1 семестр / NG_Rukovodstvo_k_vypoleniyu_zadaniy_2014

б)

Рис. 63. Продолжение

Из точки О (О', О2''), как из центра, проводим первую вспомогательную концентрическую сферу наименьшим радиусом Rmin . Такая

сфера пересекает тор по окружности m (m', m1''), которая проецируется на фронтальную плоскость проекций V1 отрезком, а на горизонтальную плоскость проекций – окружностью радиусом R. Сфера пересекает ци-

91

линдр также по окружности n (n', n1''), которая проецируется на фронтальную плоскость проекций V1 отрезком. Пересечение этих окружностей определяет две точки 3 (3', 31'') и 4 (4', 41''), принадлежащие линии пересечения. Затем увеличиваем радиус сферы и повторяем построения (рис. 63, в). Найденные таким образом точки 1 (1', 11'') – 8 (8', 81'') позволяют построить проекции линии пересечения на плоскости Н и V1.

в)

Рис. 63. Продолжение

92

Для построения проекции линии пересечения на плоскость V (рис. 63, г) воспользуемся принадлежностью точек, определяющих линию пересечения, поверхности тора. Проводим через каждую точку на горизонтальной проекции окружность, находим их фронтальные проекции, представляющие собой отрезки, и строим на них фронтальные проекции искомых точек.

Видимость элементов чертежа определяем с помощью точек, лежащих на очерковых образующих цилиндра.

Способ вспомогательных эксцентрических сфер. Сферы можно использовать в качестве секущих не только для построения линии пересечения поверхностей вращения, но и поверхностей, имеющих семейство плоских сечений в виде окружностей. Примерами таких поверхностей являются тор, наклонные цилиндр и конус и др.

На рис. 64 показан наклонный конус, при рассечении которого горизонтальными плоско-

стями получаются окружности (например, m (m', m'')). Для того чтобы сфера пересекала конус по окружности m (m', m''), ее центр должен лежать в точке С (С', С''), расположенной на перпендикуляре к плоскости этой окружности, восстановленном из ее центра О (О', О''). При этом радиус R сферы будет определяться отрезками С'' 1'' и С'' 2''.

93

На рис. 65 показана четверть тора. Каждое сечение этой поверхности фронтально-проецирующими плоскостями, проходящими через ось тора О (О', О''), представляют собой окружности (например, m (m', m'')), которые проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка прямой.

Для того чтобы сфера пересекла тор по этой окружности, ее центр С (С', С'') должен быть расположен на перпендикуляре к плоскости этой окружности, проведенном из ее центра О1 (О1', О1''). При этом радиус R сферы будет определяться отрезками С'' 1'' и С'' 2''.

Пример 46. Построить проекции линии пересечения усеченного конуса с тором (рис. 66, а).

Решение. Для определения опорных точек 1 и 2 линии пересечения проводим через ось конуса вспомогательную секущую плоскость F (FH), параллельную фронтальной плоскости проекций (рис.66, б). Эта плоскость пересекает конус по очерковым образующим, а тор – по очерковой окружности. Пересечение этих линий между собой определит проекции 1'' и 2'' точек, принадлежащих линии пересечения. Проекции 1' и 2' этих точек получаем на следе FH .

94

а)

Рис. 66

95

б)

Рис. 66. Продолжение

96

в)

Рис. 66. Продолжение

97

г)

Рис. 66. Окончание

98

Проводим через ось тора О (О', О'') фронтально-проецирующую плоскость Р1 (Р1V) (рис. 66, б). Такая плоскость пересекает тор по окружности m1 (m1''), которая проецируется на фронтальную плоскость проекций отрезком 3'' 4''. Для того чтобы сфера пересекла тор по этой окружности, ее центр должен лежать на перпендикуляре к плоскости этой окружности, восстановленном из ее центра О1. Но для того чтобы эта же сфера пересекла поверхность конуса тоже по окружности, ее центр должен лежать на оси вращения конуса. Поэтому фронтальную проекцию С1'' центра сферы С1 находим на пересечении перпендикуляра к отрезку 3'' 4'', восстановленного из его середины (точки О1''), с осью конуса.

Проводим вспомогательную секущую сферу из центра С1 (С1'') радиусом С14 (R1 = С1'' 4''). Эта сфера пересекает тор по окружности m1, которая проецируется на фронтальную плоскость проекций отрезком 3'' 4'', а конус – по окружности n1, которая проецируется на фронтальную плоскость проекций отрезком 5'' 6''. Пересечение этих окружностей (отрезков 3'' 4'' и 5'' 6'') определяет две точки 7 (7', 7'') и 8 (8', 8''), принадлежащие линии пересечения.

Проведение плоскостей Р2 (Р2V) и Р3 (Р3V) и выполнение аналогичных построений (рис. 66, в) позволяет определить еще две пары точек, принадлежащих линии пересечения. Горизонтальные проекции этих точек находим из условия их принадлежности пересекающимся поверхностям (рис. 66, г).

Некоторые частные случаи пересечения поверхностей. В неко-

торых частных случаях построение линии пересечения можно значительно упростить. Рассмотрим, например, два цилиндра с параллельными образующими (рис. 67) и два конуса с общей вершиной (рис. 68). В обоих случаях линиями пересечения поверхностей являются общие образующие этих поверхностей.

Другой частный случай пересечения поверхностей определен теоремой Монжа: если две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности тоже второго порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой, то линиями их пересечения являются две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

99