Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

MetodTM2

.pdf
Скачиваний:
92
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
729.95 Кб
Скачать

4.ДИНАМИКА ТОЧКИ

4.1.Дифференциальные уравнения движения точки.

Движение точки под действием системы сил F1, F2 , …, FK в прямо-

угольной декартовой системе координат Оxyz описывается дифференциаль-

ными уравнениями: m

d 2 x

= å F , m

d 2 y

= åF , m

d 2 z

= å F , или, обо-

 

 

 

 

dt 2

kx

dt 2

ky

dt 2

kz

 

 

 

 

значая вторые производные от координат по времени двумя точками, уравне-

ниями: m &x& = å Fkx , m &y&

= åFky ,

m &z& = å Fkz , где m – масса точки; x, y, z – те-

кущие координаты точки;

&x&, &y& , &z& – проекции вектора ускорения точки на оси

координат; å Fkx , åFky ,

å Fkz

алгебраические суммы проекций сил на оси

координат.

Интегрирование дифференциальных уравнений производится в зависимо-

сти от их вида методами, известными из курса математики.

4.2. Задание Д1. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки

Две материальные точки движутся в вертикальной плоскости xOy. Точка

1 массой m1, получив в начальном положении А скорость V01, движется вдоль гладкой оси АS, наклоненной под углом β к горизонту. Во время движения на точку 1 действуют сила тяжести и постоянная сила F1, направленная вдоль оси

АS. Направление вектора проекции силы на ось F1S показано на схеме.

Одновременно с точкой 1 начинает движение точка 2 массой m2 из поло-

жения В на оси y. На точку 2 действуют сила тяжести и постоянная сила F2 .

Направление вектора силы F2 определяется его разложением по единичным векторам i , j координатных осей x, y.

73

Определить величину и направление (угол α ) начальной скорости V02

точки 2, чтобы в момент времени t1 точки 1 и 2 встретились на оси AS в точ-

ке С. Момент времени t1 задаётся в условиях задачи, или определяется по до-

полнительным условиям встречи.

Варианты заданий представлены на рис. 4.1 – 4.2. Исходные данные при-

ведены в табл. 4.1.

Варианты № 1, 11, 21

Варианты № 2, 12, 22

Встреча в точке С в момент, когда ско-

Встреча в точке С в момент, когда точка

рость точки 1 увеличилась в 1,5 раза

1 максимально удалилась от места старта

относительно начальной

 

 

 

 

 

Варианты № 3, 13, 23

Варианты № 4, 14, 24

Встреча в точке С в момент, когда ско-

 

 

рость точки 1 уменьшилась в 2 раза

Встреча в точке С в момент времени

относительно начальной

t1

= 0,5 c

 

Рис. 4.1. Задание Д1. Интегрирование уравнений движения точки. Номера вариантов задания 1 – 4, 11 – 14, 21 – 24

74

 

Окончание вариантов задания Д1

 

 

Варианты № 5, 15, 25

Варианты № 6, 16, 26

 

 

Встреча в точке С в момент, когда ско-

Встреча в точке С, когда точка 1 макси-

рость точки 1 увеличилась в 1,5 раза

мально удалилась от места старта

относительно начальной

 

 

 

Варианты № 7, 17, 27

Варианты № 8, 18, 28

 

 

Встреча в точке С в момент времени

Встреча в точке С в момент

t1 = 0,4 c

максимального подъёма точки 1

 

 

 

Варианты № 9, 19, 29

Варианты № 10, 20, 30

 

 

Встреча в точке С в момент времени

Встреча в точке С в момент, когда точка

1 достигла максимальной высоты подъё-

t1 = 0,6 c

ма

 

Рис. 4.2. Задание Д1. Интегрирование уравнений движения точки. Номера вариантов задания 5 – 10, 15 – 20, 25 – 30

