telnov-mechanika-and-TO

Очевидно, что это равенство сохранится, если перейти к другой системе координат, отличающейся от исходных поворотом осей координат на некоторый угол. Компоненты векторов изменятся, но равенство сохранится. Преобразования Лоренца, как мы знаем, являются вращением в 4-мерном пространстве Миньковского с координатами ict,x,y,z . Следовательно, если некий закон записан в

виде равенства двух 4-векторов, то это равенство сохранится при преобразованиях Лоренца. При этом 4-мерным может быть не только координатное пространство, с осями ict,x,y,z , но и пространство 4-

скоростей.

Ведем 4-вектор импульса путем замены обычной скорости v на 4- скорость uμ

а закон сохранения импульса запишем как закон сохранения 4- импульса

ij

Внерелятивистском случае уравнения для пространственных компонент 4-импульса переходят в обычный нерелятивистский закон сохранения импульса. Ранее мы искали выражение для релятивистского импульса в виде p = f(v)mv , где f (v) такая функция,

что закон сохранения импульса ковариантен при преобразованиях Лоренца. Импульс, определенный (42.3), p = γmv , удовлетворяет

этим требованиям. Однако, при этом выясняется, что дополнительно мы получаем еще один закон сохранения – закон сохранения для нулевой компоненты 4-импульса, который при нерелятивистских скоростях переходит в закон сохранения кинетической энергии.

Величину

называют релятивистской энергией, а

101

– релятивистским импульсом. Некоторые следствия, вытекающие из релятивистских законов сохранения, мы уже обсудили ранее.

Заметим, что квадрат 4-импульса, как и положено, является инвариантом при преобразованиях Лоренца

где γ = 1 / 1 −V 2 / c2 .

Вообще говоря, вывод о том, что энергия и импульс являются компонентами 4-вектора, можно было сделать и без формальных рассуждений о ковариантности. Достаточно было убедиться, что найденные выражения для импульса (40.9) и энергии (41.5) дают инвариант (42.7) при преобразованиях Лоренца.

Несколько следствий. Для фотона m = 0 , тогда из (42.7) получаем

Электромагнитная волна состоит из фотонов с энергией (Планк, Эйнштейн)

{ωc, k}, где | k |= ωc . Отсюда следуют все формулы (24.18) для эффекта Доплера, полученные ранее:

102

С помощью импульсов легко получить формулы для абберации, также полученные ранее с использованием релятивистской кинематики

встречу им движется релятивистское зеркало со скоростью V . Найдем энергию отраженных фотонов.

Найдем сначала энергию фотонов в системе зеркала. Из (42.10)

После отражения фотоны в системе зеркала имеют ту же энергию, но летят уже в том же направлении, что и зеркало. Переходим обратно в лабораторныю систему по формуле E = γ(E ′ + Vp′) . У нас p′ = E ′/ c

и направления V и p′ совпадают, отсюда получаем ответ

§ 43. Релятивистская сила

Силу в релятивистской динамике естественно вводить на основе закона сохранения релятивистского импульса, этот подход мы рассматривали для нерелятивистской механики в качестве альтернативного законам Ньютона.

Определим трехмерную силу как

103

Следовательно, как и в классике, изменение энергии равно работе сил. Можно ввести 4-вектор силы, дифференцируя 4-импульс по инва-

риантному собственному времени,

последнего равенства были использованы формулы (43.2),(43.1). Отсюда, в принципе, можно получить закон преобразования трехмерной силы, но это непросто, т.к. в 4-силе имеются сомножители, зависящие от скорости частицы.

Примечание: следует обратить внимание, что фактор γ использу-

ется в данной книжке (и вообще в научных книгах) в двух значениях. Он может относиться к скорости v рассматриваемой частицы,

γ = 1 / 1 −v2 / c2 , как в предыдущей формуле, а может и к скорости

V системы отсчета S ′ , если речь идет о преобразовании какой-либо величины при переходе к другой системе отсчета, тогда

γ = 1 / 1 −V 2 / c2 . В большинстве случаев ясно, о чем идет речь, но

там, где может возникнуть неоднозначность, об этом будет сказано специально.

Наиболее просто закон преобразования сил при переходе из неподвижной системы S в систему S ′ , движущуюся со скоростью V в направлении оси X, получается из определения трехмерной силы

104

Продольные силы одинаковы в обеих системах, а поперечные отличается в γ раз.

