2.6. Перетворення декартових координат Паралельне перенесення системи координат

Систему координат перенесемо паралельно собі так, щоб початок координат співпадав з точкою.

Дістанемо систему координат . Координати довільної точкив системі–, а в системі–.

–формули, які пов’язують координати точки в системахі.

Поворот системи координат на кут φ

Нехай задана прямокутна декартова система координат . Виконаємо поворот осей координат на кут(початок системи координат не змінюється; кутвідраховуємо проти годинникової стрілки), при цьому одержимо нову систему координат.

Тоді залежність між старими координатами і новимивизначається наступними формулами:

.

2.7. Побудова кривих другого порядку за їх рівнянням

Вид рівняння кривої залежить від вибору системи координат. В різних системах координат для однієї й тієї ж кривої ми будемо одержувати рівняння різної складності. Отже, виникає наступна задача. Дано рівняння кривої другого порядку в деякій декартовій системі координат , яке не є простішим. Потрібно за допомогою перетворень координат одержати простіше рівняння кривої.

Розглянемо рівняння другого степеня виду (це рівняння не містить членаз добутком координат).

Таке рівняння визначає на площині еліпс, гіперболу або параболу (можливі випадки виродження цих кривих). Для того, щоб привести це рівняння до канонічного виду треба виділити повні квадрати по змінним х і у і виконати паралельне перенесення системи координат.

При цьому, якщо:

1) , маємо рівняння еліпса (– рівняння кола);

2) , маємо рівняння гіперболи;

3) , маємо рівняння параболи.

2.8. Графік квадратного тричлена

Нехай задано рівняння виду , права частина якого – квадратний тричлен.

Графіком квадратного тричлена є парабола з віссю симетрії, паралельній осі ординат. Якщо параметр , то вітки параболи напрямлені вгору, при– вниз.

Аналогічно, рівняння визначає параболу, вісь симетрії якої паралельна осі .

Ці рівняння паралельним перенесенням системи координат перетворюються до канонічного виду рівняння параболи.

Приклад 7.

Привести до канонічного виду рівняння , побудувати параболу.

Розв’язання.

Виділимо повний квадрат по змінній .

.

Тепер маємо , або.

Виконаємо паралельне перенесення системи координат:

,

,

–центр нової системи координат.

В новій системі координат рівняння параболи матиме вид:

–канонічне рівняння параболи з вершиною в точці  .

х

2.9. Графік обернено пропорційної залежності

Розглянемо функцію . Графіком цієї функції є рівнобічна гіпербола, асимптоти якої співпадають з координатними осями.

Для того, щоб привести дане рівняння до канонічного виду, труба виконати поворот осей координат на кут .

При гілки гіперболи розташовані іІ та ІІІ чверті, а її дійсна піввісь співпадає з віссю ; при– гіпербола розташована вІІ та ІV координатних кутах, дійсна піввісь співпадає з віссю .

Старі осі тає бісектрисами координатних кутів нової системиі асимптотами рівнобічної гіперболи.