75

Таблица 4.1

Исходные данные задания Д1. Интегрирование уравнений движения точки

Номер

m1, кг

F1S , H

V01, м/с

β , град

m2, кг

F2 , H

а, м

h, м

варианта

задания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

3

3

30

2

7 i

2

4

2

3

6

2

0

2

4 i +12 j

1,5

1

3

2

5

4

35

1,5

10 i +4 j

2

2,5

4

1

10

2

60

2

4 i

+8 j

2,2

2

5

1

3

3

30

2

5 i

3

4,5

6

0,8

6

6

50

3

3 i +12 j

1,5

4

7

2

5

4,5

40

1

10 i +2 j

3

2,5

8

1

2

3,5

90

2

6 i

+8 j

1,2

2

9

2

4

4

0

1

3 i

+2 j

2

2,5

10

1

3

3

55

1,5

4 i

1

1,5

11

0,5

2

3

60

2

3 i

+8 j

1,5

2,5

12

0,2

3

4

0

1

5 i

–2 j

1

2,5

13

1

2

6

50

1,5

6 i

– 4 j

0,8

2

14

0,5

6

4

35

1

3 i

–2 j

2,5

2

15

0,2

3

3

50

2

2 i

–2 j

3

4

16

2

4

6

40

2

3 i +12 j

1

1,5

17

1

6

5

60

1,5

5 i

+4 j

3

2,5

18

1

2

2

90

2

4 i +4 j

2

2

19

1

3

2

2

2

2 i +10 j

1

1,5

20

5

4

2

30

1

3 i

–2 j

1,5

1,5

21

0,2

4

4

45

1

6 i

–2 j

1

3

22

0,4

3

2

0

2

4 i

+6 j

1,5

2,5

23

1

3

8

60

2

4 i

+2 j

1,2

1,5

24

0,5

8

3

30

2

6 i

+7 j

2

1,5

25

2

4

4

60

1

2 i

–2 j

3,5

4

26

1

3

5

50

2

4 i

+6 j

0,5

1,5

27

1,5

3

6

30

2

4 i

+4 j

2

2,5

28

2

5

3

90

2

6 i

+7 j

2

1,5

29

2

4

4

0

1

5 i

–2 j

1,5

2

30

1

3

2,5

70

2

4 i

+6 j

1

1

76

Пример выполнения задания Д1. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки

На рис. 4.3 представлена схема движения материальных точек в верти-

кальной плоскости xOy. Точка 1 массой m1 = 2 кг, получив в начальном поло-

жении А скорость V01 = 4 м/с, движется вдоль гладкой оси АS с углом наклона β

= 30o. Во время движения на точку 1 действуют

сила тяжести P1 и постоянная сила F1, проек-

 

ция которой на ось АS равна F1S = 4,5 H. На-

 

правление вектора проекции силы F1S на ось

 

АS показано на рис. 4.3.

 

Одновременно с началом движения точ-

Рис. 4.3. Схема совместного

ки 1 из положения В на оси y высотой h = 1 м

движения точек

 

начинает движение точка 2 массой m2 = 1,2 кг. На точку 2 действуют сила тя-

жести P2

и сила F2

, направление которой определяется разложением по еди-

ничным

векторам

i ,

j осей x, y декартовой системы координат:

F2 = 2,4i + 4,5 j , Н.

Определить величину и направление (угол α ) начальной

скорости

V02 точки 2,

чтобы в момент времени t1, когда скорость точки 1

уменьшилась в 2 раза по сравнению с начальным значением, обе они встрети-

лись на оси AS в точке С.

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

Рассмотрим движение точки 1. В текущий момент времени на точку 1

действует сила тяжести P1, нормальная реакция N1 наклонной оси АS

и сила

F1, величина проекции которой на ось АS равна

F1S (рис. 4.4). Дифференци-

альное

уравнение

движения

точки

1

&&

или

m1S = F1S P1sinβ,

m

dV1S

= 4,5 − m gsinβ . С учетом исходных данных, полагая ускорение свобод-

dt

1

1

 

 

 

 

 

ного падения g = 9,81 м/с2, дифференциальное уравнение движения точки 1 77

приводится к виду:

dV1S

= −2,66. Разделим переменные, представив диффе-

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ренциальное уравнение в виде

dV1S = −2,66dt . Проинтегрировав его, получим

 

 

 

зависимость скорости точки 1 от времени:

 

 

 

V1S = −2,66t + C1 . Для того чтобы опреде-

 

 

 

лить закон движения точки 1, представим

 

 

 

скорость точки как производную от коорди-

 

 

 

наты V

=

dS

 

. Получим дифференциальное

 

 

 

 

 

 

 

 

1S

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.4. Силы, действующие на

 

 

dS

 

= −2,66t + C1 , проинтегриро-

точки 1 и 2, во время их

уравнение

 

 

 

dt

 

движения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вав которое, найдём уравнение движения точки 1: S = -1,33t2 + C t + C

2

. Кон-

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

станты интегрирования С1, С2

находятся из начальных условий: при

t = 0, S =

0, S& =V1S =V01= 4 м/с. Подставляя первое из условий в уравнение движения точки 1, получим С2 = 0. Для того, чтобы найти константу С1, подставим на-

чальное значение скорости в уравнение S& = -2,66t + C1 , выражающее зависи-

мость скорости точки 1 от времени. Получим С1 = 4. Таким образом, движение точки 1 вдоль оси AS описывается уравнением: S = -1,33t2 + 4t .

