MetodTM1
.pdf
|
Переносное нормальное |
ускорение |
aen |
рассчитывается по формуле: |
||||
an |
= ω2h |
и в момент времени t |
= 1 с an (1) = ω2 |
(1)h = 6 |
|
= 10,4 см/с2. Век- |
||
3 |
||||||||
e |
e e |
1 |
e |
e |
e |
|
||
|
|
|
r |
направлен по линии |
АМ1 к оси |
|||
тор переносного нормального ускорения aen |
||||||||
вращения (см. рис. 3.8). |
|
|
|
|
|
|
||
|
По условию задачи вектор скорости относительного движения точки Vr |
|||||||
лежит в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения, |
то есть, пер- |
пендикулярен вектору угловой скорости переносного движения ωe . Тогда мо-
дуль ускорения Кориолиса при t = 1 с a |
к |
= 2ω V |
= 2 ×1×18π = 113,1 см/с2. |
1 |
e r |
|
r
Так как вектор относительной скорости точки Vr ωe , то по правилу Жу-
ковского для определения направления ускорения Кориолиса достаточно по-
вернуть вектор относительной скорости точки Vr на 90° в сторону переносного движения вокруг оси, параллельной оси вращения и проходящей через точку М1
(см. рис. 3.8). Для определения абсолютного ускорения спроецируем на прямо-
r |
r |
r |
r |
|
r |
r |
угольные оси xМ1y (см. рис. 3.8) векторное равенство a |
= a |
τ + an + a |
τ + an + a . |
|||
|
|
r |
r |
e |
e |
к |
Получим: ay = aeτcos30o + aencos60o + arτ = 97,9 см/с2,
Рис. 3 9. Схема движения точки стержня, укреплённого на электромоторе
ax = −aeτcos60o + aencos30o + arn − aк =228,4 см/с2.
Модуль абсолютного ускорения: a = ax2 + a2y = 248,5 см/с2.
Задача 2. К вращающемуся валу электро-
мотора прикреплён стержень ОМ длины R = 6 см.
Во время работы электромотора точка М стержня из начального положения С перемещается по ду-
ге |
окружности |
согласно |
уравнению |
СМ = |
yr = πt2 см. |
При этом электромотор, уста- |
новленный без креплений, совершает горизон-
70
тальные гармонические колебания на фундаменте по закону xe = 5sin(πt / 3) см.
Определить абсолютное ускорение точки М в момент времени t1 = 1 с.
Решение
Точка М совершает сложное движение – относительно электромотора и
вместе с ним. Относительным движением точки будет её движение по дуге ок-
ружности радиуса R, переносным – поступательное горизонтальное, прямоли-
нейное движение электромотора.
Найдём положение точки относительно электродвигателя в заданный мо-
мент времени. Угол α , отсчитываемый стержнем ОМ от начального положения
ОС, в момент времени t = 1 с составляет α = |
yr (t1) |
= |
π = 30°. Положение точ- |
|
|||
1 |
R |
6 |
|
|
|||
ки в момент времени t1 = 1 с отмечено на рис. 3.10 буквой М1. |
|||
Относительное движение точки задано естественным способом, как закон |
изменения длины дуги. Относительная скорость Vr = yr = 2πt . В момент вре- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
& |
мени t1 = 1 с Vr = 6,28 см/с. Вектор Vr от- |
|
||||||
носительной скорости направлен перпен- |
|
||||||
дикулярно стержню ОМ1. |
|
|
|||||
|
Скорость точки в переносном дви- |
|
|||||
жении – это скорость горизонтального |
|
||||||
движения электродвигателя: |
|
|
|||||
|
|
|
& |
5π |
cos(πt / 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ve = xe = |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
момент |
|
времени |
t = 1с |
Рис. 3.10. Расчётная схема вычисления |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
абсолютной скорости |
|
5π |
|
|
|
|
|
|
V = |
cos60o = 2,62 см/с. Вектор V |
пере- |
и абсолютного ускорения точки |
||||
|
|
||||||
e |
3 |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
носной скорости точки М направлен параллельно линии движения электродви-
гателя (см. рис. 3.10).
71
Абсолютная скорость точки определяется на основании теоремы сложе-
ния скоростей при сложном движении: VM =Ve + Vr . Для того, чтобы найти величину абсолютной скорости выберем оси хМ1у, как показано на рис. 3.10, и
спроецируем векторное равенство сложения скоростей на эти оси. Получим:
V =V −V cos60o = – 0,52 см/с (проекция направлена в отрицательную сторону |
|||||||
Mx |
|
e |
r |
|
|
|
|
оси |
х), |
V |
My |
= V cos30o |
= 5,44 см/с. Модуль абсолютной скорости |
||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
= 5,46 см/с. Вектор абсолютной скорости направлен по диаго- |
|||
VM = |
VMx2 |
+ VMy2 |
нали параллелограмма, построенного на векторах Ve и Vr .
При поступательном переносном движении точки ωe = 0 и потому aк = 0.
Относительное ускорение точки при движении по окружности раскладывается
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
r |
|
|
||
на две составляющие ar |
= arτ + arn , направленные вдоль стержня ОМ и перпен- |
||||||||||||
дикулярно ему. Кроме |
того, при прямолинейном относительном движении |
||||||||||||
aen = 0. |
В |
результате, |
теорема |
о сложении ускорений принимает |
вид |
||||||||
r |
|
|
rτ |
rn |
r |
|
|
|
|
|
τ |
& |
|
aM |
= ar |
+ ar |
+ ae , |
где |
модули |
векторов вычисляются по формулам ar |
|||||||
= Vr , |
|||||||||||||
n |
|
V 2 |
|
τ |
|
|
|
5π2 |
|
|
|
||
|
|
r |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|||
ar |
= |
|
R |
, ae = ae = Ve |
= |
− |
9 |
sin(πt / 3) и в момент времени t1 = 1с равны |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
arτ = 6,28 см/с2, arn |
= 6,57 см/с2, ae |
= – 4,75 см/с2. Направления векторов уско- |
рений показаны на рис. 3.10. Для вычисления модуля абсолютного ускорения точки спроецируем векторное равенство сложения ускорений на оси выбранной ранее системы координат хМ1у. Получим:
aMx = −arτcos60o − arncos30o − ae = – 4,08 см/с2, aMy = arτcos30o − arncos60o = 2,15 см/с2.
Величина абсолютного ускорения aM = aMx2 + aMy2 = 4,61 см/с2.
72