Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4668 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уральский государственный горный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

MetodTM2

.pdf
Скачиваний:
98
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
729.95 Кб
Скачать
☆

ния с учетом начальных условий движения. Амплитуда собственных колебаний

груза A

 

=

C

2

+ C 2

. Амплитуда вынужденных колебаний при отсутствии ре-

соб

 

1

 

 

2

 

 

зонанса

Aвын =

 

 

 

h

 

. При резонансе амплитуда вынужденных колебаний

 

ω2

− p2

 

 

 

 

 

 

растет как линейная функция времени Aвын = 2htp .

Если возмущающее воздействие заключается в принудительном гармони-

ческом колебании точки подвеса пружины, например, по закону S = asinpt , где

а, р – амплитуда и угловая частота колебаний точки подвеса пружины, диффе-

ренциальное уравнение вынужденных колебаний материальной точки относи-

тельно положения равновесия при отсутствии сил сопротивления имеет вид

&&

2

x = hsinpt , где ω – угловая частота собственных гармонических колеба-

x + ω

 

ний,

ω2 =

c

 

; h – относительная амплитуда

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

возмущающего колебания,

h =

ca

. Общее

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

решение неоднородного дифференциального

 

уравнения

вынужденных

колебаний

при

 

принудительном гармоническом колебании

 

точки подвеса пружины может быть получе-

 

но аналогично случаю возмущения гармони-

 

ческой силой

 

 

 

 

 

 

Колебания груза на двух параллельных

Рис. 4.5. Способы крепления груза

пружинах с коэффициентами жесткости c1 и

на двух пружинах:

а – две параллельные пружины;

c2 (рис. 4.5, а) можно рассматривать как ко-

b – последовательно соединённые

пружины; с – крепление груза между

лебания груза на одной пружине с эквива-

пружинами

 

лентной жесткостью cэкв = c1 + c2 , где

cэкв –

коэффициент жесткости эквива-

лентной пружины. При последовательном соединении пружин (рис. 4.5, b) 83

коэффициент жесткости эквивалентной пружины cэкв =

c1c2

. Если груз рас-

 

 

c1 + c2

положен между двумя пружинами (рис. 4.5, с), коэффициент жесткости эквива-

лентной пружины равен сумме коэффициентов жесткости пружин: cэкв = c1 + c2 .

4.4. Задание Д2. Исследование колебаний точки

Задание Д2 на исследование колебаний точки включает две задачи.

Задача 1. Исследование гармонических колебаний точки.

На гладкой наклонной плоскости с углом наклона α находится прикреп-

лённый к пружине (или двум пружинам) груз (или два груза) массой m1 и m2.

Пружины параллельны наклонной плоскости. При движении грузов на наклон-

ной плоскости трение не учитывается. Жёсткость пружин с1 и с2. Расположение грузов на пружине и описание условий, при которых начались колебания, при-

ведено на схемах. Определить уравнение свободных колебаний груза (или двух грузов вместе), амплитуду и частоту колебаний.

Задача 2. Исследование вынужденных колебаний точки.

Груз движется на пружинах, расположенных вертикально или горизон-

тально. При движении груза по горизонтальной поверхности трение не учиты-

вается. Жёсткость пружин с1 и с2. Направление возмущающего усилия

F = F(t), приложенного к грузу, или возмущающего движения точки крепления пружин S = S(t), а также описание условий начала колебаний приведено на схемах. В задачах, где на схемах присутствует амортизатор, создающий сопро-

тивление движению груза, сила сопротивления пропорциональна скорости дви-

жения груза и находится по формуле: R = −μV Н, где μ – коэффициент сопро-

тивления; V – скорость груза. Определить уравнение колебаний груза, амплиту-

ды собственных и вынужденных колебаний.

Варианты заданий даны на рис. 4.6 – 4.9. Исходные данные в табл. 4.2.

84

Варианты № 1, 11, 21

Задача 1

 

 

 

 

Задача 2

 

 

 

 

 

Невесомая пла-

 

К

верхнему

стина АВ укреплена на

концу пружины, сжа-

нерастянутой

пружи-

той на величину ∆ℓ0,

не.

Груз 1,

получив

прикрепляют груз 1 и

начальную

скорость

отпускают

без

на-

V0 , падает вертикаль-

чальной

скорости.

но вниз. Через 1 с по-

Одновременно

ниж-

сле

 

начала

падения

 

ний

конец

пружины

груз

достигает

пла-

начинает двигаться по закону S = S(t)

 

стины и продолжает движение вместе с ней

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варианты № 2, 12, 22

 

 

 

Задача 1

 

 

 

 

 

Задача 2

 

 

В

положении

 

 

Груз 1

 

 

 

движется

по

статического равнове-

 

гладкой

гори-

сия

 

двух

грузов

 

 

 

зонтальной по-

(1 и 2), установленных

 

 

верхности

с

на пружине, груз 1 уб-

начальной скоростью V0 .

