1 семестр / NG_Rukovodstvo_k_vypoleniyu_zadaniy_2014

При сечении конической поверхности плоскостью возникают следующие виды сечений: эллипс, парабола, гипербола, окружность, две пересекающиеся прямые и точки.

Пример 26. Построить проекции линии пересечения прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 35, а).

Решение. Плоскость Р проходит через вершину конуса S и пересекает конус по образующим S1 (S'1', S''1'') и S2 (S'2', S''2'') (рис. 35, б).

Пример 27. Построить проекции линии пересечения прямого кругового конуса плоскостью Р (рис. 36, а).

Решение. Плоскость Р (PV) параллельна круговому основанию конуса и пересекает его по окружности радиусом R (рис. 36, б).

Пример 28. Построить проекции линии пересечения прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 37, а).

Решение. Плоскость Р (PV) пересекает конус по эллипсу. Фронтальная проекция эллипса представляет собой отрезок прямой, совпадающий со следом PV. Для построения горизонтальной проекции находим точки, определяющие большую ось эллипса – это точки 1 (1', 1'') и 2 (2', 2''), лежащие на очерковых образующих конуса (рис. 37, б).

51

Рис. 36

Рис. 37

52

Для построения малой оси эллипса делим отрезок 12 (1'2', 1''2'') пополам и определяем центр эллипса – точку О (О', О''). Затем через центр О (О', О'') проводим вспомогательную плоскость Т1 (Т1V) и строим окружность радиусом R1, на которой находим точки 3 (3', 3'') и 4 (4', 4''). Отрезок 34 (3'4', 3''4'') – малая ось эллипса. Дополнительные точки строим при помощи вспомогательных секущих плоскостей Т2 (Т2V) и Т3 (Т3V). Плавной линией соединяем построенные точки.

Пример 29. Построить проекции линии пересечения прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 38, а).

Рис. 38

Решение. Плоскость Р (PV) параллельна одной из образующих конуса и пересекает его по параболе. Фронтальная проекция параболы представляет отрезок прямой, совпадающий со следом PV. Для построения горизонтальной проекции определим вершину 1 (1', 1'') – она находится на очерковой образующей конуса (рис. 38, б). Дополнительные точки, определяющие построение кривой, построим при помощи вспомогательных горизонтальных плоскостей Т1 (Т1V) и Т2 (Т2V), которые пересекают конус по окружностям радиусов R1 и R2. На пересечении этих окружностей с плоскостью Р, находятся дополнительные точки 2 (2', 2''), 3 (3', 3''), 4 (4', 4'') и 5 (5', 5''). Крайние точки 6 (6', 6'') и

53

7 (7', 7'') получаем при пересечении следа PV с основанием конуса. Плавной линией соединяем полученные точки и получаем горизонтальную проекцию параболы.

Пример 30. Построить проекции линии пересечения прямого кругового конуса горизонтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 39, а).

Рис. 39

Решение. Плоскость Р (PН) параллельна двум образующим конуса и пересекает его по гиперболе. Горизонтальная проекция гиперболы представляет собой отрезок прямой, совпадающий со следом PН. Для построения вершины гиперболы проведем образующую SA (S'A', S''A''), перпендикулярную следу PН (рис. 39, б). При пересечении образующей SA (S'A', S''A'') и следа PН находим точку 1 (1', 1''), которая является вершиной гиперболы. Для построения видимости фронтальной проекции линии сечения определим точку пересечения крайней образующей конуса со следом PН – это точка 2 (2', 2''). Эта точка будет граничной при определении видимости. Дополнительные точки 3 (3', 3'') и 4 (4', 4'') построены при помощи вспомогательной горизонтальной секущей плоскости Т (ТV). Крайние точки 5 (5', 5'') и 6 (6', 6'') определены как точки пересечения следа PН с основанием конуса.

54

Плавной линией соединяем полученные точки и получаем фронтальную проекцию гиперболы.

Пример 31. Построить проекции линии пересечения пирамиды SABCD фронтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 40, а).

