1 семестр / NG_Rukovodstvo_k_vypoleniyu_zadaniy_2014

Рис. 57. Продолжение

Проводим через точки 1 и 2 первую вспомогательную секущую плоскость Р1 (P1V). Эта плоскость пересекает конус по окружности радиусом R1, а призму – по отрезку 12. Пересекаясь между собой, горизонтальные проекции этих линий дают точки 1' и 2'. Проведя через горизонтальную грань призмы вспомогательную секущую плоскость Р2 (P2V), строим точки 3', 4', 5' и 6'. Плоскость Р2 (P2V) пересекает усеченный конус по окружности, часть которой, ограниченная на горизонтальной проекции построенными точками 3', 4', 5' и 6', является участком линии пересечения поверхностей.

81

Аналогично проводим вспомогательные секущие плоскости Р3 (P3V) и Р4 (P4V), которые позволяют определить точки 7 (7', 7'') – 14 (14', 14''), принадлежащие линии пересечения (рис. 57, в).

Соединяем одноименные проекции точек 1 (1', 1'') – 14 (14', 14'') и получаем проекции линии пересечения усеченного конуса с прямой треугольной призмой (рис. 57, г). Часть линии пересечения, принадлежащая нижней грани призмы, будет невидима на горизонтальной проекции.

Пример 43. Построить проекции линии пересечения закрытого тора с конусом (рис. 58, а).

Решение. Решение задачи начинаем с нахождения опорных точек линии пересечения (рис. 58, б). Горизонтальные проекции 1' и 2' нижних опорных точек 1 и 2 определяем на пересечении окружностей основания заданных поверхностей. Фронтальные проекции 1'' и 2'' этих точек находим проецированием. Для построения проекций верхней опорной точки 3 линии пересечения удобно применить преобразование проекций (перемену плоскостей проекций или вращение). Рассмотрим построение точки 3 двумя способами.

Первый способ. Для построения точки 3 (рис. 58, в) воспользуемся переменой плоскостей проекций. Для этого через оси закрытого тора и конуса проводим горизонтально-проецирующую плоскость S (SH), которая пересекает тор и конус по образующим. Для построения этих образующих параллельно плоскости S введем дополнительную плоскость проекций V1. При этом новая ось проекций x1 будет параллельна горизонтальному следу SH плоскости S. Строим проек-

пересечении очерковых образующих заданных поверхностей получаем проекцию 31 искомой точки. Горизонтальную проекцию 3' находим на

следе SH и затем строим 3'' из условия принадлежности точки 3 пересекающимся поверхностям.

Второй способ. Для построения точки 3 (рис. 58, г) воспользуемся вращением. Для этого, так же, как и при построении первым способом, через оси закрытого тора и конуса проводим горизон-

82

тально-проецирующую плоскость S (SH), которая пересекает тор и конус по образующим. Вращаем эту плоскость вокруг оси одной из пересекающихся поверхностей, например, оси i конуса, до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. Строим фронтальные проекции образующих, по которым плоскость S (SH) пересекает

тор, и находим проекцию 31 искомой точки в повернутом положе-

нии. Горизонтальная проекция 31 лежит на следе плоскости S в по-

вернутом положении. Далее осуществляем обратное вращение плоскости S вместе с принадлежащей ей точкой 3 (3', 3'').

Рис. 58

83

в)

Рис. 58. Продолжение

Для построения дополнительных точек 4 (4', 4'') – 7 (7', 7'') воспользуемся вспомогательными горизонтальными секущими плоскостями Р1 (P1V) и Р2 (P2V ), которые пересекают тор и конус по окружностям. Искомые точки определяются на пересечении этих окружностей

(рис. 58, д).

Соединяем одноименные проекции точек 1 (1', 1'') – 8 (8', 8'') и получаем проекции линии пересечения закрытого тора с конусом

(рис. 58, е).

84

г)

д)

Рис. 58. Продолжение

85

Способ вспомогательных концентрических сфер применяют при соблюдении следующих условий:

1)обе пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения;

2)оси поверхностей вращения пересекаются;

3)оси поверхностей вращения должны быть параллельны какойлибо плоскости проекций.

Если последнее условие не соблюдается, для того чтобы его обеспечить, прибегают к способам преобразования проекций.

Для построения точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, проводится вспомогательная секущая сфера, за центр которой принимается точка пересечения осей вращения этих поверхностей. Эта сфера пересекает каждую из поверхностей по окружностям, которые проецируются на плоскость проекций в виде отрезков пря-

86

мых. Точки пересечения этих отрезков и определяют точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей.

