Розділ 2. Криві другого порядку

2.1. Поняття кривої другого порядку

Означення. Кривою другого порядку називають лінію, що визначається рівнянням другого степеня відносно декартових координат:

,

де , ,,,,– дійсні числа і , , одночасно не дорівнюють нулю.

2.2. Коло

Означення. Коло – геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки, що називається центром кола.

Одержимо рівняння кола з центром в точці і радіуса .

Нехай точка – довільна точка кола.

Визначимо відстань між точками і за формулою відстані між двома точками на площині:

, звідси маємо

–

(1)

канонічне рівняння кола з центром в точці радіуса .

Коло радіуса , центр якого знаходиться в початку координат описується рівнянням:

.

(2)

Якщо в рівнянні (1) розкрити дужки, то одержимо рівняння кола у вигляді:

.

(3)

Як бачимо, для рівняння кола виконуються дві умови:

1. коефіцієнти при ірівні;

2. відсутній член з добутком координат х ∙ у.

Приклад 2.

Знайти центр і радіус кола .

Розв’язання.

Перетворимо ліву частину рівняння, виділимо для цього повні квадрати по змінним і.

,

.

–рівняння кола з центром в точці радіуса.

2.3. Еліпс

Означення. Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок (фокусів), є величина стала, дорівнює 2а, більша, ніж відстань між фокусами.

Позначимо відстань між фокусами і .

Виберемо систему координат так, щоб фокуси мали координати і

Нехай точка – довільна точка еліпса. За визначенням еліпса маємо:

.

;

,

тоді

,

.

Ліву і праву частини останнього рівняння піднесемо до квадрату:

,

,

звідки

,

або

,

тоді

,

.

Згідно з умовою в означенні еліпса , отже.

Позначимо . Тоді рівняння перепишеться:

, або – канонічне рівняння еліпса.

Еліпс, заданий канонічним рівнянням, симетричний відносно осей координат:

–велика вісь еліпса,

–мала вісь еліпса,

–відстань між фокусами, ,

точка – центр еліпса.

Точки перетину еліпса з осями називаються вершинами еліпса.

Отже, еліпс має чотири вершини:

; ;;.

Означення. Ексцентриситетом еліпса називається відношення відстані між фокусами до довжини великої осі.

.

Оскільки , то.

Ексцентриситет характеризує форму еліпса: якщо , то еліпс сплющується.

Означення. Директрисами еліпса називають дві прямі, перпендикулярні до фокальної осі еліпса і розміщенні симетрично відносно центра еліпса на відстані від нього. Директриси еліпсамають рівняння.

Приклад 3. Побудувати, виписати основні числові характеристики:

.

Розв’язання. Дане рівняння є канонічним рівнянням еліпса.

, – велика піввісь;,– мала піввісь.

Побудуємо прямокутну декартову систему координат на площині. Вздовж осі вліво і вправо від початку системи координат відкладемо відстань , а вздовж осі вгору і вниз – відстань .

х

Вершини еліпса мають координати:

,

;

,

.

Визначимо параметр :

.

Фокуси лежать на осі на відстані від центра еліпса і мають координати,.

Ексцентриситет еліпса .

Директриси мають рівняння: .

, звідси .

Приклад 4.

Скласти канонічне рівняння еліпса, що проходить через точку і має велику піввісь.

Розв’язання.

Канонічне рівняння еліпса має вид:

.

З урахуванням, що велика піввісь , рівняння перепишеться.

Оскільки точка належить еліпсу, то її координати повинні задовольняти останньому рівнянню. Отже,.

Визначимо звідси: .

Тепер запишемо шукане канонічне рівняння еліпса:

.