Нетрудно найти связь между силой F и ускорением a = dvdt в релятивистском случае

Отсюда следует, что направление силы и ускорения не совпадают. Поэтому, в релятивистском случае нельзя ввести понятия релятивистской массы как коэффициента пропорциональности между

F и a . Во многих учебниках пишут p = mv , где m = γm0 . Это

105

неверно. Фактор γ , является независимым сомножителем в импульсе, а не относится к массе. У частицы есть только одна масса.

1 − v2 c2

Если приложить силу F перпендикулярно направлению движения, то

скорость не меняется по абсолютной величине, меняется только ее направление. Если сила параллельно скорости, то нужно дифференцировать и v и v

Это можно было получить и из (43.9). Еще раз видим, что бессмысленно определять «массу движения», как F / a , она

получилась разной для рассмотренных двух случаевю

Пример 2. Пусть частица с энергией E0 , массы m и зарядом Q пе-

ресекает под некоторым начальным углом плоский конденсатор с разностью потенциалов U . Чему равна энергия на выходе из конденсатора?

Пример 3. Частицы с зарядом летит вдоль оси X в электрическом поле напряженности G (буква E у нас занята под энергию) со скоростью v , какая действует на него сила в системе покоя заряда?

106

т.е. продольная сила та же, а поперечная в γ раз больше.

§44. Релятивистская ракета

В предыдущих параграфах были рассмотрены физические основы Специальной теории относительности (СТО), имеющей дело с инерциальными системами отсчета. Далее мы рассмотрим несколько примеров использования СТО. Сначала совершим увлекательный полет на релятивистской ракете через всю Вселенную; затем рассмотрим столкновения и распады частиц – основной метод изучения материи; далее покажем, что вся электродинамика является следствием закона Кулона, СТО и инвариантности заряда.

Для разминки рассмотрим простую задачу. У нас есть ракета, которая может летать со скоростью V, и нужно слетать до звезды, находящейся на расстоянии L. Какое потребуется время?

Здесь можно рассуждать двумя способами:

а) время полета в лабораторной системе t = L /V , часы на ракете

идут в γ = 1 / 1 −V 2 / c2 раз медленнее, значит, по часам на ракете пройдет время τ = t / γ = L / γV ;

б) в системе ракеты расстояние Земля-звезда сокращается в γ раз,

звезда летит навстречу со скоростью V , значит, по часам в ракете пройдет время τ = L / γV , т.е. столько же.

А теперь перейдем к основной задаче

Релятивистская ракета, равноускоренная в собственной системе отсчета. Кинематика

В качестве интересного упражнения по теории относительности рассмотрим движение космического корабля, имеющего постоянное

107

ускорение в собственной системе отсчёта, направленное вдоль скорости. Космонавты предпочитают лететь с комфортом, и их корабль имеет ускорение g.

В сопутствующей системе отсчёта S ′ уравнение движения имеет вид

Найдем уравнение движения в системе Земли (S ), относительно которой корабль имеет мгновенную скорость v =V . Из формулы

преобразования сил (43.6) видим, что поскольку vx ′ корабля равна

108

Предположим, что через время T после старта ракеты вслед ей с Земли посылают световой сигнал. Пройденный им путь

Сравнивая с (44.7), видим, что при T >cg свет никогда не догонит

ускоряющийся космический корабль! При земном ускорении свободного падения g=103 см/сек T = c/g = 3 107 сек ≈ 1 год.

Космонавты всё время будут "видеть" в свой телескоп изображение Земли, но движение на ней будет замедляться, и в пределе будет застывшая картинка Земли, "состарившейся" всего на 1 год. Кроме того, за счет эффекта Доплера изображение будет «краснеть», а также тускнеть.

Найдем теперь время t, прошедшее по часам на корабле. В соответ-

ствии с (16.3) или (25.12)

Выше мы использовали гиперболические косинус и синус, имеющие следующие свойства

109

gtc >> 1

Подставляя (44.11) в (44.3),(44.5) находим скорость и путь по часам на корабле

Ниже приведена таблица движения для g = 103 см/с (c/g = 1 год).

Последняя строка соответствует достижению видимого горизонта Вселенной (с более удаленных областей свет ещё до Земли еще не дошел). Космонавтам на это путешествие понадобится всего 23 года!

Расход горючего.

Найдем, сколько потребуется топлива космическому кораблю. Вспомним сначала эту задачу для нерелятивистского случая. Ускорение ракете сообщают выброшенные назад продукты горения. Пусть их

скорость относительно ракеты равна u0 . Перейдем в систему ракеты. Из закона сохранения импульса (нерелятивистский случай)

порции выброшенного газа, равная убыли массы ракеты −dm. Отсюда получаем уравнение

110