telnov-mechanika-and-TO

S

V

источник

Рис. 23

Пусть первый фронт испустился при x ′ = x = 0 . К моменту очередной вспышки он будет в точке А. Следующую волну в системе S

источник создаст через время t = γT0 (фронт, проходящий через точку B), это следствие того, что в лабораторной системе время течет в γ раз

медленнее, чем по часам движущегося источника волн. За это время в системе S источник сдвинется на расстояние Vt вдоль оси X . На рисунке вспышки обозначены пунктирными линиями. Длина волны, т.е. расстояние между фронтами, будет равна

где kx – проекция волнового вектора на ось X. Заменой V → −V получаем обратное преобразование

Изменение частоты при движении источника называют эффектом Доплера. Формулы (24.9), (24.10) являются решением задачи в случае,

51

когда движущийся источник испускает волну, движущуюся со скоростью c.

Из (24.9) получаем, что при θ = 0

Эффект Доплера существует и в классике при малых скоростях источника (изменение звука сирены движущегося автомобиля). Их нельзя получить из вышеприведенных формул простой заменой скорости света на скорость звука, т.к. скорость звука, в отличие от света, привязана к среде и не является инвариантом при переходе из одной инерциальной системы в другую.

Используя формулы (24.9) и (24.10) нетрудно получить формулы для преобразования вектора k . Учитывая, что | k |= ω / c и

| k′ |= ω′ / c , имеем

Вспоминая определение 4-вектора (§ 15), мы видим, что четверка

чисел ω – есть 4-вектор, т.к. преобразуется также как и 4-вектор

, kc

события R{ct, r} , т.е. по формулам Лоренца.

Приведем ещё один красивый вывод формул для преобразования ω и k . В системе источника S ′ волна имеет вид cos(ω′t′ −k′x′). В "неподвижной" системе S поле пропорционально cos(ωt −kx). Заметим

теперь, что там, где поле равно нулю, оно равно нулю в любой систе-

52

ме. Отсюда следует, что фаза волны (то, что стоит в скобке) является инвариантом

его сомножители при t,x,y,z в левой и правой частях равенства, получаем

что и решает поставленную задачу. Все эти формулы запоминать не надо. Достаточно помнить, что {ω/c, k} – это 4-вектор, который

преобразуется так же как {ct, r} .

Заметим, что полученные формулы преобразования {ω/c, k} для

света содержат сразу и эффект Доплера и аберрацию. Действительно, например,

что совпадает с формулой (23.4).

При рассмотрении аберрации был пример искажения картины звездного неба при его рассмотрении из кабины космического корабля. Было получено, что вся передняя полусфера соберется в угол 1 / γ . А

как изменится цвет звезд? Это можно найти из формулы (24.9), только у скорости света нужно поменять знак, т.к. свет идет кораблю (более точно, знак нужно поменять, поскольку для света, идущего в сторону корабля, cos θ имеет противоположный знак по сравнению со случаем,

света в системе корабля ω′ = γω. Таким образом, звезды соберутся в

область малых углов относительно направления движения корабля, и, кроме того, их цвет станет более коротковолновым (для глаза станут более фиолетовыми) .

53

§ 25. Свойства 4-векторов, собственное время, 4-вектор скорости.

Ранее мы дали определение 4-вектору как четверке чисел, преобразующихся при переходе в другую инерциальную системе так же, как и

4-вектор события R = {ct, r} т.е. A = {a0,a1,a2,a3 } – 4-вектор, если

Разница двух 4-векторов, очевидно, является тоже 4-вектором. Назовём скалярным произведением двух 4-векторов

т.е. скалярное произведение 4-векторов является инвариантом преобразований Лоренца. Отсюда следует, в частности, что

Эта величина уже обсуждалась в §16, где было показано из общих соображений, что она является инвариантом при переходе из одной инерциальной системы в другую .

Если s2 > 0 , то интервалы называется времениподобными, если s2 < 0 – пространственноподобными.

При s2 < 0 можно найти систему отсчёта, где события произошли

При s2 > 0 можно выбрать систему отсчёта, где события произошли в одной точке. Действительно, если r2 = r1 , то s2 = c2(t2 −t1)2 > 0 . Для причинно-связанных событий

54

где v скорость, с которой виновник событий переместился из одной точки в другую. Тогда

т.е. интервал времениподобный.

