MetodTM1

Скорость любой точки М плоской фигуры равна векторной сумме векто-

ра скорости точки-полюса и вектора скорости точки М при вращении тела во-

круг этого полюса: VМ =VА + VМА, где VМ – скорость точки М; VА – скорость полюса А; VМА – вектор скорости точки М при вращении тела вокруг полюса А,

модуль скорости VМА = w × МА , где ω – угловая скорость мгновенного враща-

тельного движения тела вокруг полюса; МА – расстояние между полюсом А и

точкой М.

Мгновенным центром скоростей называется такая точка Р плоской фи-

гуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Выбрав в каче-

стве полюса мгновенный центр скоростей, скорость любой точки плоской фи-

гуры находят так, как если бы мгновенное движение фигуры было вращатель-

ным вокруг мгновенного центра скоростей.

Способы построения мгновенного центра скоростей

1. Если известны направления скоростей VA и VB каких-нибудь двух то-

чек А и В плоской фигуры, то мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из этих точек к векторам ско-

ростей (рис. 2.1, а).

2. Если скорости VA и VB двух точек А и В плоской фигуры известны и параллельны друг другу, а линия АВ перпендикулярна VA (и, конечно, VB ), то мгновенный центр скоростей определяется как точка пересечения линий, про-

веденных через основания и вершины векторов скоростей (построение показано на рис. 2.1, b, c).

3. Если скорости VA и VB двух точек А и В параллельны друг другу, но линия АВ, соединяющая эти точки, не перпендикулярна к векторам скоростей

(рис. 2.1, d), то мгновенная угловая скорость тела равна нулю и движение тела в

30

данный момент времени является мгновенным поступательным. В этом случае скорости всех точек равны по величине и направлению.

Рис. 2.1. Способы построения мгновенного центра скоростей

4. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного тела по неподвижной поверхности другого, то мгновенный центр скоростей расположен в точке касания катящегося тела с неподвижной поверхностью (рис. 2.1, e).

Ускорение любой точки М плоской фигуры при плоскопараллельном движении твердого тела представляется как сумма векторов – ускорения полю-

са и ускорения точки М при вращении фигуры вокруг полюса. Учитывая, что ускорение точки вращающегося тела представляется как сумма нормального и касательного ускорений, получим

ляющие ускорения точки М при вращении фигуры вокруг полюса А.

31

резку АМ в сторону вращения, если оно ускоренное (рис. 2.2, а), и против вра-

ки М и полюса А при движении их по заданным траекториям.

2.4. Задание К1. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях

По заданному движению одного из звеньев механизма x1 = x1(t), или

ϕ1 = ϕ1(t) найти в момент времени t1 скорость, касательное, нормальное и пол-

ное ускорения точки М звена механизма, совершающего вращательное движе-

ние, а также скорость и ускорение звена 4, совершающего поступательное дви-

жение.

32

Варианты заданий даны на рис. 2.3 – 2.4. Исходные данные представлены

в табл. 2.1.

Рис. 2.3. Задание К1. Определение скоростей и ускорений точек при поступательном и вращательном движениях твёрдого тела.

Номера вариантов задания 1 – 8, 11 – 18, 21 – 28

33

Рис. 2.4. Задание К1. Определение скоростей и ускорений точек при поступательном и вращательном движениях твёрдого тела.

Номера вариантов задания 9 – 10, 19 – 20, 29 – 30

Таблица 2.1

Исходные данные вариантов задания К1. Определение скоростей и ускорений точек при поступательном

и вращательном движениях твёрдого тела

34

Пример выполнения задания К1.

Определение скоростей и ускорений точек при поступательном и вращательном движениях твёрдого тела

По заданному уравнению движения звена 1 механизма (рис. 2.5, а) опре-

делить скорость, нормальное, касательное и полное ускорения точки М на мо-

мент времени t1, а также скорость и ускорение звена 4, если значения радиусов колес механизма и закон движения звена 1: R2 = 20 см, r2 = 5 см, R3 = 8 см,

Решение

Отметим на схеме положительные направления отсчета углов поворота дисков 2 и 3, соответствующие заданному положительному направлению дви-

35

жения звена 1. Направления показаны на рис 2.5, b дуговыми стрелками ϕ2 ,

ϕ3 , а положительное направление движения звена 4 – направлением оси x4 .

