1 семестр / NG_Rukovodstvo_k_vypoleniyu_zadaniy_2014

l1 2 R 360 ,

где – величина центрального угла дуги 1'2'.

Через точку 20 проводим образующую, перпендикулярную развертке окружности основания, и откладываем вдоль этой образующей отрезок 20А0, равный натуральной величине 2''А'' отрезка 2A.

Приближенная развертка цилиндра строится аналогично развертке конической поверхности (см. пример 37). Для этого в цилиндр вписывают прямую призму с основаниями, вписанными в основания цилиндра (рис. 50, г). Естественно, что чем больше граней у призмы, тем точнее получается развертка цилиндра. Построение развертки призмы подробно рассмотрено в примере 36. Затем определяют положение точки на какой-либо образующей, и эта точка переносится на развертку. Длина дуги 1020 на развертке равна длине соответствующей хорды 1'2' на горизонтальной проекции поверхности цилиндра

(рис. 50, д).

Взаимное пересечение поверхностей. Построение общей линии пересекающихся поверхностей (линии их пересечения) является наиболее распространенной задачей в инженерной практике, поскольку поверхности большинства машиностроительных изделий представляют собой комбинацию различных пересекающихся элементарных поверхностей (цилиндра, конуса, сферы и т.д.). Примерами таких изделий являются корпусные детали локомотивов, турбин, летательных аппаратов, редукторов, смесителей и др. (рис. 51). Определение линий пересечения элементарных поверхностей, которыми ограничены эти детали, является важным этапом их конструирования.

Рис. 51

71

Рассмотрим способы построения линий пересечения поверхностей, которые наиболее часто встречаются в инженерной практике.

Общий способ построения линии пересечения поверхностей между собой. В общем случае линию взаимного пересечения двух поверхностей строят по точкам, которые находят при помощи некоторых вспомогатель-

ные построения многократно с помощью подобных вспомогательных поверхностей, находят необходимое число общих точек пересекающихся поверхностей, а затем, соединяя эти точки, проводят линию пересечения.

В качестве вспомогательных поверхностей выбирают такие, линии пересечения которых с заданными поверхностями проецируются в виде элементарных линий (прямых, окружностей и т.п.). Наиболее часто в качестве вспомогательных секущих поверхностей выбирают плоскости и сферы. В том случае, если хотя бы одна из пересекающихся поверхностей является линейчатой или многогранником, то задача на построение линии их пересечения может быть сведена к построению точек пересечения прямолинейных образующих линейчатой поверхности или ребер многогранника со второй заданной поверхностью. При этом для упрощения и уточнения построений бывает удобным использовать способы преобразования проекций.

Из двух поверхностей только одна может пересекать другую. Поэтому пересекающая поверхность сохраняется, а на пересекаемой поверхности возникают отверстия. Возможны два случая взаимного пересечения поверхностей: проницание и врезка. В первом случае образуются или две отдельные линии, или, если пересекающиеся поверхности соприкасаются, одна линия с узловой точкой. В узловой точке обе соприкасающиеся поверхности

72

имеют общую к ним касательную плоскость. Во втором случае получается только одна линия без узловой точки.

Проекции линии пересечения получаются в пределах общей части проекций обеих поверхностей. При построении точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, сначала необходимо определить характерные или опорные точки. К ним относят:

1)точки, проекции которых отделяют видимую часть проекции линии пересечения от невидимой;

2)точки наивысшие и наинизшие по отношению к горизонтальной плоскости проекций, ближайшие и наиболее удаленные от наблюдателя, крайние слева и справа на проекциях линии пересечения.

Способ вспомогательных секущих плоскостей. Наиболее рас-

пространенным способом построения линии пересечения поверхностей является способ вспомогательных секущих плоскостей. Заданные по-

верхности и (рис. 53) пересекаются некоторой плоскостью Р1 по

плоским линиям l1 и m1. Точка (или точки) пересечения этих линий, лежащих в одной плоскости Р1, определяет точку (или точки) K1, принадлежащую линии пересечения заданных поверхностей.

