telnov-mechanika-and-TO

§ 8. Обратная задача кинематики

При движении под действием силы известно ускорение a(t) и необходимо найти v(t) и r(t) .

В одномерном случае перемещение – это плошадь под кривой v(t),

рис, 14, которая находится как сумма малых перемещений. При стремлении шага суммирования к нулю сумма переходит в

определенный интеграл

день ездил по городу и вернулся в гараж, тогда перемещение равно нулю, а путь равен изменению показаний одометра (счетчика пробега). Таким образом, путь и перемещение равны только при одномерном движения в одном направлении.

Итак, известна скорость v(t), нужно найти путь S(t), как это сделать математически? Поскольку мы знаем, что v(t) = S ′(t) , то задача сводится к нахождению такой функции S(t), чтобы ее производная равнялась скорости v(t). Эта задача, обратная нахождению производ-

ной, называется взятием интеграла от функции. Интеграл от f (x)записывается так

где функция F(x) такая, что F ′(x) = f (x) , ее называют первообразной функцией от f (x). Константа в (8.4) отражает тот факт, что

21

первообразная определена с точностью до константы, поскольку производная от константы равна нулю: ((F(x) +const)′ = F ′(x) .

Поэтому такой интеграл называют неопределенным неопределенным интегралом. Можно представить, что неопределенный интеграл – это площадь под кривой f (x), где x меняется от некого постоянного, но

неопределенного значения, до переменного значения x .

Для того, чтобы найти площадь S в области a < x <b нужно от значения неопределенного интеграла в точке b отнять его значение в точке a , при этом константа выпадет и получается определенный интеграл, равный разности значений первообразной в точках b и a

a

Таким образом обратная задача кинематики сводится к взятию интегралов, т.е. нахождению первообразных.

Для некоторый функций интеграл находится сразу, например, поскольку (sin x)′ = cos x , то ∫ cos x dx = sin x +const . В отличие от

процедуры нахождения производной, взятие интеграла является более сложной задачей. Не для всякой функции, состоящей из элементарных функций, можно найти первообразную, выражающуюся через элементарные функции.

Если функция сложная и интеграл неберется, то для физиков это не проблема, т.к. любой определенный интеграл можно быстро найти с помощью компьютера, разбив отрезок ab на малые отрезки x и

просуммировав f (xi ) x . Однако, всегда приятно когда ответ задачи

можно выразить не числом, а формулой для произвольных a и b . Техника нахождения интегралов излагается в курсе

математического анализа. Ниже приведена таблица некоторых простейших интегралов

Пример: пусть скорость v =bt2 (b –число), найти путь,

пройденный за время от t1 до t2 . Ответ находится путем взятия определенного интеграла

22

Эту же задачу можно сформулировать несколько иначе: пусть скорость v =bt2 , найти как путь зависит от времени, если x = x0 в

момент t0 . В этом случае берем неопределенный интеграл, а константу находим из начальных условий:

Подставляя сюда x = x0 , t = t0 находим const = x0 − b3 t03 . Оконча-

тельный ответ

Мы расмотрели прямую и обратную задачю кинематики в декартовой системе кординат. Она сводиться к простому дифференцированию и интегрированию по каждой из проекций.

В векторной форме

t

r(t) = ∫ v(t) dt + r(t0 ),

v(t) = ∫ a(t) dt + v(t0 ).

t0

Здесь каждое векторное уравнение является удобной записью трех уравнений для движения по каждой проекции.

Еще немного математики.

В физике часто требуется упростить формулы, содержащие малые величины, сохранив при этом главные члены содержащие эти малые величины. Приведем некоторые полезные математические приемы.

Это нетрудно проверить, возведя обе части в квадрат, получается слева 1 + x , справа 1 +x +x2/4 . Последним членом можно

23

пренебречь, т.к. он следующего порядка малости по сравнению со вторым членом, содержащим x .

Ряд Тейлора

Любую гладкую функцию вблизи точки точки a можно разложить в ряд Тейлора

Действительно, продифференцировав выражение один раз (учитывая, что (xn )′ = nxn−1 ), получаем f ′(a +x) = f ′(a) + члены, содержащие малый параметр x . Продифференцировав дважды, получаем

f ′′(a +x) = f ′′(a)+ малые члены, и т.д., Тем самым мы проверили, что

у функции слева и справа равны производные всех порядков. Такое может быть только, если функции равны. Разложение в ряд некоторых функций, которые нам понадобятся в дальнейшем,

24

где er – вектор единичной длины, направленный вдоль радиуса-

вектора точки. Отсюда ускорение

При равномерном движении по окружности точка имеет центростремительное ускорение an , перпендикулярное скорости