Проведение нескольких таких концентрических сфер позволяет построить сколько угодно точек, принадлежащих линии пересечения.

Пример 44. Построить проекции линии пересечения полного и усеченного конусов (рис. 62, а).

Решение. Оба конуса являются поверхностями вращения, их оси параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются в точке О (О', О'') (рис. 62, б). Следовательно, для построения линии пересечения этих поверхностей может быть использован способ вспомогательных концентрических сфер. При этом за центр концентрических сфер должна быть принята точка О (О', О'') пересечения осей заданных поверхностей.

Для определения опорных точек фронтальной проекции линии пересечения (рис. 62, б) через оси заданных конусов, а следовательно, и параллельно фронтальной плоскости проекций проводим вспомогательную плоскость F (FH). Эта плоскость пересекает конусы по

87

очерковым образующим, точки пересечения которых и определяют искомые точки 1 (1', 1'') и 2 (2', 2'') линии пересечения.

Для определения опорных точек горизонтальной проекции линии пересечения (рис. 62, б) через ось заданного конуса проводим горизонтальную плоскость Т (ТV), которая пересекает конус с вертикальной осью по окружности радиусом r, а конус с горизонтальной осью – по очерковым образующим.Точки пересечения этих образующих с окружностью определяют искомые точки 3 (3', 3'') и 4 (4', 4'').

Из точки О (О', О''), как из центра, проводим первую вспомогательную концентрическую сферу наименьшим радиусом. Радиус наименьший сферы выбирается таким образом, чтобы она пересекала одну из заданных поверхностей и была вписана в другую. Для этого на фронтальной проекции из центра сфер проводим перпендикуляры к образующим конусов. Бóльший из этих отрезков (рис. 62, б) и опреде-

ляет радиус наименьшей сферы Rmin .

Рис. 62

88

Рис. 62. Продолжение

Такая сфера пересекает конус с вертикальной осью по окружности m (m', m''), которая проецируется на фронтальную плоскость проекций отрезком 5'' 6'', а на горизонтальную плоскость проекций – окружностью радиусом R1. Конус с горизонтальной осью сфера пересекает также по окружности n (n', n''), которая проецируется на фронтальную плоскость проекций отрезком 7'' 8''. Пересечение этих окружностей (отрезков 5'' 6'' и 7'' 8'') определяет две точки 9 (9', 9'') и 10 (10', 10''), принадлежащие линии пересечения (рис. 62, б).

Затем увеличиваем радиус сферы и повторяем описанные выше построения (рис. 62, в). Радиус наибольшей сферы Rmax определится

наибольшим расстоянием от центра концентрических сфер до наиболее удаленной опорной точки линии пересечения.

89

Найденные таким образом точки 1 (1', 1'') – 4 (4', 4''), 9 (9', 9'') –

12 (12', 12'') позволяют построить горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения (рис. 62, г). Границей видимости горизонтальной проекции линии пересечения являются точки 3 (3', 3'') и 4 (4', 4''), принадлежащие горизонтальной плоскости Т (ТV).

Пример 45. Построить проекции линии пересечения закрытого тора с цилиндром (рис. 63, а).

Решение. Обе заданные поверхности являются поверхностями вращения. Оси этих поверхностей пересекаются, но не параллельны ни одной из основных плоскостей проекций. Поэтому, для того чтобы к решению этой задачи применить способ вспомогательных концентрических секущих сфер, необходимо вначале выполнить замену плоскостей проекций. Введем дополнительную фронтальную плоскость проекций V1, параллельную горизонтальнопроецирующей плоскости S (SH, SV), образованной пересекающи-

мися осями заданных поверхностей (рис. 63, б). При этом новая ось проекций x1 будет параллельна следу SH . Строим проекции тора и ци-

линдра в новой системе плоскостей проекций H и решаем постав-

V1

ленную задачу, используя вспомогательные концентрические секущие сферы (рис. 63, б) аналогично примеру 44, рассмотренному выше.

За центр концентрических сфер должна быть принята точка О (О', О2'') пересечения осей заданных поверхностей. Для определения характерных точек воспользуемся вспомогательной плоскостью S (SH, SV), которая пересекает тор и цилиндр по очерковым образующим. Пересекаясь между собой, эти образующие определяют проекции искомых точек 1 (1', 11'') и 2 (2', 21'') линии пересечения.

90