telnov-mechanika-and-TO

но листу и будет приводить к повороту гироскопа в горизонтальной плоскости. Рассмотрение аналогично опертому гироскопу, рассмотренному выше. Скорость прецессии находится из соотношения

Формула совпадает с (84.14).

Рассмотрим теперь «обратную» задачу. Пусть этот гироскоп поворачивается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью W, какую вертикальную силу нужно прикладывать к нему, чтобы удерживать в горизонтальной плоскости? Из (85.1) получаем

Сделаем оценку. Пусть гироскоп имеет массу 1 кг, радиус 10 см, длину оси 10 см и вращается с частотой 10000 оборотов в минуту, w ~ 1000 (как жесткий диск в компьютере) вокруг своей оси и с частотой 10 Гц (W 60 ) вокруг вертикальной оси. Тогда сила, действующая на оси,

Гироскопические силы

Продолжим разговор о необычном поведении гироскопов. Если попытаться развернуть за ось в горизонтальной плоскости быстро вращающееся колесо, то на руки будут действовать силы в вертикальном направлении, как показано на рисунке. Причина ясна, для изменения момента импульса нужен момент сил. Если мы поворачивает гироскоп

211

в горизонтальной плоскости с угловой скоростью W, то вертикальная сила, не-

Fобходимая для удержания в горизонтальной плоскости дается снова форму-

лета, то при повороте направо нос самолета будет уходить вниз. Аналогично происходит с морскими судами. Если корабль идет поперек волн и испытывает килевую качку, то одновременно его будет мотать вправо-влево.

Свободный гироскоп.

Технически совсем свободных гироскопов нет, но можно сделать конструкцию, которая удерживает его центр масс гироскоп, но не влияет на вращение. Устройство называют кардановым подвесом. В нем гироскоп сохраняет направление вращения в пространстве при движении внешней рамы. Устройства, основанные на этом принципе, используются для ориентации в самолетах и на космических станциях.

Гирокомпас

Рассмотрим гироскоп, ось которого может свободно двигаться

учитывать магнитное склонение.

212

§ 86. Элементы статики

Тело находится в равновесии, если сумма сил и моментов сил, приложенных к нему равна нулю.

Общий рецепт решения статических задач следующий. Нужно нарисовать все силы (известные и неизвестные), включая силы трения, максимальное значение которых связано с силой нормального давления, найти суммы сил и моментов сил и приравнять их нулю. Решая систему уравнений, находим эти силы. Поскольку суммарная сила равна нулю, то момент сил можно посчитывать относительно любой точки.

Многие статические задачи переопределены и имеют множество решений. Например, если абсолютно жесткий брус лежит на трех опорах, то небольшое изменение высоты опор приводит к полному перераспределению нагрузок. Такая же ситуация со столом, четвертая ножка «лишняя». Несколько примеров.

Тело на наклонной плоскости

Найдем силы, действующие на тело, лежащее на наклонной плоскости, рис.76. На него действуют три силы: сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения. Если тело покоится, то сумма сил равна нулю.

нюю. Это отражено на рисунке тем, что сила реакции опоры приложена правее центра масс.

Спроектируем силы на направления вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей. Условие равенства суммарной силы нулю дает

Из равенства момента сил можно найти точку приложения реакции опоры, не будем выписывать. Это пример задачи, где решение однозначно.

213

Два соединенных тела на наклонной плоскости

Рассмотрим теперь два тела на наклонной плоскости, скрепленные между собой жестким невесомым стержнем, рис.77. Вопрос, с какой T силой взаимодействуют эти тела?

Пока тела не скользят, нет однозначной связи между силой трения и силой нормального давления. Из записанных уравнений мы не можем

найти раздельно Fтр,1 и Fтр,2 , а знаем только их сумму (86.5) и то, что

Fтр,1 < N1m1 = m1m1g cos a, Fтр,2 < N2m2 = m2m2g cos a. (86.7)

Уравнения (86.5) и (86.7) изображены на рис.78, где красным (толстым) отрезком показана область возможных значений сил трения. Однозначность наступает только тогда, когда длина этого отрезка становится нулевой, что соответствует ус-

214

Аналогичный пример – лестница, прислоненная к стенке, рис. 79.

ласть решений. Найдем предельный угол, при ко-

åt = 0 (отн. нижн. точки) P L2 cos a = Fтр,2L cos a +N2L sin a(86.11)

Этот ответ для случая, когда центр тяжести находится посередине лестницы. Следует заметить, что если нет трения о пол, m1 = 0 , то лест-

ница не может стоять под углом даже при наличии трения о стенку.

Составляя аналогичную систему уравнений нетрудно найти предельный угол для случая, когда центр тяжести находится на самом верху лестницы (человек наверху). В этом случае предельный угол не зависит от коэффициента трения о стенку и равен

215

Этот ответ можно получить сразу, если рассмотреть момент сил относительно верхней точки, он равен N1L cos a -N1Lm1 sin a = 0 , откуда

следует (86.14).