(«нормальное» ускорение). Этот результат эквивалентен формуле (9.4). Если меняется абсолютное значение скорости, то кроме центростремительного ускорения добавляется тангенциальное

ускорение aτ , направленное вдоль окружности (вдоль направления скорости) равное

где eϕ - единичный вектор в направлении скорости, v – модуль скорости (скаляр). Полное ускорение при движении по окружности

Тангенциальное и нормальное ускорение при произвольном движении

Рассмотрим случай произвольного движения. Известно , что через любые три точки можно провести окружность. Выберем три ближайшие точки на траектории и проведем окружность. Как было показано выше, полное ускорение будет суммой тангенцального и нормального ускорений

Здесь n = −er – единичный вектор в направлении центра окружности, τ = eϕ – единичный вектор в направлении скорости. Отсюда получаем способ нахождения R. Поскольку τ и n перпендикулярны, то

26

Здесь (av) – скалярное произведение. Если, например, в декарторых

координатах известны все компоненты скорости и ускорения, то по данной формуле мы можем найти радиус кривизны.

Рассмотрим еще один способ нахождения R, используя векторное произведение. Поскольку нормальная составляющая ускорения равна полному ускорению умноженному на синус угла между ускорением и скоростью, то она может быть записана в виде

Если ускорение и скорость лежат в плоскости X-Y, то единственная составляющая векторного произведения неравная нулю направлена по Z. Используя формулу (6.6)для векторного произведения, находим

Хотя ф-ла (9.15) позволяет самым быстрым способом найти R, но ее не запомнишь и быстро не получишь, то проще воспользоваться самым простым и физически ясный методом, т.е. выражением (9.11).

§ 10. Прямая задача кинематики в полярной системе кординат

В некоторых случаях, например при описании движении планет, удобно ползоваться не декартовой, а

27

направление er . Нетрудно видеть, что

der = eφdϕ, deϕ = −erdϕ или er = eφϕ, eϕ = −erϕ. (10.2)

Отсюда

Дифференцируя еще раз, используя правило дифференцирования

Т.е, зная r(t) и ϕ(t), мы можем найти a(t) . Происхождение четырех слагаемых следующее:

1.ускоренное движение по радиусу;

2.центростремительное ускорение, которое имеет место при равномерном движении по окружности;

3.это член появляется при одновременном (даже равномерном) движении по радиусу и углу ϕ. Половина этого члена связана с пово-

ротом er , вторая половина с тем, что при увеличении радиуса, при постоянной угловой скорости ϕ, боковая скорость должна увеличивать-

ся;

4. этот член есть ни что иное как тангенциальное ускорение при движении по окружности.

28

Здесь первый член – это тангенциальное ускорение, второй член – нормальное ускорение v2/R .

§ 12. Инерциальные системы отсчёта. Принцип относительности.

Вкачестве системы отсчёта может быть выбрана любая совокупность тел, движущаяся по произвольным законам. Есть класс особо важных в механике систем.

Тело называется свободным, если влиянием других тел на его движение можно пренебречь. Система отсчёта, связанная с набором покоящихся относительно друг друга свободных тел называется инерци-

альной системой отсчёта.

Обобщая экспериментальные данные, Галилей сформулировал закон инерции (называется также первым законом Ньютона):

свободное тело в любой инерциальной системе движется равномерно и прямолинейно.

Галилей также впервые высказал мысль, что

во всех инерциальных системах отсчёта механические явления протекают одинаково.

Вдальнейшем было осознано, что вообще все законы физики в инерциальных системах отсчета имеют одинаковый вид. Это общее утверждение называют принципом относительности (Галилей, Пуанкаре, Эйнштейн).

Здесь может возникнуть сомнение, ведь траектория движения падающего вертикально вниз на Землю тела выглядит по-разному в неподвижной относительно Земли системе отсчёта и движущейся относительно неё с постоянной скоростью. Противоречия здесь нет: принцип относительности утверждает только, что вид закона движения, записанный через собственные координаты систем отсчёта, имеет один и

29

тот же вид. В данном случае закон движения одинаков во всех системах

§ 13. Преобразование Галилея.

Пусть инерциальная система S ′ движется поступательно со скоростью V относительно другой инерциальной системы S. Соответствующим сдвигом и поворотом осей координат (это никак не влияет на процессы, т.к. пространство однородно и изотропно) можно сделать так, чтобы оси были параллельны, и движение происходило вдоль осей

метрических соображений, как и в случае, если бы эти системы неподвижны относительно друг друга:

Эти формулы перехода от одной инерциальной системы к другой называются преобразованиями Галилея. Используемые при выводе предположения кажутся очевидными, однако, как мы скоро увидим, это верно только при малых скоростях.

Дифференцируя (13.2) по t , имеем

С учетом того, что dt = dt′, получаем классический закон сложения скоростей

30