Міністерство аграрної політики України

Дніпропетровський державний аграрний університет

Дьяченко н.К. Аналітична геометрія на площині та у просторі. Елементи векторної алгебри.

Навчальний посібник

Дніпропетровськ

2009

Дьяченко Н.К.

Аналітична геометрія на площині та у просторі. Елементи векторної алгебри:

Навчальний посібник/ Дніпропетровський державний аграрний університет – Дніпропетровськ, 2009 – 78 с.

У навчальному посібнику розглянуто основні поняття і положення аналітичної геометрії на площині та у просторі, а також елементи векторної алгебри.

Розібрано типові задачі, а також наведені завдання для самостійного розв’язування.

Посібник буде корисним для студентів заочної форми навчання економічних спеціальностей, а також для студентів очної форми навчання при підготовці до модульної роботи з аналітичної геометрії.

Розділ 1.

ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ

1. ВІДСТАНЬ МІЖ ДВОМА ТОЧКАМИ НА ПЛОЩИНІ

Нехай задано точки і. Визначимо відстань між ними.

З маємо:

.

Отже, відстань між двома точками на площині

Відстань точки від початку координат знаходимо за формулою.

2. ДІЛЕННЯ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ

Дано точки та.

Вимагається знайти координати точки , яка ділить відрізоку відношенні, тобто

.

Координати точки можна визначити за формулами:

.

Зауваження. Координати середини відрізка знаходимо за формулами

.

3. ПОНЯТТЯ РІВНЯННЯ ЛІНІЇ НА ПЛОЩИНІ

Нехай на площині задано декартову прямокутну систему координат і деяку лінію .

Означення. Рівняння називаютьрівнянням лінії (відносно заданої системи координат), якщо рівняння задовольняється координатами  і будь-якої точки, яка лежить на лінії і не задовольняється координатами   і  жодної точки, що не лежить на лінії .

4. РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ НА ПЛОЩИНІ

1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Означення. Кутом нахилу прямої до осі називається кут між прямою та віссю , який відраховується проти годинникової стрілки від додатного напряму осі до прямої.

Означення. Кутовим коефіцієнтом прямої називається тангенс кута нахилу цієї прямої до осі , тобто .

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вид:

(1)

Числовий параметр називаютьпочатковою ординатою. Параметр дорівнює ординаті точки перетину прямої з віссю .

Розглянемо деякі частинні випадки.

1. Якщо , то рівняння(1) має вигляд – рівняння прямої, що проходить через початок системи координат.

2. Якщо , то рівняння(1) має вигляд – рівняння прямої, паралельної осі .

3. Якщо , то рівняння(1) має вигляд – рівняння осі.

2. Загальне рівняння прямої.

Т е о р е м а. Кожне рівняння першого ступеня відносно х і у, тобто рівняння виду , визначає на площині пряму лінію.

Рівняння

(2)

називають загальним рівнянням прямої.

, ,– числові параметри, причому.

Частинні випадки.

1) ,. Рівняння(2) тоді матимемо вид – рівняння прямої, що проходить через початок системи координат.

2) ,. Пряма визначається рівнянням, або– пряма, яка паралельна осі .

3) ,. В цьому випадку рівняння(2) буде мати вид , звідки– рівняння прямої, паралельної осі .

4) ,, рівняння(2) має вигляд:

–рівняння осі .

5) ,, рівняння(2) має вигляд:

–рівняння осі .

3. Рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямі.

Нехай задано точку , через яку проходить пряма і кутовий коефіцієнтцієї прямої, тоді рівняння

(3)

називають рівнянням прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямі.

4. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Нехай задано точки і. Вимагається скласти рівняння прямої, що проходить через ці точки.

Використаємо рівняння (3). Підставимо в це рівняння координати точки .

Маємо , звідки– кутовий коефіцієнт прямої, яка проходить через дві задані точки.

Підставимо цей кутовий коефіцієнт в рівняння (3).

Дістанемо ,

звідки

(4)

рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

В рівнянні (4) припускаємо, що ,, інакше, це рівняння не має змісту.

Якщо , то будемо мати– пряма, паралельна осі ординат.

Якщо , то маємо пряму– пряма паралельна осі абсцис.

5. Рівняння прямої у відрізках на осях.

Рівняння прямої у відрізках на осях має вид:

(5)

Параметр в цьому рівнянні – абсциса точки перетину прямої з віссю , – ордината точки перетину прямої з віссю .