рали,

а

грузу 2 сооб-

Через

1 с

груз

щили

скорость

V ,

упирается в площадку АВ, укреплённую на

направленную вверх0

недеформированных пружинах, соединённых

 

 

 

 

 

 

параллельно, и продолжает движение вместе

 

 

 

 

 

 

ней. Во время движения (до упора в площад-

 

 

 

 

 

 

ку АВ и вместе с ней) груз испытывает со-

 

 

 

 

 

 

противление, создаваемое демпфером D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варианты № 3, 13, 23

 

 

 

Задача 1

 

 

 

 

Задача 2

 

 

 

В

положении

ста-

Недеформирован-

тического равновесия гру-

ную пружину

оттянули

за 2,

укреплённого

на

вниз на расстояние ∆ℓ0,

пружине, к нему присое-

подцепили груз 1

и от-

динили груз 1 и оба груза

пустили

без

начальной

толкнули вниз со скоро-

скорости. Одновременно

стью V0

 

 

 

 

на груз стала действовать

 

 

 

 

 

 

возмущающая сила F (t)

 

 

 

Рис. 4.6. Задание Д2. Исследование колебаний точки. Варианты задания 1 – 3, 11 – 13, 21 – 23

85

Продолжение вариантов задания Д2

 

 

 

Варианты № 4, 14, 24

 

 

 

 

 

 

Задача 1

 

 

 

 

 

Задача 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Грузу 1, укреплённому

 

К

недеформи-

 

 

на двух последовательно со-

рованной

пружине

единённых пружинах в поло-

подцепили

груз 1,

от-

жении статического равнове-

тянули

его

вниз

на

сия,

сообщили

начальную

расстояние ∆ℓ0

и со-

скорость V0 , направленную

общили

скорость

V0 ,

направленную вверх

вниз.

Одновременно

на груз

стала действовать возмущающая сила F (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варианты № 5, 15, 25

 

 

 

 

 

 

Задача 1

 

 

 

 

 

Задача 2

 

 

 

 

 

В положении статиче-

 

 

Груз 1

падает с

ского равновесия грузов 1 и

 

высоты ∆ℓ0 на пло-

2, укреплённых на двух вер-

 

щадку АВ, установлен-

тикальных

последовательно

 

ную

на

недеформиро-

соединённых пружинах, уб-

 

ванной

пружине,

и

рали груз 1, а груз 2 отпусти-

 

продолжает

движение

ли без начальной скорости

 

вместе с ней. Демпфер

 

 

 

 

 

 

 

D создаёт сопротивле-

 

 

 

 

 

 

ние движению груза на пружине

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варианты № 6, 16, 26

 

 

 

 

 

 

Задача 1

 

 

 

 

 

Задача 2

 

 

 

 

 

 

Груз 1 помести-

 

 

К

недеформи-

ли между двумя нерас-

 

рованным

пружинам,

тянутыми

пружинами,

 

соединённым последо-

затем

оттянули

вниз

 

 

вательно,

подцепили

на расстояние ∆ℓ0 и от-

 

 

груз 1 и

толкнули

его

пустили без начальной

 

 

вниз со скоростью V0 .

скорости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Одновременно

верх-

 

 

 

 

 

 

 

ний

конец

пружины

 

 

 

 

 

 

начинает двигаться по закону S = S(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.7. Задание Д2. Исследование колебаний точки. Варианты задания 4 – 6, 14 – 16, 24 – 26

86

Продолжение вариантов задания Д2

Варианты № 7, 17, 27

Задача 1

 

 

 

 

 

Задача 2

 

 

 

 

 

 

К

 

неде-

 

 

К

нерас-

 

 

 

тянутой

пружи-

формированным

не,

располо-

пружинам

прило-

жили груз 1, пе-

женной

на

го-

реместили

 

его

ризонтальной

вниз

на

величину

гладкой

 

по-

∆ℓ0

 

и

сообщили

 

 

верхности, подцепили груз 1, оттянули его

скорость V0 , направленную вниз

 

 

 

на расстояние ∆ℓ0 и отпустили. Одновремен-

 

 

 

 

 

 

но на груз стала действовать горизонтальная

 

 

 

 

 

 

возмущающая сила F (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варианты № 8, 18, 28

 

 

 

 

Задача 1

 

 

 

 

 

Задача 2

 

 

 

 

Грузы 1 и 2 находят-

В положении ста-

ся на пружине в положении

тического

ему

равновесия

статического

равновесия.

