telnov-mechanika-and-TO

где константы c1,c2 – являются вещественными (действительными)

числами, значения которых находятся из начальных условий. Действительно, из (56.9) следует, что c1 = Re(A1 +A2), c2 = Im(A2 -A1) ).

Таким образом, при малом затухании решение похоже на свободные колебания, только амплитуда затухает как e-gt , и частота несколько сдвинута: W = w20- g2 .

Время жизни колебаний (при g w0 )

141

Найдем решение задачи с учетом начальных условий x(0) = x0 , x ¢(0) = v0 . Полагая в (56.11) t = 0 сразу получаем c1 = x0 . Вторую константу находим, дифференцируя (56.11) и приравнивая v0 при

t= 0 :

x ¢(t) = -ge-gt (c1 cos Wt +c2 sin Wt) +e-gt (-c1W sin Wt +c2Wcos Wt) ,

В этом случае решение апериодическое, при затухании совершается менее одного колебания. Константы c1, 2 легко находятся из начальных

условий, аналогично предыдущему случаю (найдите сами). Наконец, рассмотрим случай g = w0 . Если подставитьg = w0 в

(56.16), то получим x = c e-gt , это неверно! Одна константа не может

удовлетворить двум начальным условиям (координата и скорость). В теории дифференциальных уравнений показывается, что решением

142

Это можно показать следующим образом. Положим

g2 -w02 = e 0 . С учетом малости e и того, что ex » 1 +x при малом x , формулу (56.16) можно записать в виде

Начальные условия учитываются аналогично (56.14). В результате получается

Таким образом, получены решения для всех случаев свободных колебаний с затуханием.

§ 57. Вынужденные колебания

Рассмотрим движение осциллятора с затуханием под действием внешней гармонической силы F(t) = F0 cos wt (для удобства, выбором

начала отсчета времени, делаем начальную фазу равной нулю). Уравнение движения

Как обсуждалось в §55, общим решением данного уравнения является сумма решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного (с правой частью) уравнения. Найдем это ча-

стное решение. Записываем силу в виде F = F0eiwt и ищем решение в виде Z = Aeiwt . Подставляя в (57.1) получаем

где относительная фаза между координатой и силой

143

т.е. амплитуда в резонансе в Q раз (Q—добротность) больше, чем при статическом воздействии.

При g w0

Исследуем теперь поведение относительной фаза d, даваемой (57.5). Эта формула записана так, что числитель равен синусу, а знаменатель косинусу этой фазы. Отсюда находим относительный сдвиг фазы координаты и силы

144

w = 0 d = 0,

Интересно посмотреть сдвиг фазы для скорости. Если x = cos wt , то

по фазе на p2 , а, значит, сдвиг фазы скорости относительно силы будет

т.е. в резонансе скорость и сила находятся в фазе, при этом мощность, закачиваемая в осциллятор максимальна.

Общее решение уравнения колебаний под действием внешней силы есть сумма решения однородного уравнения и найденного частного решения, (57.15)

Левая половина формулы описывает быстрые колебания на суммарной

145

частоте, а правая медленные биения на разностной частоте, т.е. амплитуда то нарастает, то убывает. При w = w0

амплитуда растет линейно со временем.

Потери энергии осциллятора при малом затухании

При малом затухании, w0 g

Работа сил при вынужденных колебаниях

Если осциллятор с малым затуханием колеблется с постоянной амплитудой, то мощность внешних сил равна потери энергии на трение

Например, при облучении атомов светом происходит рассеяние света, мощность дается формулой (57.22), где F0 =eE0 .

§ 58. Параметрический резонанс

При вынужденных колебаниях к осциллятору прикладывается внешняя сила. Но внешнее воздействие может также осуществляться путем изменения во времени параметров системы. При некоторых частотах изменения параметров могут возникать параметрический резонанс.

Рассмотрим такой резонанс на частном примере, обычных качелях.

При раскачке качелей мы внизу встаем, а в верхней точке приседаем. В верхней точке качели покоятся, и приседание на их движение не влияет. В нижней точке встаем на dl , при длине качелей l . Из сохранения момента импульса

146

Найдем изменение энергии

Это есть приращение энергии за одно вставание. С учетом того, что за один период качели проходят нижнюю точку дважды, то число вставаний за время dt будет

§ 59. Адиабатический инвариант

Рассмотрим следующую задачу. Пусть маленький шарик летает между неподвижной стенкой и тяжелой пластиной удаляющейся от стенки со скоростью u , упруго отражаясь от них. При этом пластина

147

тично показано пунктирой линией. Как меняется площадь S внутри фазовой кривой?

Это следует из того, что в системе стенки шарик до столкновения имеет скорость v -u , которая меняется на противоположную при отскакивании. При переходе в неподвижную систему от этой скорости нужно отнять скорость стенки, в результате, скорость шарика после отскока будет v -2u . Изменения расстояния пластины от стенки за один период движения шарика

Итак, при медленном, адиабатическом, изменении параметров системы (расстоянии между стенкой и пластиной) фазовая кривая остается (почти) замкнутой, ее форма меняется, но площадь остается постоян-

ной, является адиабатическим инвариантом.

Найдем теперь сохраняющуюся величину при медленном изменении параметров (жесткости) гармонического осциллятора.

Имеем E = mx2 2 + kx22 , где k медленно меняется. Продифференциру-

ем и произведем усреднение по большому времени (значков усреднения не пишем, но подразумеваем)

148

чина произведение амплитуды на скорость, т.е. площадь внутри фазовой кривой, является адиабатическим инвариантом

149

Г Л А В А VII

ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ

§ 60. Упругие среды

Деформации тел под действием сил называются упругими, если при снятии напряжения их размеры восстанавливаются. При небольших относительных деформациях относительное удлинение пропорционально приложенной силе, деленной на поперечное сечение

отсюда

150