telnov-mechanika-and-TO

Электрон-вольт – это изменение энергии электрона при прохождении разности потенциалов 1 В.

1эВ =e ×1В = 1.6×10-19 Kл×1В = 1.6×10-19 Дж = 1.6×10-12 эрг(51.11)

§ 52. Мюонный коллайдер

Рассмотрим в качестве примера движения частиц в магнитном поле мюонный коллайдер (от collide (engl.)—сталкиваться). Мюоны неста-

бильные частицы ( τ0 = 2 10−6 с ) и получать их, а тем более использовать в ускорителях непростая задача. Однако, над этой задачей активно

работают, т.к. мюоны с массой mc2 = 105 МэВ, т.е. примерно в 200 раз тяжелее электронов и, при той же энергии, излучают при движении по окружности в 40000 раз меньше. Поэтому с мюонами можно достичь более высоких энергий используя кольцевые ускорители, где пучки сталкиваются много раз. Интересно, а сколько оборотов может сделать (в среднем) мюон пока не распадется?

Время жизни мюона в лабораторной системе отсчета τ = γτ0 =2 10−6 γ секунд. За время жизни он пройдет путьL ≈ cτ и

совершит n = L / 2πR оборотов в ускорителе, отсюда

Число оборотов не зависит от энергии, и определяется только величиной магнитного поля на орбите. Это понятно, и радиус орбиты и время жизни пропорциональны энергии. При поле 10 Т =100 кГс получаем

n= 4.8 10−10 ×105 ×2 10−6 ×3 1010 = 910 оборотов. (52.2)

6.28105 1.6 10−6

При вычислении (в системе СГСЭ) числитель и знаменатель были умножены на c и в знаменателе энергия mc2 в МэВ была переведена в эрг (1 МэВ =1.6 10−6 эрг).

131

Г Л А В А VI

ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ, КОЛЕБАНИЯ

§ 53. Одномерное движение в потенциальном поле (нерелятивистское).

Когда уравнение написано, то решить его дело техники. Для многих типов уравнений разработаны специальные математические методы, но часто намного проще решить конкретную задачу на компьютере. Временная шкала разбивается на малые временные и на каждом шаге рассчитывается изменение скорости и координаты, используя непосредственно уравнение движения. Однако, для установления закономерностей желательно получить результат в виде формулы.

Рассмотрим движение в случае, когда сила зависит только от координаты

В этом случае, как мы знаем, можно ввести потенциальную энергию U(x), такую что

тогда уравнение второго порядка (53.2) сводится к уравнению первого порядка

При решении уравнения движения второго порядка возникают две константы (поскольку два интегрирования), зависящие от начальных

условий (x0,v0 ). Первая константа появляется при переходе от (53.2) к

(53.4) – это энергия E . Уравнение (53.4) устанавливает связь между скоростью и координатой, которые можно нарисовать в виде линий на фазовой плоскости с координатами осями x и x º v . Для каждой E это будет отдельная кривая, замкнутая для одномерного ограниченного (финитного) движения и незамкнутая для инфинитного движения. Такие кривые, характерные для конкретного потенциала, называют сепаратрисами. Понятие фазовой плоскости (для одномерного движения) и 6-мерного фазового пространства для движения в трехмерном про-

132

Знак означает, что при данном x скорость может быть положительна или отрицательна. Период колебаний

где x1,x2 находятся из U(x) = E .

§ 54. Малые, гармонические колебания

Пусть U(x)имеет вид как на рис. 38. Поскольку начало отсчета потенциальной энергии произвольно, как и координаты x , то можно

133

где k =U ¢¢(0) . Соответствующее силовое поле является линейной функцией смещения

Решение уравнения (54.5) можно найти «в лоб» путем однократного интегрирования аналогично выводу формул (53.5)-(53.7). Подставляя в

(53.6) U = kx22 находим

134

Во второй части (54.11) мы убрали знак , поскольку движение с отрицательной частотой сводится к движению с положительной часто-

той: cos(-wt +j1) = cos(wt -j1) , а сложение двух косинусов с оди-

наковой частотой, но разными фазами, дает снова косинус той же частоты, но другой фазы.

Период колебаний можно найти из (54.10), взяв определенный интеграл с граничными условиями,

а также можно его сразу получить из (54.11), принимая во внимание, что для гармонического колебания период T соответствует изменению

аргумента синуса на 2p, т.е. w0T = 2p , откуда

135

Итак, общим решением уравнения малых гармонических колебаний x + w02x = 0 является

дает

Этим исчерпывается задача о свободных малых колебаниях при начальных условиях.

136

Энергия гармонического осциллятора

Найдем энергию гармонического осциллятора. Имеем

откуда следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии является постоянной величиной равной

Другого и не могло быть, так как энергия в потенциальном поле сохраняется. Более того, усредненые по времени кинетическая и потенциальная энергия равны и составляют половину полной энергии

При нахождении средних значений было учтено, что

137

отсюда

Закон сохранения энергии имеет вид

такой же, как у тела на пружинке с жесткостью k* = Fl , отсюда

Можно просто записать уравнение движения влоль спицы (оси X). Проекция силы натяжения пружины на ось X равна

откуда сразу находится частота колебаний (54.39).

138

§ 55. Немного математики.

При рассмотрении колебаний возникают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Для таких уравнений справедлив принцип суперпозиции: если есть два решения, x1(t),x2(t), то их линейная комбинация c1x1(t) +c2x2(t) с про-

извольными коэффициентами c1,2 будет тоже решением. Решениями

являются синусы и косинусы, экспоненты, но намного удобнее оперировать решениями типа

Оперировать с экспонентами удобнее, поскольку после дифференцирования получается снова экспонента. При этом, пока производятся линейные операции (сложение, умножение на постоянные коэффициенты, дифференцирование, интегрирование), можно опускать знак вещественной части и переходить к вещественной части только в окончательном результате.

Чтобы стало понятнее, почему можно оперировать в уравнении не действительными (физическими) решениями, а искать их в виде ком-

плексных решений, подставим Z = xR +ixI в уравнение (55.1) и получим

Поскольку действительная и мнимая часть порознь должны быть равны нулю, для действительной части получается исходное физическое уравнение. Вдобавок появилось уравнение для мнимой части, тождественное уравнению для реальной части координаты, поэтому оно будет давать решение тождественное физическому. Заметим, что такое разделение действительной и мнимой частей возможно только для линейных уравнений, т.е. содержащих x только в первой или нулевой степе-

ни. Если бы в уравнении был член содержащий x2 , то

139

(xR +ixI )2 = (xR -xI )2 +2ixRxI . Мы видим, что после подстановки x2 действительная часть уравнения будет содержать член (xR -xI )2 , и действительная часть уравнения не будет тождественна исходному физическому уравнению содержащему x2 .

Для решения подобных уравнений в математике используется следующий прием: решения ищутся в виде

плексных. Тогда общее решение однородного (без правой части) уравнения (55.1) будет

j=1

Если в правой части уравнения (55.1) стоит не ноль, а некая функция F(t), то уравнение называется неоднородным и общее решение являет-

ся суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

Все это станет намного яснее в дальнейшем при дальнейшем рассмотрении.

§ 56. Затухающие колебания

Рассмотрим колебания с трением. При малых скоростях в газах, жидкостях или при излучения заряда возникает тормозящая сила, направленная против скорости и равная

или в каноническом (общепринятом) виде

140