2. Загальне рівняння площини. Дослідження неповного рівняння площини

Якщо в останньому рівнянні відкрити дужки, то одержимо .

Позначимо –,

будемо мати – загальне рівняння площини.

Як бачимо, це рівняння першого степеня відносно ; вектор– нормальний вектор площини.

Рівняння площини називають неповним, якщо в ньому відсутні деякі члени.

1. Якщо в рівнянні площини вільний член , то площина проходить через початок системи координат.

2. Якщо в рівнянні , то площинапаралельна осі.

Аналогічно, – площина паралельна осі,

– площина паралельна осі.

3. Якщо в рівнянні площини , то площинапаралельна координатній площині.

Аналогічно, – площина паралельна осі,

– площина паралельна осі.

4. Якщо в рівнянні площини , то площинапроходить через вісь.

Аналогічно, – площина проходить через вісь,

– площина проходить через вісь.

5. Якщо в рівнянні площини , то площина, або– площина.

Аналогічно, – площина,

– площина.

3. Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності площин

Нехай задано дві площини:

і

з нормальними векторами

,

.

Тоді кут між площинами – це кут між векторами і.

.

Звідси одержуємо:

Умова паралельності площин:

;

Умова перпендикулярності площин:

.

4. Відстань від точки до площини

Відстанню від заданої точки до площининазивають довжину перпендикуляра, опущеного із точкина площину.

Нехай точка має координати, а площиназадана рівнянням, тоді відстань від точкидо площиниможна знайти за формулою:

.

5. Рівняння прямої у просторі

Пряму у просторі в прямокутній декартовій системі координат можна задати точкоюі вектором, паралельним цій прямій.

Вектор називаютьнапрямним вектором прямої.

Пряма має безліч напрямних векторів. Всі вони паралельні між собою, а отже, їх координати пропорційні.

Нехай точка – поточна точка прямої. Векторколінеарний вектору, отже їх координати пропорційні:–канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору.

Якщо кожне з відношень прирівняємо до параметра , тобто,,і виразимо координати поточної точкичерез, то дістанемо рівняння:

, ,–параметричні рівняння прямої.

Пряму у просторі можна задати як перетин двох площин, тобто системою двох лінійних рівнянь:

.

Для того, щоб дві площини визначили пряму, треба щоб вони не були паралельні, тобто вектори іне паралельні (це означає, що їх координати не пропорційні).

Якщо пряма проходить через дві задані точкиі, то–канонічні рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

6. Кут між двома прямими

Кут між двома прямимиі– це кут між їхніми напрямними векторамиі.

Нехай ,, тоді

.

Умова паралельності двох прямих у просторі: , отже їх координати пропорційні:

.

Умова перпендикулярності двох прямих у просторі: , отже

.

7. Перетин прямої з площиною

Нехай задано площину і пряму.

Вимагається знайти точку перетину прямої з площиною. Для цього розв’яжемо систему рівнянь

.

Запишемо параметричні рівняння прямої: ,,і підставимо їх в рівняння площини:

,

,

звідки

.

Можливі наступні випадки:

1. –тоді система має єдиний розв’язок (пряма і площина перетинаються в одній точці);

2. , – система розв’язків не має (пряма паралельна площині);

3. , – система має безліч розв’язків (пряма належить площині).

Приклад 9.

Знайти точку перетину прямої з площиною.

Розв’язання.

Для того, щоб знайти координати точки перетину прямої з площиною, розв’яжемо систему

.

Запишемо параметричні рівняння прямої. Для цього кожне з відношень прирівняємо до параметра :

; .

Параметричні рівняння прямої підставляємо тепер в рівняння площини:

,

,

,

.

Тепер маємо:

, ,– координати точки перетину прямої і площини.