Пусть два события произошли рядом по координате и времени, то-

гда

произошли в одном месте, рядом с покоящимися там часами. Тогда,

Понятие интервала и собственного времени оказывается очень полезным для конструирования других 4-векторов. Имея 4-вектор события R , можно построить 4-вектор скорости. Для этого его нужно продифференцировать по некоторой скалярной величине, имеющей размерность времени и инвариантной при преобразованиях Лоренца. Такой скаляр у нас есть – это собственное время. Определим 4-скорость соотношением

55

является инвариантом при преобразованиях Лоренца, как положено быть любому 4-вектору. 4-скорость нам понадобится для нахождения релятивистского импульса.

56

Г Л А В А IV

НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА

§ 26. Законы Ньютона

До сих пор мы рассматривали кинематику, раздел механики, изучающий движение тел, не вдаваясь в вызывающие его причины. Раздел механики, изучающий причины движения тел, называется динамикой. Существование в природе максимальной скорости движения коренным образов влияет на законы динамики. Однако вспомним сначала основные положения нерелятивистской динамики.

Еще древние интересовались законами движения, однако их взгляды, основанные в основном на созерцании и философствовании, были далеки от действительности, даже приближенно. Так греческий философ Аристотель (~384 до н. э.) считал, что для всякого движения (даже с постоянной скоростью) нужно внешнее воздействие. Причина, по которой катится шар, Аристотель называл силой, которая передается шару из окружающей среды. Такие воззрения существовали очень долго. Только в начале 17 века Галилей с помощью экспериментов ясно показал, что скорость свободного тела сохраняется сама по себе, а сила связана не со скоростью тела, а его ускорением. Своими экспериментами он убедительно опроверг умозрительную метафизику Аристотеля и заложил фундамент классической механики. Основные же законы механики сформулировал Ньютон (1687).

По современным воззрениям, законы механики Ньютона верны в широкой области применимости. Однако при скоростях близких к скорости света нужно использовать механику Эйнштейна, а при малых размерах и скоростях (mvr < ) квантовую механику (см. Введение).

Выпишем, а затем рассмотрим законы Ньютона более детально.

Первый закон Ньютона.

Существуют такие системы отсчёта, относительно которых материальная точка, при отсутствии внешних воздействий, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Такое тело называется свободным, а его движение – свободным движением по инерции.

57

Второй закон Ньютона.

В инерциальной системе отсчета ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе:

Третий закон Ньютона.

Силы взаимодействия двух материальных точек i и k равны по модулю и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки

(Fik - это сила, действующая на i -ую частицу со стороны j -ой части-

цы).

В дополнение к законам Ньютона в классической механике предполагается, что справедлив закон независимости действия сил, т.е. взаи-

модействие двух материальных точек не зависит от присутствия во-

круг других частиц. Отсюда следует принцип суперпозиции сил – ре-

зультирующая сила, действующая на материальную точку, является векторной суммой сил взаимодействия с каждой из окружающих материальных точек.

Может показаться, что первый закон Ньютона вытекает из второго. Действительно, если сила равна нулю, то ускорение тоже нулю и скорость постоянна. Однако, эта точка зрения неверна. Первый закон постулирует существование инерциальных систем отсчета, привязанных к свободным телам. Исключить действие всех сил трудно, но если она привязана к свободному телу и при этом другие тела в этой системе покоятся или движутся равномерно, то такие системы отсчета можно считать инерциальными. Именно в таких системах справедлив второй закон Ньютона. В системе, связанной с вращающимся диском тело будет ускоряться даже без приложенных к нему сил.

Рассмотрим теперь смысл второго закона Ньютона.

Интуитивно ясно, что сообщить скорость пушинке легче, чем большому камню. Свойство тела "сопротивляться" попыткам изменить его скорость называется инертностью тела. Мера инертности – это масса тела. Степень воздействия одних тел на другие характеризуется силой. Требуется, конечно, дать точные количественные определения. Существует несколько подходов к формулировке законов динамики. Рассмотрим два из них.