Рис. 2.5. Кинематика вращательного движения твердого тела:

а – схема механизма; b – расчетная схема для определения скоростей и ускорений точек механизма

Звено 1 движется поступательно. Движение задано координатным спосо-

бом в виде закона изменения координаты x . Дифференцируем по времени уравнение движения: x& = 4t − 5 см/с. В момент времени t1 = 1 с значение произ-

водной: x&(1) = –1 см/с. Отрицательное значение производной x& показывает,

что в данный момент времени звено 1 движется в отрицательном направлении

правление движения звена 1 в момент времени t1 = 1 с показано вектором ско-

рости V1, направленным в сторону, противоположную положительному направ-

лению оси x. Эту же скорость будет иметь точка А – точка контакта звена 1 с

диском 2, лежащая на расстоянии r2 от оси вращения диска. Следовательно,

36

отрицательном для диска 2 направлении. На рис. 2.5, b направление вращения диска 2 показано дуговой стрелкой ω2 в сторону, противоположную положи-

тельному направлению отсчета угла ϕ2 . При передаче вращения диска 2 диску

3 величины угловых скоростей дисков обратно пропорциональны радиусам

ϕ& 3(1) = – 0,5 рад/с и, следовательно, вращение диска 3 в данный момент време-

ни с угловой скоростью ω3 (1) = ϕ& 3(1) = 0,5 рад/с происходит в сторону, проти-

воположную положительному направлению отсчета угла ϕ3 , как показано на рис. 2.5, b. Величина (модуль) скорости точки М рассчитывается по формуле:

VM = ω3r3 . В момент времени t1 = 1 с величина скорости равна VM (1) = 2 см/с.

Вектор скорости VM расположен по касательной к траектории движения точки

М (окружности) и направлен в сторону вращения диска 3 (см. рис. 2.5, b).

Звено 4 движется поступательно. Скорость звена 4 равна скорости точки касания его с диском 3: V4 = VB = ω3R3 = 2t - 2,5 × 8 = x&4 . В момент времени t1 = 1 с значение производной от координаты движения звена 4 отрицательно:

вая скорость ω3 и угловое ускорение ω& 3 диска 3 имеют разные знаки, следует,

что вращение диска 3 замедленное. Угловое ускорение диска направлено в сто-

37

рону положительного направления отсчета угла поворота ϕ3 , диска 3 (см.

рис. 2.5, b).

Касательное ускорение aτ точки М рассчитывается по формуле aτ = ε3r3

и в момент времени t1 = 1 с: aτ = 8 см/с2. Так как вращение диска 3 замедлен-

ное, вектор касательного ускорения точки М aτ (t) направлен в сторону, про-

тивоположную вектору скорости VM (1) (см. рис. 2.5, b). Нормальное ускорение an точки М рассчитывается как an = ω23r3 . В момент времени t1 = 1 с величина нормального ускорения: an (1) = 1 см/с2. Вектор нормального ускорения an (1)

направлен по радиусу к центру диска 3 (см. рис. 2.5, b). Полное ускорение точ-

ки М в заданный момент времени равно: aM (1) = aτ2 (1) + an2 (1) = 8,06 см/с2.

Вектор полного ускорения aM направлен по диагонали прямоугольника, по-

строенного на векторах an и aτ .

Ускорение a4 звена 4 находится из условия, что звено 4 движется посту-

пательно и прямолинейно. При прямолинейном движении нормальная состав-

направлен вдоль оси x4 в сторону положительных значений.

2.5. Задание К2. Определение скоростей точек твёрдого тела при плоскопараллельном движении

Для заданного положения плоского механизма определить скорости точек и угловые скорости звеньев механизма.

Варианты заданий показаны на рис. 2.6 – 2.8.

Исходные данные вариантов заданий выбираются из таблиц, приведён-

ных на рисунках схем механизмов.

38

Рис. 2.6. Задание К2. Определение скоростей точек тела при плоскопараллельном движении. Номера вариантов задания 1 – 4, 11 – 14, 21 – 24

39