MetodTM1

Рис. 2.7. Задание К2. Определение скоростей точек тела при плоскопараллельном движении. Номера вариантов задания 5 – 8, 15 – 18, 25 – 28

40

Окончание вариантов задания К2

Рис. 2.8. Задание К2. Определение скоростей точек тела при плоскопараллельном движении. Номера вариантов задания 9 – 10, 19 – 20, 29 – 30

Пример выполнения задания К2. Определение скоростей точек твёрдого тела при плоскопараллельном движении

Задача 1. Плоский механизм (рис. 2.9) состоит из стержня ОС и подвиж-

диусом r1 . Диск 3, также увлекаемый стержнем ОС, катится без проскальзыва-

41

ния по подвижному диску 2. В точке D, расположенной на краю диска 3, шар-

нирно прикреплен стержень 4, к которому в точке Е шарнирно прикреплен поршень Е, способный совершать только вертикальное перемещение. Для за-

данного положения механизма (см. рис 2.9), когда стержень ОС горизонтален,

стержень DE направлен по линии вертикального диаметра диска 3, найти ско-

рости точек A, C, D, Е, угловые скорости дисков 2, 3 и стержня 4, если: r1 = 6 см, r2 = 4 см, r3 = 2 см, DE = 10 см, wOC = 1 рад/с.

VA = w2 × AP2 = 4w2 . Так как VA = 10 см/с, получим w2 = 2,5 рад/с.

Для того, чтобы найти угловую скорость диска 3, необходимо определить положение его мгновенного центра скоростей. С этой целью вычислим скоро-

сти точек В и С. Скорость точки В может быть найдена через угловую скорость диска 2: VB = w2 × BP2 = 20 см/с. Вектор скорости VB перпендикулярен отрезку

BP2 и направлен в сторону мгновенного вращения диска 2 вокруг своего центра скоростей P2 .

42

Скорость точки С определяется через угловую скорость стержня ОС:

VC = ωOC (r1 + 2r2 + r3) = 16 см/с. Вектор скорости VC перпендикулярен стерж-

ню ОС и направлен в сторону его вращения (см. рис. 2.10).

Построение мгновенного центра скоростей P3 диска 3 по известным ско-

ростям VB и VC показано на рис 2.10. Его положение определяется из условия,

что отношение скоростей двух точек тела, совершающего плоскопараллельное движение, равно отношению расстояний от этих точек до мгновенного центра

VB = r3 + CP3 . Разрешая пропорцию относительно неизвестной ве-

VC CP3

личины CP3 , получим: CP3 = 8 см. Скорость точки С выражается через угловую скорость диска 3 VC = w3 × CP3 . Отсюда величина угловой скорости диска 3:

w3 = VC = 2 рад/с. Направление мгновенного вращения диска 3 вокруг своего

CP3

центра скоростей определяется известными направлениями скоростей точек С и В, принадлежащих диску 3 (см. рис 2.10). Скорость точки D VD = w3 × DP3 =

= 2 × 22 + 82 = 16,5 см/с. Вектор скорости VD перпендикулярен отрезку DP3 и

направлен в сторону мгновенного вращения диска 3 вокруг центра P3 .

Для определения скорости поршня Е воспользуемся теоремой о проекци-

ях скоростей точек плоской фигуры, согласно которой проекции скоростей

двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны между

циях скоростей точек плоской фигуры имеем равенство: VDcosa = VE cos0, от-

куда скорость точки Е: VE =16 см/с.

43

Мгновенный центр скоростей стержня 4 – точка P4 – определяется как точка пересечения перпендикуляров к векторам скоростей VD и VE , восстанов-

ленных, соответственно, из точек D и Е (см. рис. 2.10). Угловая скорость стерж-

ня 4, совершающего мгновенный поворот вокруг своего центра скоростей, рав-

на: ω4 = VE , где EP4 – расстояние от точки Е до мгновенного центра скоро-

EP4

стей звена 4, EP4 = DE × ctga = 40 см. В результате, w4 = 0,4 рад/с. Направление мгновенного вращения звена 4 вокруг своего центра скоростей определяется направлением скорости точки D.