Проведя n таких вспомогательных плоскостей (P1, P2, …, Pn), можно найти n точек

(K1, K2, …, Kn), принад-

лежащих искомой линии p пересечения поверхностей и

(рис. 53). Очевидно, что если каждое сечение вспомогательной плоскостью определяет две

(три, четыре и т.д.) точки, принадлежащие пересекающимся поверхностям, то проведение n таких плоскостей позволит получить 2n (3n, 4n и т.д.) точек, принадлежащих линии пересечения.

При построении линии пересечения поверхностей вспомогательные секущие плоскости необходимо выбирать таким образом, чтобы при их пересечении с заданными поверхностями получались элементарные линии.

Пример 39. Построить проекции линии пересечения конуса со сферой (рис. 54, а).

73

Решение. Построение начинаем с нахождения опорных точек 1 и 2 (рис. 54, б). Для этого через оси поверхностей проводим фронтальную плоскость F (FH), которая пересекает конус по очерковым образующим, а сферу – по очерковой окружности. Пересечение этих линий определит положение опорных точек линии пересечения 1 (1', 1'') и 2

(2', 2'').

Каждая из заданных поверхностей представляет собой поверхность вращения с осью, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций. Поэтому в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбираем горизонтальные плоскости, которые будут пересекать конус и сферу по окружностям.

Проводим первую вспомогательную секущую плоскость Р1 (P1V). Эта плоскость пересекает конус по окружности радиусом R1, которая на горизонтальную плоскость проекций спроецируется в натуральную величину. Эта же плоскость пересечет сферу по окружности радиусом r1, которая также проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину. На пересечении этих окружностей на горизонтальной проекции отмечаем точки 3' и 4' и находим их фронтальные проекции 3'' и 4'', проведя линии связи до пересечения со следом P1V . Построенные точки 3 (3', 3'') и 4 (4', 4'') принадлежат искомой линии пересечения заданных поверхностей.

Аналогично проводим вспомогательную секущую плоскость Р2 (P2V), которая позволяет определить точки 5 (5', 5'') и 6 (6', 6''), принадлежащие линии пересечения.

Для определения видимости элементов чертежа на горизонтальной проекции проведем через экватор сферы горизонтальную плоскость Т (ТV). Эта плоскость пересечет конус по окружности радиусом R, а сферу – по очерковой окружности радиусом r. На пересечении этих линий получаем точки 7 (7', 7'') и 8 (8', 8'') (рис. 54, в). Соединяем одноименные проекции точек 1 (1', 1'') – 8 (8', 8'') и получаем проекции линии пересечения конуса со сферой. На фронтальной проекции видимый участок 1'' 3'' 7'' 5'' 2'' линии пересечения полностью закрывает невидимый участок 1'' 4'' 8'' 6'' 2''. На горизонтальной плоскости проекций участок 7' 3' 1' 4' 8' линии пересечения является видимым, а остальная ее часть – невидимой (рис. 54, г).

Пример 40. Построить проекции линии пересечения цилиндра с полусферой (рис. 55, а).

75

Решение. Решение задачи начинаем с нахождения опорных точек линии пересечения (рис. 55, б). Проекции 1' и 2' крайних нижних точек линии пересечения определяем на пересечении окружностей оснований цилиндра и полусферы. Проведя линии связи через проекции 1' и 2' до пересечения с осью проекций, получаем фронтальные проекции 1'' и 2'' искомых точек.

Для определения крайней верхней точки 3 линии пересечения через оси поверхностей проводим горизонтально-проецирующую плоскость S (SH, SV). Горизонтальную проекцию 3' получаем на пересечении горизонтальной проекции основания цилиндра со следом SH. Для построения фронтальной проекции 3'' точки 3 проводим через нее фронтальную плоскость Т (TH), которая пересекает цилиндр по образующим, а полусферу – по полуокружности радиусом r. На пересечении этих линий на фронтальной проекции получаем проекцию 3''.

