MetodTM2
.pdfДадим системе другое независимое перемещение – по координате x2, ос-
тавляя координату x3 без из-
менения:δx2 > 0, δx3 = 0 (рис. 6.19).
При этом возможном перемещении вся система стоит, кроме катка 2, который катится по поверхности не-
подвижной платформы, и
груза 1, который опускается вертикально вниз. Работу со-
вершает только сила тяжести груза 1. Выражая работу в виде δA = P1δx2 = Pδx2 ,
найдём обобщённую силу, соответствующую координате x2, Qx2 = P .
Составим уравнения Лагранжа. С этой целью вычислим частные произ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
|
водные от кинетической энергии по обобщенным скоростям x3 |
и x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂T 3P |
& |
|
35P |
& |
|
|
∂T |
|
|
|
|
|
4P |
& |
|
|
3P |
& |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
¶x&3 = |
|
|
|
|
|
¶x&2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
g |
x2 + |
|
4g |
|
x3 , |
|
|
|
= |
|
|
g |
x2 + |
|
g |
x3 |
|
||||||||||||
и по обобщённым координатам |
|
∂T |
|
= 0, |
|
|
∂T |
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
¶x |
|
|
|
¶x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определим полные производные по времени от частных производных ки- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
нетической энергии по скоростям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
æ |
¶T |
ö |
3P |
|
|
35P |
|
|
|
æ |
|
¶T |
ö |
|
4P |
|
|
|
3P |
|
|||||||||||||
|
d |
ç |
÷ |
&& |
|
&& |
|
d |
ç |
|
÷ |
|
&& |
|
&& |
||||||||||||||||||
|
|
¶x& |
g |
|
|
4g |
|
|
¶x& |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dt ç |
÷ = |
x2 + |
|
|
x3 , |
dt ç |
2 |
÷ = g |
x2 + g |
x3 . |
||||||||||||||||||||||
è |
3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя результаты расчётов в уравнения Лагранжа с учётом вычис-
ленных значений обобщённых сил, получим систему дифференциальных урав-
нений, описывающих движение системы в обобщённых координатах: 12&x&2 + 35&x&3 = −2g , 4&x&2 + 3&x&3 = g .
Алгебраическим решением системы служат значения ускорений: 153
&x&3 = − 265 g = – 0,19g и &x&2 = 10441 g = 0,39g.
Полученные выражения представляют собой дифференциальные уравне-
ния, проинтегрировав которые дважды с нулевыми начальными условиями
(движение началось из состояния покоя), найдём уравнения абсолютного дви-
жения платформы и относительного движения центра масс катка 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = −0,095gt2 , |
x |
2 |
= 0,195gt2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отрицательное значение координаты х3 означает, что движение платфор- |
||||||||||||||||||||||||||||||
мы происходит в отрицательном направлении оси х3 (см. рис. 6.16). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Абсолютное движение центра катка 2 представляется суммой относи- |
||||||||||||||||||||||||||||||
тельного и переносного движений: x |
C2 |
= x |
2 |
+ x = 0,1gt2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Уравнение вращения катка 2 найдём на основании выражения его угловой |
||||||||||||||||||||||||||||||
скорости: |
ω2 = |
VC2r |
= |
x&2 |
, которое может быть представлено в дифференциаль- |
||||||||||||||||||||||||||
R2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ном |
виде |
dϕ2 = |
|
1 |
dx2 . |
|
Отсюда |
закон |
|
вращательного |
движения катка 2: |
||||||||||||||||||||
|
2r |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ϕ2 = |
1 |
x2 |
|
|
|
gt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= 0,097 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Вращение блока 4 описывается уравнением ϕ |
|
= |
1 |
x |
= − 0,047 |
gt2 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2r |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
r |
|||
|
Движение катка 5 описывается двумя уравнениями: уравнением движения |
||||||||||||||||||||||||||||||
центра масс катка |
|
x |
C5 |
= |
1 |
x |
3 |
= −0,047gt2 |
и уравнением вращательного движе- |
||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ния катка: ϕ5 = |
x |
3 |
|
|
= − 0,024 |
gt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2R5 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в при-
мерах и задачах: Т. 1–2.– СПб.: Лань, 2010.
Бутенин Н. В., Лунц Я. Л., Меркин Д. Р. Курс теоретической механики: в 2-х томах.– М.: Наука, 2009.
Вебер Г. Э., Ляпцев, С. А. Лекции по теоретической механике. Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2008.
Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. Учебн. для втузов. – М.: Высшая школа, 2010.
155
Учебное издание
Юрий Михайлович Казаков
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
сборник заданий для расчетно-графических работ
Учебно-методическое пособие
для самостоятельной работы студентов
Редактор В.В. Баклаева
Подписано в печать Бумага писчая. Формат бумаги 60×84 1/16.
Гарнитура Times New Roman. Печать на ризографе. Печ. л. Уч. изд. л. Тираж экз. Заказ №
Издательство УГГУ 620144, Екатеринбург, ул. Куйбышева, 30
Уральский государственный горный университет Отпечатано с оригинал-макета
в лаборатории множительной техники УГГУ
4. ДИНАМИКА ТОЧКИ .......................................................................................................... |
73 |
4.1. Дифференциальные уравнения движения точки.................................................... |
73 |
4.2. Задание Д1. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки ... |
73 |
4.3. Колебания материальной точки .............................................................................. |
80 |
4.4. Задание Д2. Исследование колебаний точки.......................................................... |
84 |
4.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки............................................. |
95 |
4.6. Задание Д3. Исследование движения точки |
|
с применением теоремы об изменении кинетической энергии.................................... |
96 |
5. ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ................................................................ |
103 |
5.1. Описание движений твёрдых тел на основе общих теорем динамики системы 103 |
|
5.2. Задание Д4. Динамический расчет механической системы................................. |
104 |
5.3. Теорема об изменении кинетической энергии системы. ..................................... |
112 |
5.4. Задание Д5. Исследование движения механической системы |
|
с применением теоремы об изменении кинетической энергии................................. |
114 |
6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ................................................................................... |
124 |
6.1. Принципы механики. Общее уравнение динамики.............................................. |
124 |
6.2. Задание Д6. Исследование механической системы |
|
с применением общего уравнения динамики.............................................................. |
126 |
6.3. Уравнения Лагранжа II рода ................................................................................. |
136 |
6.4. Задание Д7. Исследование механической системы с одной степенью свободы |
|
с применением уравнений Лагранжа ........................................................................... |
137 |
6.5. Задание Д8. Исследование механической системы с двумя степенями свободы145 |
|
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ................................................................. |
155 |