груза 1

сообщили

Груз 2 удаляют, а грузу 1

скорость V0 , направлен-

сообщают скорость V0 , на-

ную вниз. Демпфер А

правленную вверх

 

 

создаёт

сопротивление

 

 

 

 

 

 

движению груза

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варианты № 9, 19, 29

 

 

 

 

Задача 1

 

 

 

 

 

Задача 2

 

 

 

 

 

Груз 1 без на-

 

 

К

двум

чальной скорости па-

горизонтальным

дает

вниз.

Пройдя

пружинам,

со-

путь 1 м, груз дости-

единённым

по-

гает

пластины

АВ,

следовательно, в

укреплённой

на

не-

положении

их

нерастянутого

деформированных,

состояния прицепили груз 1 и сообщили ему

параллельно

соеди-

горизонтальную скорость V , направленную

нённых

пружинах, и

0

 

 

 

 

в сторону сжатия пружин. Одновременно ле-

дальше движется вместе с ней

 

 

 

 

вый конец пружинной системы начинает

 

 

 

 

 

 

двигаться по закону S = S(t)

 

 

 

 

Рис. 4.8. Задание Д2. Исследование колебаний точки. Варианты задания 7 – 9, 17 – 19, 27 – 29

87

Окончание вариантов задания Д2

Варианты № 10, 20, 30

Задача 1

 

Задача 2

 

 

В положении

 

Между

двумя

горизон-

статического

равно-

тальными

не-

весия груза 1, укреп-

деформирован-

лённого на двух по-

следовательно со-

ными

пружина-

единённых

пружи-

ми на

гладкую

нах, сообщили ско-

поверхность поместили груз 1, оттянули его

рость V0 , направ-

влево на расстояние ∆ℓ0 и отпустили без на-

ленную вниз по наклонной плоскости

 

чальной скорости. Одновременно на груз

 

 

стала действовать возмущающая сила F (t)

Рис. 4.9. Задание Д2. Исследование колебаний точки. Варианты задания 10, 20, 30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4.2

 

Исходные данные задания Д2. Исследование колебаний точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Номер

Номер

m1,

m2,

V0,

с1,

с2,

∆ℓ0,

μ,

F(t), H

S(t), м

вариан-

задачи

та

 

кг

кг

м/с

Н/м

Н/м

м

H·с/м

 

 

задания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2,5

–

2,0

200

–

–

–

–

–

 

2

2,0

–

–

210

–

0,1

–

–

0,02sin12t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

1,5

2,0

4

250

–

–

–

–

–

 

2

2,0

–

4

220

–

–

1,0

–

–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

2,0

1,5

3

250

–

–

–

–

–

 

2

1,2

–

–

200

–

0,14

–

12sin5t

–

4

1

2,0

–

3

180

–

0,1

–

–

–

 

2

1,5

–

2

150

120

–

–

8sin12t

–

5

1

1,0

2,0

–

120

100

–

–

–

–

 

2

1,0

–

–

50

–

0,5

18

–

–

6

1

1,2

–

–

120

180

0,12

–

–

–

 

2

1,4

–

2,4

120

180

–

–

–

0,03sin14t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

1

1,6

–

3,2

140

–

0,15

–

–

–

 

2

1,5

–

–

120

–

0,12

–

12sin6t

–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

1

1,0

2,0

3,0

150

–

–

–

–

–

 

2

2,0

–

3,5

120

–

–

15

–

–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

88

Продолжение табл 4.2

Номер

Номер

m1,

m2,

V0,

с1,

с2,

∆ℓ0,

μ,

F(t), H

S(t), м

вариан-

задачи

та

 

кг

кг

м/с

Н/м

Н/м

м

H·с/м

 

 

задания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

1

1,5

–

–

100

–

–

–

–

–

 

2

1,4

–

2,0

100

110

–

–

–

0,015sin8t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

1

2,5

–

2,5

110

100

–

–

–

–

 

2

2,0

–

–

110

52

0,08

–

5sin9t

–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

1

2,0

–

4,0

300

–

–

–

–

–

 

2

1,0

–

–

200

–

0,12

–

–

0,01sin4t

12

1

1,8

2,4

4

220

–

–

–

–

–

 

2

1,0

–

5

240

–

–

0,6

–

–

13

1

1,5

1,5

2

200

–

–

–

–

–

 

2

1,8

–

–

180

–

0,08

–

10sin10t

–

14

1

2,0

–

2

200

–

0,12

–

–

–

 

2

2,0

–

2

150

120

–

–

10sin8t

–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

1

1,5

2,0

–

120

250

–

–

–

–

 

2

1,5

–

–

120

–

0,4

4

–

–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

1

2,0

–

–

150

75

0,1

–

–

–

 