58

Первый подход основан на законах Ньютона. В этом подходе предлагается ввести некоторый эталон силы. Это может быть, например, пружинка, растянутая на определенную длину. Указав направление силы, получим вектор эталонной силы. Складывая несколько пружинок можно получить любую силу. Различные силы, приложенные к одному и тому же телу, сообщают ему различные ускорения, причём было замечено, что ускорение пропорционально силе

Утверждение о том, что ускорение пропорционально действующей силе, является содержанием второго закона Ньютона. Сила, как и ускорение, является векторной величиной. Если к материальной точке приложено несколько сил, то результирующая сила находится по правилу сложения векторов. Обозначив коэффициент пропорциональности че-

Это вовсе не очевидное утверждение, а экспериментальный факт, справедливый только при малых скоростях. Одновременно второй закон Ньютона несёт в себе количественное определение массы тела. Опыт показывает, что масса является аддитивной величиной, т.е. масса равна сумме составляющих тело масс. В релятивистском случае это неверно. Так атом водорода легче, чем сумма масс протона и электрона.

Из третьего закона Ньютона сразу следует закон сохранения им-

пульса

m1a1 = −m2a2 m1v1 +m2v2 ≡ p1 + p2 = const . (26.5)

Однако закон сохранения импульса и третий закон Ньютона – это не эквивалентные утверждения. Действительно, из закона сохранения

импульса следует, что F12 = −F21 , но отсюда ещё никак не следует, что

эти силы действуют вдоль линии соединяющей тела. Последнее утверждение, содержащееся в третьем законе Ньютона, следует из того факта, что в замкнутой системе не только сумма сил равна нулю, но и сумма моментов сил равна нулю. Тело не начинает само по себе вращаться. Здесь проявляется свойство изотропности пространства – если тело начнет вращаться, то в какую сторону? Из симметрии следует, что тело будет оставаться в покое.

Закон равенства действия и противодействия, очевидно, не выполняется, когда тела удалены, а скорости распространения сигнала конечна. Эту проблему можно обойти, представив, что рассматриваемые

59

два тела обмениваются импульсами за счет перекидывания третьего тела (поля) и взаимодействие происходит только в момент локального взаимодействия третьего тела с первым.

Еще одно замечание, касающееся третьего закону Ньютона. Есть взаимодействия, когда сила направлена не вдоль линии, соединяющей точки. Например, это сила между двумя движущимися зарядами. Электрическая сила взаимодействия направлена вдоль линии между зарядами, однако магнитная компонента сила направлена иначе: перпендикулярно магнитному полю и скорости. Так что силы взаимодействия не равны друг другу и не направлены в противоположные стороны. Следует заметить, что магнитные силы – это проявление релятивистских эффектов в электромагнитных взаимодействиях, т.е. они важны при больших скоростях, где законы Ньютона не работают в целом. Кроме того, при электромагнитном взаимодействии следует учитывать импульс и момент импульса электромагнитного поля. Однако, несмотря на нарушение третьего закона Ньютона, суммарный момент сил в изолированной системе оказывается равен нулю даже в релятивистском случае. Связанный с этим закон сохранения момента импульса является более общим законом, чем третий закон Ньютона, он связан с изотропностью пространства (эквивалентностью всех направлений). Это будет обсуждаться в дальнейшем подробно.

Единицы измерений

Длина

Всистеме СИ единицей длины является метр (м)

Всистеме СГСЭ единицей длины является сантиметр, 1 см = 0.01м.

Время

Вобеих системах единицей времени является секунда.

Масса

Всистеме СИ единицей массы является килограмм (кг) – международный эталон.

Всистеме СГСЭ единицей массы является грамм,1 г = 10-3 кг.

Сила

Всистеме СИ единицей силы является ньютон (Н), это сила, сообщающая телу с массой 1 кг ускорение 1 м/с2, Н = кг·м/с2

Всистеме СГСЭ единицей силы является дина (обозначение: дин, dyn

от греч. δύναμις — «динамис» - сила) – это сила, сообщающая телу с массой 1 г ускорение 1 см/с2: дин = г·см/с2. Отсюда,

1 Н = 105 дин.

60