Розділ 5. Сфера

Означення. Сфера – геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки – центра сфери.

Канонічне рівняння сфери має вид:

,

де – координати центра сфери,

– радіус.

Рівняння другого степеня відносно тоді і лише тоді буде рівняння сфери, коли:

1. це рівняння ІІ степеня відносно ;

2. коефіцієнти при квадратах рівні;

3. в рівнянні немає членів з добутками .

Приклад 10.

Дано рівняння .

Потрібно:

1. довести, що дане рівняння є рівнянням сфери;

2. знайти координати центра і радіус сфери;

3. скласти рівняння площини, що проходить через центр сфери і вісь ;

4. скласти рівняння прямої, що проходить через центр сфери і початок координат;

Розв’язання.

1. Дане рівняння є рівнянням сфери, оскільки це рівняння другого степеня відносно ; коефіцієнти при других степеняхрівні і в рівнянні відсутні члени виду.

2. Визначимо координати центра і радіус сфери. Для цього виділимо повні квадрати по змінним .

–канонічне рівняння сфери з центром в точці радіуса.

3. Одержимо тепер рівняння площини, що проходить через точку і вісь.

Оскільки площина проходить через вісь , тоі рівняння площини має вид.

З іншого боку, оскільки шукана площина проходить через центр сфери – точку , то координати цієї точки повинні задовольняти рівнянню площини.

,

.

Один із параметрів абоможна вибрати довільно, але. Нехай, тоді.

–рівняння шуканої площини.

4. Для того, щоб одержати рівняння прямої, що проходить через центр сфери і початок координат скористуємось рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки:

.

Точка ,, тоді

;

–рівняння прямої .

Питання для самоперевірки

1. Який вид має рівняння площини, що проходить:

а) через задану точку перпендикулярно до заданого вектора;

б) загальне рівняння площини?

2. Дослідження неповного рівняння площини.

3. Як знайти кут між двома площинами? Сформулюйте умови паралельності та перпендикулярності площин.

4. Як знайти відстань від заданої точки до заданої площини?

5. Які Ви знаєте види рівнянь прямої у просторі.

6. Яка умова паралельності прямих у просторі? Сформулюйте також умову перпендикулярності прямих у просторі.

7. Як знайти координати точки перетину площини і прямої?

8. Як знайти відстань від заданої точки до заданої площини?

9. За яких умов загальне рівняння другого степеня визначає сферу? Як знайти її центр та радіус?

Задачі до розділів 4, 5

В задачах 1–20 дано рівняння .

Потрібно:

1. довести, що рівняння є рівнянням сфери;

2. знайти координати центра і радіус сфери;

3. скласти рівняння площини, що проходить через центр сфери і задану вісь;

4. скласти рівняння прямої, що проходить через центр сфери і задану точку .

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.

121. , вісь ,.