MetodTM2

Сообщим системе возможное перемещение, совпадающее с действитель-

ным. Элементарная работа реакций связи на любом возможном перемещении системы равна нулю, так как связи в системе идеальные.

Найдем элементарные работы активных сил и выразим их через переме-

щение центра масс катка 2. Прежде заметим, что элементарные работы сил тя-

жести груза 1 и катка 2 равны нулю, так как направления перемещений точек приложения этих сил перпендикулярны векторам сил:

δA(P1) = P1δs1cos90o = 0, δA(P2 ) = P2δsCcos90o = 0.

Элементарная работа силы тяжести блока 3 равна нулю, так как точка приложения силы тяжести блока 3 не перемещается: δA(P3) = 0.

Элементарная работа пары сил с моментом М, приложенных к блоку 3:

dА(M ) = Мdj3 = MdsC (R2 − r2 ) .

R3r2

Элементарная работа силы F :

δA(F) = Fδs1cos150o = - FdsC (R2r+ r2 ) cos30o .

2

Сумма элементарных работ всех активных сил:

Определим модули главных векторов и главных моментов сил инерции в зависимости от ускорения aC центра масс катка 2.

133

Найдем элементарные работы сил инерции на возможном перемещении системы и выразим их в зависимости от перемещения δsC центра масс катка 2.

δA(R1и ) = R1иδs1cos180o = - P1(R2 + r2 )2 aC dsC ,

gr22

где g = 9,81 м/с2.

134

С учетом проделанных вычислений общее уравнение динамики принима-

ет вид: åδA(Fkакт ) + åδA(Rkи ) = (23,35 + 68,35t)δsC – 52,75aCδsC = 0, откуда ус-

корение центра масс катка 2: aC = 0,44 +1,29t .

Выберем ось x по направлению движения центра масс катка 2 (рис. 6.7).

Проектируя вектор aC ускорения точки С на ось х, получим дифференциальное

Окончательно, уравнение движения центра масс диска 2: xC = 0,22t2 + 0,21t3 .

Рассмотрим вращательное движение блока 3, освободив его от связей. На блок дей-

ствуют сила тяжести P3 , реакция подшипника,

разложенная на составляющие X 3 , Y3 , пара

инерции. Направления сил и моментов пар сил, действующих на блок 3, пока-

заны на рис. 6.8.

По принципу Даламбера система сил, приложенных к блоку 3, включая силы инерции, находится в равновесии. Составим уравнение равновесия в виде равенства нулю суммарного момента всех сил (включая силы инерции) относи-

135

В момент времени t = 1 с натяжение нити составляет: Н3 = 41,04 Н.

Составленные по принципу Даламбера уравнения равновесия блока 3 в

виде проекций всех сил на вертикальную и горизонтальную оси содержат толь-

ко внешние силы, так как главный вектор сил инерции блока 3 равен нулю.

Имеем: X3 + H3 = 0, Y3 − P3 = 0 (см. рис. 6.8). Отсюда находим составляющие реакции шарнира блока 3 в момент времени t = 1 с: X3 = −H3= – 41,04 Н,

Y3 = P3 = 15 Н. Отрицательное значение горизонтальной составляющей реакции шарнира означает её противоположное направление, чем на рис. 6.8.

6.3. Уравнения Лагранжа II рода

Обобщенными координатами механической системы называется сово-

купность любых s независимых параметров q1, q2 , ..., qs , однозначно опреде-

ляющих положение системы в любой момент времени.

Если системе сообщить возможное перемещение, при котором все обоб-

щенные координаты изменяются на элементарные (бесконечно малые) величи-

ны δq1, δq2 , ..., δqs , называемые вариациями обобщенных координат, то все действующие активные силы совершат элементарную работу, которая может быть представлена в виде dA = Q1 × dq1 + Q2 × dq2 + ...+ Qs × dqs . Величина Qk ,

равная коэффициенту при вариации δqk обобщенной координаты, называется

обобщенной силой, соответствующей данной обобщенной координате. Расчет обобщенных сил осуществляется путем последовательного придания системе возможных перемещений, при которых варьируется только одна из обобщен-

ных координат, а вариации остальных координат равны нулю.

136

Для материальной системы с идеальными связями дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах – уравнения Лагранжа II

щенные скорости; s – число степеней свободы системы.

6.4. Задание Д7. Исследование механической системы с одной степенью свободы с применением уравнений Лагранжа

Механическая система состоит из трёх тел – бруса 1, блока 2, катка 3 и

невесомой пружины жесткостью с. Брус 1, соединяющий каток 3 с блоком 2,

расположен параллельно линии качения катка 3. Радиусы ступеней ступенчато-

го диска и радиус однородного диска указаны на схеме.