Устойчивость

Положение равновесия может быть устойчивым и неустойчивым. Например, маятник в нижней точке устойчив, а в верхней неустойчив.

Положение тела (системы) устойчиво, если при сдвиге из положения равновесия потенциальная энергия возрастает, т.е. нужно затратить работу, чтобы сдвинуть. При неустойчивом положении, наоборот, при сдвиге система потенциальная энергия уменьшается, и тело приобретает кинетическую энергию.

Приведенный выше пример с маятником удовлетворяет этому условию. Рассмотрим более сложный пример: брус, лежащий на круглом бревне В исходном положении центр тяжести бруса находится на вы-

a R

216

Г Л А В А X

ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Гидродинамика рассматривается подробно в курсе физики сплошных сред, однако было бы несправедливо в курсе механики рассматривать только твердые тела и не упомянуть жидкие.

§87. Гидростатика

Вжидкости, налитой в сосуд, имеется давление

На погруженное в жидкость тело действует сила, равная весу вытесненной жидкости (закон Архимеда). Он следует из того, что такой же объем заполненный такой же жидкостью будет находиться в равновесии. Поскольку сумма сил, действующая на боковую поверхность объема, не зависит от того, что внутри, то отсюда следует вывод, что выталкивающая сила равна весу жидкости в этом объеме, направлена вверх и приложена к центру масс вытесненной жидкости

Однако, если подводная лодка ляжет на дно, то закон Архимеда не работает, ее прижимает ко дну сила, равная весу столба воды, находящейся над лодкой.

§ 88. Стационарные течения, закон Бернулли

Пусть поток жидкости обтекает неподвижное тело. Скорости жидкости в разных точках различные, но в каждой конкретной точке постоянны во времени. Такие течения

217

Пусть на сечение трубки на входе S1 и скорость жидкости V1 , а на выходе S2 и V2 . Количество жидкости в трубке не меняется, отсюда следует условие непрерывности (сколько втекает, столько вытекает)

Закон Бернулли

Нетрудно заметить, что кинетические энергии одинаковой по объему порции жидкости на входе и выходе различаются, это происходит за счет давлений, совершающих работу над жидкостью. Давление, действующее на боковую поверхность трубок тока, работы не совершают, т.к. действуют перпендикулярно направлению двидения жидкости. Работа сил, действующая на левый торец трубки (сила, умноженная на

перемещение) A1 = P1S1V1t , работа сил справа A2 = -P2S2V2t (знаки

минус, поскольку сила и перемещение имеют противоположные направления). Работа равна разности кинетической энергии вышедшей и вошедшей одинаковых порций жидкости

откуда

Сокращая наV1S1Dt =V2S2Dt , получаем

Если вход и выход находятся на разной высоте, нужно учесть еще изменение потенциальной энергии рассматриваемой порции жидкости, в результате получим закон Бернулли

218

Если ось трубки с переменным сечением находится на одной высоте, то давление в узких местах будет меньше, чем в широких. Этот эффект используется в системах горячего водоснабжения для понижения температуры воды, подаваемой в батареи, путем добавления охлажденной выходной воды к горячей воде, приходящей из котельной. На первый взгляд, на выходе из дома давление воды меньше, чем на входе и подмешать выходную воду к входной невозможно. Однако, если входную трубу на некотором коротком участке специально сузить, то там давление может стать меньше, чем на выходе из дома и подмешивание становится возможным.

Пусть жидкость обтекает покоящийся шар. Линии тока будут огибать шар. Однако одна линия, идущая к центру шара, упрется перпендикулярно в шар и оборвется, т.е. скорость станет равной нулю. Отличие давление в этой точке от давления вдалеке от шара находится из

уравнения Бернулли и равно DP = rV2 2 .

Формула Торричелли

Рассмотрим вытекание воды из широкого бака через дырку, расположенную на высоте h ниже уровня воды в баке. Трубка тока воды, вытекающей из бака, начинается с поверхности воды, где она равна по сечению площади бака и имеет близкую к нулю скорость. Из уравне-

ния Бернулли следует (PA – атмосферное давление)

219

Гидравлический удар

Пусть по трубе течет вода со скоростью V . Если кран быстро перекрыть, то вода начнет останавливаться, кинетическая энергия будет переходить в энергию сжатия и по воде со скоростью звука (c )побежит волна сжатия в воде. Сила, действующая на торец трубы равна импульсу воды, останавливающейся за единицу времени. Отсюда находим давление

Скорость звука в воде 1435 м/с. При скорости воды 1 м/с в трубах возникнет давление P = 1.4 107 дин/см2 = 1.4 106 н/м2 » 14 атм. Это

явление называется гидроударом. Чтобы трубы не разорвало, краны нужно закрывать медленно (за времена большие, чем время распространения ударной волны вдоль трубы до широкой магистральной трубы). Если попытаться пальцем быстро заткнуть кран с текущей водой, то ввиду гидроудара из под пальца вначале брызнет струйка воды (даже при низком давлении в водопроводе), затем держать напор воды становится намного легче.

220