3.5. Скалярний добуток векторів та його властивості

Означення. Скалярним добутком векторів іназивають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.

.

.

Скалярний добуток двох векторів має такі в л а с т и в о с т і:

1. Переставний закон: .

2. Розподільний закон: .

3. Сполучний закон: .

4. Якщо ||, то.

5. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля:

.

6. Вектори перпендикулярні тоді і лише тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Отже, якщо , тоі навпаки.

7. Скалярні добутки ортів:

, ,,,,.

3.6. Скалярний добуток двох векторів, заданих координатами

Нехай задано два вектори: і; інакше,.

Обчислимо скалярний добуток .

,

оскільки

, ,,,,.

Отже, маємо:

.

Наслідки.

1. .

2. .

.

3. Умова перпендикулярності векторів:

.

Умова перпендикулярності векторів:

.

Приклад 8.

Дано координати точок , ,.

Вимагається:

1) записати вектори ів координатній формі та знайти модулі цих векторів;

2) знайти кут між векторами і;

3) знайти проекції: ,.

, ,.

Розв’язання.

1. Якщо відомі координати точки і точки, то векторбуде мати координати,

або

.

Маємо ,

.

Остаточно:

,

.

Модуль вектора обчислюємо за формулою

.

.

.

2. Скористуємося формулою

,

.

3. .

.

Питання для самоперевірки

13. Які вектори називаються колінеарними?

14. Які вектори називаються компланарними?

15. Що називається сумою векторів?

16. Як визначається операція множення вектора на число?

17. Що називається проекцією вектора на вісь?

18. Який розклад вектора за координатними ортами?

19. Дайте означення скалярного добутку двох векторів.

20. Сформулюйте основні властивості скалярного добутку.

21. Як обчислюється скалярний добуток двох векторів в координатній формі?

22. За якою формулою обчислюється кут між двома векторами?, проекція вектора на вектор?

23. Сформулюйте умови паралельності та перпендикулярності векторів.

Задачі до розділу 3

В задачах 101–120 дано координати точок , ,.

Вимагається:

1. записати вектори ів координатній формі, знайти модулі цих векторів;

2. знайти кут між векторамиі.

3. Знайти проекцію вектора на.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

101. , ,.

Розділ 4. Аналітична геометрія у просторі

1. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора

Нехай площину у просторі задано деякою її точкоюта ненульовим вектором, перпендикулярним цій площині.

Вектор називаютьнормальним вектором площини.

Візьмемо на площині довільну точку. Тоді вектормає координати.

При будь-якому положенні точки на площині, а отже, їх скалярний добуток буде дорівнювати0:

,

або

–

рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно вектору.