Качение катка 3 происходит без проскальзывания. Скольжение между брусом и дисками отсутствует. В задачах, где пружина соединяется с блоком 2,

передача движения блоку 2 производится посредством невесомого стержня без скольжения. Радиус инерции ступенчатого диска относительно оси, проходя-

щей через его центр масс перпендикулярно плоскости движения, iz. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести P1, P2 , P3 , си-

лы F и пары сил с моментом М.

Определить закон движения бруса 1 и закон угловых колебаний блока 2,

если в начальный момент пружина находилась в нерастянутом состоянии, а

блоку 2 придали угловую скорость ω20 , направленную в сторону заданного мо-

мента пары сил. Варианты заданий даны на рис. 6.9 – 6.10. Варианты исходных данных в табл. 6.2. Отрицательные значения величин F или М в табл. 6.2 озна-

чают, что при заданных модулях силы или момента направление вектора силы

F или момента М на схеме следует изменить на противоположные.

137

Рис. 6.10. Задание Д7. Исследование движения механической системы с одной степенью свободы. Номера вариантов задания 7 – 10, 17 – 20, 27 – 30

Таблица 6.2

Исходные данные задания Д7. Исследование движения механической системы с одной степенью свободы с применением уравнений Лагранжа

139

Окончание табл. 6.2

Пример выполнения задания Д7. Исследование движения механической системы с одной степенью свободы с применением уравнений Лагранжа

Механическая система состоит из трёх тел – бруса 1, блока 2, катка 3 и

невесомой пружины жесткостью с. Брус, соединяющий каток 3 с блоком 2, рас-

положен параллельно линии качения катка 3 (рис. 6.11). Радиусы ступеней сту-

пенчатого диска R и r, радиус однородного диска r. Система движется в верти-

кальной плоскости под действием сил тяжести P1, P2 , P3 , силы F и пары сил с моментом М. Движение катка 3 по неподвижной поверхности происходит без проскальзывания. Скольжение между брусом и дисками отсутствует. Передача

140

движения от пружины блоку 2 производится посредством невесомого верти-

кального стержня без скольжения. Радиус инерции блока 2 относительно оси, прохо-

дящей через его центр масс перпендику-

лярно плоскости движения, iz.

и закон угловых колебаний блока 2 при Р = 10 Н, r = 0,2 м, если в начальный момент пружина находилась в нерастянутом состоянии, а блоку 2 придали уг-

ловую скорость ω0 = 0,5 рад/с, направленную в сторону заданного момента па-

ры сил.

Решение

Рассматриваемая механическая система – брус 1, блок 2 и каток 3 (рис. 6.11) имеет одну степень свободы, так как в системе не допускается независимое друг от дру-

га движение тел. В каче-

стве обобщённой коорди-

наты q выберем переме-

щение x1 бруса 1 относи-

тельно начального поло-

жения, при котором пру-

Рис. 6.12 Расчётная схема колебаний механической системы с одной степенью свободы жина, соединённая с бло-

ком 2, находится в нерас-

тянутом состоянии. Обобщённая скорость q& = x&1 = V1 . Положительное направ-

141

ление отсчета координаты x1 и положительное направление отсчёта угла пово-

рота блока 2 показаны на рис. 6.12 направлением оси x и дуговой стрелкой ϕ2 .

Уравнение Лагранжа II рода, описывающее движение системы, имеет вид

сила, соответствующая обобщенной координате x1.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энер-

гий бруса, блока и катка: T = T1 + T2 + T3 . Кинетическая энергия поступательно-

го движения бруса 1: T1 = 12 m1V12 , где m1, V1 – масса и скорость бруса. Энергия

момент инерции катка относительно оси, проходящей через его центр масс пер-

пендикулярно плоскости движения, J zC = 12 m3r 2 ; r – радиус катка; ω3 – угло-

вая скорость катка.

Выразим угловые скорости ω2 , ω3 блока 2 и катка 3, а также скорость VC

центра масс катка 3 через обобщённую скорость x&1. Заметим, что скорости то-

чек А и В на брусе одинаковы и равны скорости бруса 1, VA = VB = V1. Выражая скорость точки А через угловую скорость блока 2, а скорость точки В через уг-

ловую скорость катка 3, получим: w2 = VRB = xR&1 , w3 = V2Ar = 2x&1r . Здесь при опре-

делении угловой скорости катка 3 учтено, что точка К касания катка 3 с непод-

вижной поверхностью является мгновенным центром скоростей катка.

142