5. Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності прямих

Нехай задано дві прямі, що перетинаються: і. Вимагається знайти кут між цими прямими.

Під кутом між двома прямими розуміємо найменший кут , утворений цими прямими, який відраховуємо проти годинникової стрілки.

, звідки ,

тоді .

З урахуванням ,остаточно маємо:

–

(6)

тангенс кута між двома прямими.

Якщо прямі паралельні, то , а отже.

Умова п а р а л е л ь н о с т і двох прямих.

Дві прямі паралельні тоді і лише тоді, коли їх кутові коефіцієнти рівні:

.

Якщо дві прямі перпендикулярні, то формула (6) не має змісту. Але в цьому випадку можна розглянути котангенс кута між прямими

.

Для перпендикулярних прямих , отже, звідки.

Умова п е р п е н д и к у л я р н о с т і двох прямих.

Дві прямі на площині перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх кутові коефіцієнти обернені за величиною і протилежні за знаком: .

6. Точка перетину двох прямих

Нехай задано дві прямі:

і .

Вимагається знайти координати точки перетину цих прямих.

Оскільки точка перетину прямих лежить як на першій, так і на другій прямій, то координати цієї точки повинні задовольняти кожне з рівнянь прямих.

Отже, для того, щоб знайти координати точки перетину прямих, треба розв’язати сумісно систему рівнянь цих прямих:

Зауваження.

1. Якщо , то прямі паралельні, точок перетину немає.

2. Якщо , то прямі зливаються, і таким чином точок перетину безліч.

7. Відстань від точки до прямої

Розглянемо точку і пряму.

Означення. Відстанню від точки до прямої, заданої рівнянням, називають довжину перпендикуляра, опущеного з точкина пряму.

Відстань від точки до прямоїобчислюється за формулою:

.

Приклад 1.

Дано координати вершин трикутника :,,.

Знайти:

1. Довжину сторони ;

2. Рівняння сторін ів загальному вигляді та з кутовим коефіцієнтом.

3. Внутрішній кут ;

4. Рівняння медіани ;

5. Рівняння висоти та її довжину;

6. Систему лінійних нерівностей, які визначають трикутник .

Зробити рисунок.

Розв’язання.

Побудуємо трикутник

1. Визначимо довжину сторони АВ за формулою відстані між двома точками на площині:

.

, ,

отже,

(од.).

2. Одержимо рівняння сторін і.

Скористаємось рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки:

.

, . Підставимо координати цих точок в рівняння прямої.

Одержимо

, звідки , або.

Скористуємось тепер основною властивістю пропорції (добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів пропорції):

,

або –загальне рівняння прямої .

Для того, щоб одержати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом із загального рівняння виразимо через:

– рівняння з кутовим коефіцієнтом .

Аналогічно, для прямої маємо:

, ,, або.

Отже, , – загальне рівняння прямої .

– рівняння з кутовим коефіцієнтом, .

3. Відомо, що тангенс кута між двома прямими, кутові коефіцієнти яких відповідно дорівнюютьі, обчислюють за формулою:

.

,

.

4. Медіаною трикутника називають відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

Оскільки – медіана, отже .

Визначимо координати точки : скористуємось для цього формулами ділення відрізка навпіл:

, ,

отже точка має координати.

Застосуємо тепер рівняння прямої, що проходить через дві задані точки:

, ;.

; ;

;

– загальне рівняння медіани .

5. Висотою трикутника називають перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на протилежну сторону.

Оскільки – висота трикутника, отже . Одержимо рівняння висоти Е, користуючись рівнянням прямої, що проходить через дану точку в даному напрямі і умовою перпендикулярності прямих.

Оскільки , отже .

Підставимо тепер кутовий коефіцієнт та координати точкив рівняння:

.

Одержимо:

; ;– рівняння висоти .

Довжина висоти – це відстань від точки до прямої , тому скористуємось формулою відстані від точки до прямої:

.

Точка має координати ;

загальне рівняння прямої :, тоді:

(од.).

6. Множину точок можна розглядати як перетин трьох площин, з яких перша обмежена прямоюі містить точку , друга обмежена прямою і містить точку , третя – обмежена прямоюі містить точку.

Підставимо в рівняння прямої координати точки, маємо тоді:

,

а отже нерівність, яка визначає першу з півплощин буде: .

Загальне рівняння :.

Підставляємо в це рівняння координати точки :

.

Таким чином, друга півплощина визначається нерівністю .

Одержимо рівняння прямої :

,

; ; ;

–загальне рівняння прямої .

Підставимо в це рівняння координати точки :

.

Отже, нерівність, яка визначає третю півплощину, має вигляд:

,

а система одержаних нерівностей, яка визначає множину точок трикутника:

.