По условию задачи встреча двух точек происходит в момент времени t1,

когда скорость первой точки уменьшилась в 2 раза по сравнению с начальной:

V1S (t1) = V201 = 2 м/с. Подставляя это условие в уравнение, выражающее зависи-

мость скорости точки 1 от времени, получим: 2 = −2,66t1 + 4, откуда найдём момент времени встречи t1 = 0,75 с. Расстояние АС, пройденное точкой 1 до встречи, определяется как путь, пройденный этой точкой за время t1= 0,75 с,

АС = S(t ) = -1,33× 0,752

+ 4 × 0,75= 2,25 м. Координаты точки встречи x

C

, y

C

1

 

 

 

определяются из равенств: xC = S(t1)cos30o = 1,95 м,

yC = S(t1)sin30o = 1,12 м.

 

78

Рассмотрим движение точки 2. В текущий момент времени на нее дейст-

вует сила тяжести P2 и сила F2 = 2,4i + 4,5 j , проекции которой на оси коорди-

нат F2x = 2,4 Н, F2y = 4,5 Н. Дифференциальные уравнения движения точки 2 в

проекциях на оси координат x, y имеют вид:

m2&x& = F2x = 2,4, m2 &y& = −P2 + F2 y = − m2 g + 4,5 ,

или после подстановки исходных данных: &x&= 2, &y& = −6,06.

Представим в первом уравнении проекцию ускорения точки 2 на ось х как производную от соответствующей проекции скорости &x& = dVdt2x . После разделе-

ния переменных получим дифференциальное уравнение dV2x = 2dt . Проинтег-

рируем его и найдем зависимость горизонтальной составляющей скорости точ-

ки 2 от времени: V2x = 2t + C3 . Заменим в этом уравнении проекцию скорости

точки на ось x на производную от координаты V

=

dx

. После

интегрирования

 

 

 

 

2x

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

получим

уравнение, описывающее движение

точки 2

вдоль оси x,

x = t2 + C t + C

4

. Для того чтобы найти постоянные С3 и С4, воспользуемся гра-

3

 

 

 

 

 

 

ничными условиями движения точки 2 – известной начальной координатой движения точки и вычисленной координатой точки встречи, то есть при t = 0, x

= 0, а при t1 = 0,75 с x(t1) = xC = 1,95 м. Подставляя граничные условия в уравне-

ние движения точки 2, получим С4 = 0, С3 = 1,85. Таким образом, уравнение движения точки 2 вдоль оси x: x = t2 + 1,85t .

Закон движения точки 2 вдоль оси y находим путем интегрирования вто-

рого дифференциального уравнения. Его представим в виде: dVdt2 y = −6,06 . По-

сле разделения переменных и первого интегрирования получим зависимость проекции скорости точки 2 на ось y от времени: V2 y = −6,06t + C5 . Заменив про-

екцию скорости точки 2 на ось y производной от координаты V2 y = dydt ,

79

вторично проинтегрируем. В результате движение точки 2 вдоль оси y описыва-

ется уравнением: y = −3,03t2 + C5t + C6 . Для определения констант C5 и C6 ис-

пользуем граничные условия: при t = 0, y(0) = h = 1 м, а при t1 = 0,75 с y(t1) = yC = 1,12 м. Получаем C6 = 1. С5 = 2,43. Таким образом, точка 2 движется вдоль оси y по закону: y = −3,03t2 + 2,43t +1.

Проекции скорости точки 2 на оси координат как функции времени име-

ют вид: V2x (t) = x = 2t + 1,85,

V2 y (t) = y = −6,06t + 2,43. Значения проекций при

 

&

 

 

 

 

 

&

t = 0: V02x = V2x (0) = 1,85

м/с, V02y = V2y (0) = 2,43 м/с. Величина начальной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скорости: V

= V

2 + V

2

= 3,05 м/с.

02

 

 

02x

 

 

02 y

 

Угол наклона вектора скорости в начальный момент определяется из ра-

венства: tgα =

V02 y

=

 

2,43

= 1,31. Откуда α = 52,64o .