Решение. Так как плоскость Р (PV) – фронтально-проецирующая, то фронтальная проекция линии пересечения представляет собой отрезок прямой, совмещенный со следом PV плоскости. Обозначим точки пересечения ребер пирамиды SA, SB, SC и SD со следом PV соответственно 1'', 2'', 3'', 4'', и построим их горизонтальные и профильные проекции (рис. 40, б). Горизонтальные проекции 2' и 4' точек 2 и 4 построим, используя их профильные проекции (по условию задачи ребра

SB (S'В', S''В'') и SD (S'D', S''D'') – профильные прямые).

Видимость ребер на проекциях определяем следующим образом: на фронтальную проекцию смотрим по направлению s'. Видимыми будут ребра SA (S''А''), SB (S''В'') и SC (S''С''). На горизонтальной проекции направление взгляда совпадает с направлением s'', тогда видимыми будут все ребра. На профильную проекцию смотрим по направлению s''' и

видимыми будут ребра SA (S'''А'''), SB (S'''В''') и SD (S'''D''').

а)

Рис. 40

55

б)

Рис. 40. Продолжение

Соединяем полученные проекции точек и строим проекции линии пересечения.

Пример 32. Построить проекции линии пересечения пирамиды SABC горизонтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 41, а).

Решение. По условию задачи плоскость Р (PН) – горизонтальнопроецирующая. Поэтому горизонтальная проекция линии сечения представляет собой отрезок прямой, совмещенный со следом PН. Обозначим точки пересечения следа PН плоскости с ребрами пирамиды 1', 2', 3', и построим фронтальные и профильные проекции точек пересечения (рис. 41, б). Соединяем проекции точек пересечения между собой и получаем проекции линии пересечения. Затем определяем видимость отрезков.

56

а)

б)

Рис. 41

57

а)

б)

Рис. 42

58

Пример 33. Построить проекции линии пересечения прямой призмы фронтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 42, а).

Решение. Плоскость Р (РV) – фронтально-проецирующая и пересекает ребра призмы в точках 1 – 6 (рис. 42, б). Фронтальные проекции точек 1'', 2'', 3'', 4'', 5'', 6'' совпадают со следом РV и представляют собой отрезок прямой. Горизонтальные проекции точек 1', 2', 3', 4', 5', 6' совпадают с горизонтальными проекциями ребер призмы (так как по условию задачи призма прямая и стоит на плоскости проекций Н). Строим профильные проекции точек, соединяем их отрезками прямых и определяем видимость.

Развертывание многогранников. Развертыванием поверхности называется процесс ее совмещения с некоторой плоскостью. Поверхность, которая может быть совмещена с плоскостью без разрывов и складок, называется развертываемой, а полученное при этом изображение – ее разверткой. Многогранные поверхности являются развертываемыми.

Развертка многогранника (многогранной поверхности) представляет собой плоскую фигуру, состоящую из совокупности всех его граней. Рассмотрим построение разверток пирамид и призм как наиболее распространенных в инженерной практике.

Пример 34. Построить полную развертку правильной четырехугольной пирамиды и нанести на нее ломаную линию 12341, принадлежащую поверхности пирамиды (рис. 43, а).

Решение. Развертка полной поверхности пирамиды представляет собой совокупность ее основания (в данном случае квадрат) и всех граней (треугольников).

Для построения развертки боковой поверхности заданной пирамиды вначале необходимо определить натуральную величину всех ее ребер SА (S'A', S''A''), SВ (S'В', S''В''), SС (S'C', S''C''), SD (S'D', S''D'').

Натуральную величину ребер удобно определить их вращением вокруг горизонтально-проецирующей оси i (i', i''), совпадающей с высотой пирамиды (см. пример 23). Поскольку заданная пирамида правильная и все ее боковые ребра равны между собой, то достаточно найти натуральную величину одного из них, например, SА (S'A', S''A'')

(рис. 43, б).

Основание пирамиды расположено в горизонтальной плоскости проекций, поэтому на эту плоскость оно проецируется без искажения (A'B'C'D'

59