МУ к ИДЗ по физике 2 семеcтр

Третье уравнение Максвелла (получено на основе теоремы Остроградского–Гаусса для электростатического поля в диэлектрике) в интегральной и дифференциальной формах:

S V

Четвертое уравнение Максвелла (получено на основе теоремы Остроградского–Гаусса для магнитного поля в вакууме) в интегральной и дифференциальной формах:

B dS 0, div B 0. .

S

Данные четыре структурных уравнения дополняются тремя материальными уравнениями, характеризующими свойства среды. Для изотропных не сегнетоэлектрических и неферромагнитных сред материальные уравнения имеют вид соответственно:

D 0 E , B 0 H , j E .

Также, полную систему уравнений Максвелла дополняют граничными условиями для электрического и магнитного полей:

Для стационарных электрического и магнитного полей струк-

2.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 2.1. Бесконечно длинный провод с током I = 100 А изогнут так, как это показано на рис. 2.5. Определите магнитную индукцию B в точке О. Радиус дуги R = 10 см.

61

Решение. Магнитную индукцию B в точке O найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей:

i1

Внашем случае провод можно разбить на пять частей: два пря-

молинейных провода AB и EF, уходящие одним концом в бесконечность, один отрезок DC и две полуокружности BC – радиусом 2R и DE – радиусом R. Тогда

B = BAB + BBC + BDC + BDE + BEF.

Магнитная индукция от участков AB и DC равна нулю, так как точка O лежит на оси провода AB. Поэтому

B = BBC + BDE + BEF.

Магнитная индукция поля кругового тока радиусом R равна

Поскольку токи текут в разных направлениях, то вектор индукции BBC направлен в сторону, противоположную направлению вектора BDE. Вектор BEF будет направлен в ту же сторону что и BDE. Поэтому

Известно, что магнитное поле на расстоянии r от отрезка длинной l, по которому течет ток силой I, равно

62

Поэтому в нашем случае вектор магнитной индукции от отрезка EF равен

Из рис. 2.5 видно, что α1 = 2 , α2 = π и r = R, поэтому

Магнитное поле от всей рамки равно

Ответ: В = 0,257 мТл.

Задача 2.2. По двум скрещенным под прямым углом бесконечно длинным проводам текут токи I и 2I (I = 100 А). Определите магнитную индукцию B в точке А (рис. 2.6). Расстояние d = 10 см.

Точка А находится на расстоянии 2d от первого провода и на расстоянии d от второго провода. В результате, модули векторов магнитной индукции:

ры B1 и B2 перпендикулярны друг другу, поэтому суммарный вектор магнитной индукции найдем по правилу Пифагора:

63

Подставим численные значения в системе СИ:

Ответ: В = 0,28 мТл.

Задача 2.3. По тонкому кольцу радиусом R = 20 см течет ток I = 100 А. Определите магнитную индукцию B на оси кольца в точке А (рис 2.7). Угол α = π/3.

где dB – магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока Idl в точке, определяемой радиусом-вектором r .

Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем ра-

диус-вектор r (см. рис. 2.7). Вектор dB направим в соответствии с правилом буравчика. Согласно принципу суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точке определяется интегрированием:

l

где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца. Разложим вектор dB на две составляющие: dB1 : перпен-

дикулярную плоскости кольца, и dB2 , параллельную плоскости кольца, т. е. dB = dB1 + dB2 . Тогда

64

составляющие векторы dB1 от различных элементов dl сонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

Ответ: В = 0,39 мкТл.

Задача 2.4. В однородное магнитное поле с индукцией В = 150 мТл помещена прямоугольная рамка со сторонами а = 4 см и b = = 6 см соответственно. Нормаль к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 60 . Определите вращающий момент, действующий на рамку, если по ней течет ток I = 1 А.

65

Магнитный момент рамки равен:

pm IS ,

где I – ток, протекающий в рамке; S – площадь рамки, S = ab. В итоге получим:

M IabВ sin .

Подставим числовые значения:

ны, то силы взаимодействия между любыми парами проводов будут одинаковыми. Из рис. 2.8 видно, что

66

F1 = F2 = 2Fcos60º = 2F 0,5 = F .

Поэтому

Определим силу F3 исходя из того, что F3 = 2 F cos30º = 3F :

F3 3 0,16 0, 28 Н/м . Ответ: F1 = F2 = 0,16 Н/м, F3 = 0,28 Н/м.

Задача 2.6. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 88 кВ, влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции (= 90°). Индукция поля равна 0,01 Тл.

67

сти и вектором магнитной индукции равен . Определите скорость электрона, если шаг винтовой линии h, а радиус R.

Решение. Рассмотрим две составляющие скорости

(рис. 2.9): υ и υ|| υ cos .

Рис. 2.9

нии. В сумме обе составляющие (окружность и прямая линия) дают винтовую линию с шагом между витками

68

Отсюда получим

где q – заряд электрона; m – масса электрона.

Задача 2.8. Прямоугольная рамка площадью 500 см2, состоящая из 200 витков провода, равномерно вращается в однородном магнитном поле вокруг оси, проходящей через ее центр параллельно одной из ее сторон с частотой 10 с-1 (рис. 2.10). При этом в рамке индуцируется ЭДС, максимальное значение которой 150 В. Найдите индукцию магнитного поля.

Подставим (2) в (1) и продифференцируем полученное выражение:

i dt

ЭДС индукции будет максимальна в моменты времени, когда sin(2 t) 1:

69

Подставим в (5) числовые значения в системе СИ (S = 500 см2 = = 5 10-2 м2):

Ответ: В = 0,24 Тл.

Задача 2.9. Проводящее кольцо радиуса r = 0,1 м и сопротивлением R = 10 Ом находится в магнитном поле с индукцией В = = 1 млТл. Определите количество электричества при повороте плоскости кольца на угол 30от положения, в котором плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции.

Подставляя в формулу все величины в системе СИ, получим

Ответ: q 0,42 мкКл .

Задача 2.10. Найдите разность потенциалов, возникающую на концах крыла самолета при горизонтальном полете со скоростью υ = 1200 км/ч, если размах крыла самолета l = 40 м. Вертикальная составляющая напряженности магнитного поля Земли Н = 40 А/м.

70