 

1,85

 

 

V

 

 

 

 

 

02x

 

 

 

 

 

4.3. Колебания материальной точки

Силы, возникающие при отклонении материальной точки от положения равновесия и направленные так, чтобы вернуть точку в это положение, называ-

ются восстанавливающими. Восстанавливающие силы, линейно зависящие от расстояния от точки до положения её равновесия, называются линейными вос-

станавливающими силами. Так, сила упругости пружины F = c l , где с – ко-

эффициент жесткости (или просто жёсткость) пружины; l – удлинение пру-

жины, является линейной восстанавливающей силой.

Дифференциальное уравнение движения материальной точки массой m

вдоль оси Оx под действием линейной восстанавливающей силы, представляет собой уравнение гармонических колебаний и имеет вид:

m&x&+ cx = 0 , или &x&+ ω2 x = 0,

где x – отклонение точки от положения равновесия, куда поместили начало

80

координат;

ω – угловая частота колебаний, ω2 =

c

. Единица измерения угло-

 

 

 

 

 

 

m

вой частоты – рад/с.

 

Решение

дифференциального уравнения свободных колебаний представ-

ляется суммой

x = C1cosωt + C2sinωt , где постоянные интегрирования С1 и С2

находятся

из

начальных условий. Амплитуда свободных колебаний

A =

 

. Промежуток времени, в течение которого точка совершает одно

C 2 + C 2

1

2

 

 

 

 

 

 

полное колебание, называется периодом колебаний: T =

. Величина, обрат-

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

ная периоду, ν = T1 определяет число полных колебаний точки за 1 с и называ-

ется частотой колебаний. Частота колебаний измеряется в герцах (Гц). Часто-

та, равная 1 Гц, соответствует одному полному колебанию в секунду. Угловая частота связана с частотой колебаний соотношением ω = 2πν .

Если на материальную точку кроме восстанавливающей силы действует

сила сопротивления движению, пропорциональная скорости точки, R = −μV ,

где μ – коэффициент сопротивления, то дифференциальное уравнение движе-

ния точки с сопротивлением относительно положения равновесия имеет вид

m&x&+ μx& + cx = 0, или &x&+ 2nx& + ω2 x = 0 , где n – коэффициент затухания, n =

μ

;

2m

 

 

ω – угловая частота собственных колебаний точки без учёта сопротивле-

ния, ω2 =

c

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

При

n <

ω движение точки представляет затухающие колебания. Общее

решение

дифференциального

уравнения колебаний с

сопротивлением

x = ent (C cosω t + C

2

sinω t)

=

Aentsin(ω t + α) , где С1 и С2 – постоянные ин-

 

1

 

1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

ω =

 

;

тегрирования;

ω –

 

угловая

частота затухающих колебаний,

ω2 n2

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

81

A1 = Aent – амплитуда затухающих колебаний, A = C12 + C22 ; α – начальная

фаза колебаний, tgα = C1 .

C2

При n > ω движение точки апериодическое, затухающее. Общее решение дифференциального уравнения движения точки с таким сопротивлением имеет

вид x = ent (C eω2t + C

2

e−ω2t ) , где

ω

2

=

n2 − ω2

.

1

 

 

 

 

 

 

 

При

n = ω движение

точки

происходит согласно уравнению

x = ent (C t + C

2

) .

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Если кроме восстанавливающей силы на материальную точку действует

переменная возмущающая сила, колебания точки называются вынужденными.

При действии гармонической возмущающей силы F = Hsinpt , где Н, р

амплитуда и угловая частота колебаний возмущающей силы, дифференциаль-

ное уравнение вынужденных колебаний материальной точки относительно по-

ложения равновесия

и

при

отсутствии

сил сопротивления имеет вид

&&

&&

 

2

x

= hsinpt , где

ω – угловая частота собственных

mx + cx = Hsinpt , или

x + ω

 

гармонических колебаний,

 

ω2 =

c

; h – относительная амплитуда возмущаю-

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

щей силы, h = Hm .

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения вынуж-

денных колебаний представляется как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. При отсутствии резонанса, когда частота собственных колебаний не совпадает с частотой возмущающей силы,

h

решение имеет вид: x = C1cosωt + C2sinωt + ω2 p2 sinpt , а в случае резонанса,

когда р = ω , – вид: x = C1cosωt + C2sinωt 2htp cospt . Значения произвольных постоянных С1 и С2 определяются из общего решения неоднородного уравне82

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]