Задача 2. В плоском стержневом механизме (рис. 2.11) кривошипы ОА и ЕD вращаются вокруг неподвижных центров О и Е. В крайней точке D криво-

шипа ЕD к нему прикреплён шатун DB, вто-

рой конец которого в точке В прикреплён к кривошипу ОА. Шатун АС прикреплён в точке

А к кривошипу АО, а другим своим концом – к ползуну С, способному совершать только вертикальное движение. Все соединения шар-

нирные. В заданном положении механизма кривошип ОА вертикален, шатун DB распо-

ложен горизонтально, кривошип ЕD наклонен под углом 60° к горизонтали, а

шатун АС отклонён на угол 30° от вертикального положения кривошипа АО.

Найти скорости всех отмеченных на схеме точек и угловые скорости всех звеньев, если линейные размеры звеньев механизма АС = 6 см, АВ = 2 см,

ВО = 8 см, DB = 10 см и скорость ползуна в данный момент VC = 4 см/с.

Решение

Кривошипы ОА и ЕD совершают вращательные движения вокруг непод-

вижных центров. Скорости VA и VB точек А и В перпендикулярны кривоши-

44

точку пересечения перпендикуляров к скоростям VB и VD (рис. 2.12). Тогда,

45

2.6. Задание К3. Определение ускорений точек твёрдого тела при плоскопараллельном движении

Для заданного положения плоского механизма определить ускорения то-

чек звеньев механизма и угловые ускорения звеньев. Варианты заданий и ис-

ходные данные приведены на рис. 2.13 – 2.15.

Рис. 2.13. Задание К3. Определение ускорений точек тела при плоскопараллельном движении. Номера вариантов задания 1 – 4, 11 – 14, 21 – 24

46

Продолжение вариантов задания К3

Рис. 2.14. Задание К3. Определение ускорений точек тела при плоскопараллельном движении. Номера вариантов задания 5 – 8, 15 – 18, 25 – 28

47

Окончание вариантов задания К3

Рис. 2.15. Задание К3. Определение ускорений точек тела при плоскопараллельном движении. Номера вариантов задания 9 – 10, 19 – 20, 29 – 30

Примеры решения задания К3. Определение ускорений точек тела при плоскопараллельном движении

Задача 1. Ступенчатый барабан 1 с радиусами ступенек R = 0,5 м и r = 0,3

м катится окружностью малой ступеньки по го-

ризонтальной поверхности без скольжения

(рис. 2.16). Барабан приводится в движение ша-

туном АС, один конец которого соединён с центром барабана в точке А, а другой – с пол-

зуном С, перемещающимся вертикально. В по-

Рис. 2.16. Схема движения плоского механизма ложении механизма, когда шатун АС отклонён

от вертикали на угол 60°, найти ускорение точки В барабана, лежащей на его горизонтальном диаметре, если заданы скорость и ускорение ползуна С:

VC = 9м/с, aC = 4 м/с2.

48

Решение

Найдём угловые скорости ωAC , ω1 шатуна АС и барабана 1. Шатун со-

вершает плоское движение. Его мгновенный центр скоростей Р2 находится на пересечении перпендикуляров к скоростям VA и VC (рис. 2.17). По условию,

скорость точки С направлена вертикально вниз. Точка А принадлежит как ша-

Здесь, при расчёте угловой скорости барабана учтено, что качение барабана по

неподвижной поверхности представляет собой плоское движение, при котором

мгновенный центр скоростей находится в точке касания с поверхностью (в точ-

точки А при вращении шатуна АС вокруг полюса С. Вектор нормального уско-

рения rn направлен вдоль шатуна АС от точки А к полюсу С и равен по вели-

aAC

чине anAC = w2AC × AC = (63)2 × 2R = 108 м/с2. Вектор касательного ускорения

49