими многоугольниками без зазоров и наложений? В качестве многоугольников можно, например, взять плитки, состоящие из нескольких квадратов, примыкающих один к другому сторонами. Такие плитки называются «полимино» (на рисунке ниже приведѐн пример одного из вариантов полимино - пентамино), существует игра под таким названием, похожая на игру «Пазлы» (Puzzle). В 1966 г. американский математик Роберт Бергер показал, что ответ на поставленный выше вопрос в общем случае отрицателен.