Рис. 55

76

Рис. 55. Продолжение

Обе заданные поверхности представляют собой поверхности вращения, оси которых перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций, поэтому в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбираем фронтальные плоскости. Эти плоскости пересекают цилиндр по образующим, а полусферу – по окружностям.

Проводим первую вспомогательную секущую плоскость Р1 (P1Н) (рис. 55, в). Эта плоскость пересекает цилиндр по образующим, а полусферу – по окружности радиусом R1, которая проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину. На пересечении образующих цилиндра и окружности на фронтальной проекции получаем точку 4'' . Построенная точка 4 (4', 4'') принадлежит искомой линии пересечения заданных поверхностей.

77

Аналогично проводим вспомогательные секущие плоскости Р2 (P2Н) и Р3 (P3Н), которые позволяют определить точки 5 (5', 5'') – 7 (7', 7''), принадлежащие линии пересечения. Границей видимости (рис. 55, в, г) является точка 4 (4', 4'').

Соединяем одноименные проекции точек 1 (1', 1'') – 7 (7', 7'') и получаем проекции линии пересечения цилиндра с полусферой. На горизонтальной проекции линия пересечения совпадает с окружностью основания цилиндра. На фронтальной проекции участок 2'' 4'' линии пересечения является видимым, а остальная ее часть – невидимой

(рис. 55, г).

Пример 41. Построить проекции линии пересечения двух цилиндров (рис. 56, а).

Решение. Построение начинаем с отыскания опорных точек 1 и 2 (рис. 56, б). Для этого через оси поверхностей проводим фронтальную плоскость F (FH), которая пересекает цилиндры по очерковым образующим. Пересечение этих линий определит положение опорных точек линии пересечения 1 (1', 1'') и 2 (2', 2'').

В качестве вспомогательных секущих плоскостей выбираем горизонтальные плоскости, которые пересекают цилиндр с горизонтальной осью по образующим, а цилиндр с вертикальной осью – по окружностям.

Проводим первую вспомогательную секущую плоскость Р1 (P1V, P1W). Эта плоскость пересекает цилиндр с горизонтальной осью по образующим, для построения которых воспользуемся профильной проекцией.

окружности основания. Проекции 3''' и 4''' получаем на пересечении следа P1W с окружностью основания цилиндра с горизонтальной осью. Точки 3' и 4' получаем на пересечении образующих, проходящих через точки 3 и 4 с проекцией окружности основания цилиндра с вертикальной осью. Точки 3'' и 4'' находим по двум проекциям, найденным ранее.

Аналогично проводим вспомогательные секущие плоскости Р2 (P2V, P2W) и Р3 (P3V, P3W), которые позволяют определить точки 5 (5',

5'',5'''), 6 (6', 6'', 6'''), 7 (7', 7'',7''') и 8 (8', 8'', 8'''), принадлежащие линии пересечения.

Соединяем одноименные проекции точек 1 – 8 и получаем проекции линии пересечения двух цилиндров. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией основания цилиндра с вертикальной осью, а профильная проекция линии пересечения – с проекцией

78

а)

б)

Рис. 56

79

основания цилиндра с горизонтальной осью. На фронтальной проекции видимый участок 1'' 5'' 7'' 3'' 2'' линии пересечения полностью закрывает невидимый участок 1'' 6'' 8'' 4'' 2''.

Пример 42. Построить проекции линии пересечения усеченного конуса с прямой треугольной призмой (рис. 57, а).

Решение. Построение начинаем с нахождения опорных точек 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (рис. 57, б). Фронтальные проекции 1'' – 6'' этих точек совпадают с фронтальной проекцией основания призмы. Для построения их горизонтальных проекций воспользуемся вспомогательными горизонтальными плоскостями, которые пересекают усеченный конус по окружностям, а призму – по отрезкам прямых.

Рис. 57

80