2

2,0

–

2,5

150

75

–

–

–

0,01sin5t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

1

1,5

–

2,1

160

–

0,11

–

–

–

 

2

1,8

–

–

150

–

0,1

–

8sin12t

–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

1

2,0

1,0

2,5

80

–

–

–

–

–

 

2

1,5

–

2,5

50

–

–

21

–

–

19

1

1,6

–

–

120

–

–

–

–

–

 

2

1,2

–

2,0

85

120

–

–

–

0,015sin7t

20

1

2,0

–

2,0

90

100

–

–

–

–

 

2

2,5

–

–

100

90

0,12

–

6sin10t

–

21

1

2,0

–

1,6

220

–

–

–

–

–

 

2

2,5

–

–

250

–

0,14

–

–

0,01sin10t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

1

2,2

1,5

3

180

–

–

–

–

–

 

2

1,5

–

4

280

–

–

0,8

–

–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

1

2,2

1,2

2

220

–

–

–

–

–

 

2

1,6

–

–

200

–

0,12

–

5sin7t

–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

89

Окончание табл 4.2

Номер

Номер

m1,

m2,

V0,

с1,

с2,

∆ℓ0,

μ,

F(t), H

S(t), м

вариан-

задачи

та

 

кг

кг

м/с

Н/м

Н/м

м

H·с/м

 

 

задания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

1

1,6

–

2,4

160

–

0,13

–

–

–

 

2

1,0

–

3

150

300

–

–

6sin10t

–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

1

0,8

1,2

–

120

80

–

–

–

–

 

2

0,8

–

–

180

–

0,4

12

–

–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

1

1,4

–

–

100

120

0,15

–

–

–

 

2

1,8

–

2,2

150

120

–

–

–

0,015sin8t

27

1

2

–

4,0

150

–

0,12

–

–

–

 

2

2

–

–

162

–

0,13

–

5sin9t

–

28

1

1,5

2,0

2,0

140

–

–

–

–

–

 

2

1,5

–

3,1

180

–

–

12

–

–

29

1

1,0

–

–

140

–

–

–

–

–

 

2

2,0

–

2,4

75

150

–

–

–

0,08sin5t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

1

1,6

–

3

75

150

–

–

–

–

 

2

1,5

–

3

80

70

0,15

–

8sin10t

–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример выполнения задания Д2. Исследование колебаний точки

Задача 1. Груз 1 весом Р = 20 Н, лежащий на гладкой наклонной плоско-

сти, прикреплён к недеформированной пружине,

расположенной параллельно плоскости

(рис. 4.10). Угол наклона плоскости к горизонту

30º, коэффициент жесткости пружины c = 400

Н/м. В начальный момент груз переместили вверх по наклонной плоскости (сжали пружину)

на расстояние ∆ℓ0 = 0,1 м относительно нерастя-

Рис. 4.10. Схема крепления груза и условия начала нутой пружины и отпустили без начальной ско-

колебаний

рости.

Определить уравнение колебаний груза 1, а также частоту и амплитуду колебаний.

90

Решение

Расчетная схема колебаний груза 1 показана на рис. 4.11. Направим ось

Оx, вдоль которой происходят колебания груза, вниз вдоль наклонной плоско-

сти. Начало отсчёта координаты x выберем в положении статического равнове-

сия груза (см. рис. 4.11) В произвольном по-

ложении груза, обозначенном координатой x, к

нему приложены три силы: сила тяжести P ,

реакция опоры наклонной плоскости N и сила упругости пружины Fупр . Проекция силы уп-

ругости пружины на ось Оx: Fупр x = −c l, где

l– удлинение пружины относительно её не- Рис. 4.11. Расчётная схема

колебаний груза

растянутого положения, включающее её рас-

тяжение x относительно выбранного начала координат и растяжение λст при статическом равновесии груза на наклонной плоскости.

С учетом выражения силы упругости получим дифференциальное урав-

нение движения груза в проекции на ось Оx:

m&x& = Psin30o − c(x + λст ) .

В положении статического равновесия сила упругости уравновешивается

силой, равной проекции силы тяжести на ось х: Psin30o − cλст = 0 . Подставляя это выражение условия статического равновесия груза в уравнение движения получим дифференциальное уравнение колебаний груза:

m&x& = −cx, или

&x& + ω2 x = 0 ,

 

 

 

 

где ω – угловая частота колебаний, ω =

c

 

= 14,01 рад/с.

m

 

 

 

Общее решение уравнения колебаний x = C1cosωt + C2sinωt .

Для определения произвольных постоянных С1 и С2 вычислим координа-

ту x0 начального положения груза на оси Оx.

91

 

Растяжение пружины в положении статического равновесия

λст =

Psin30o

= 0,025 м. Координата начального положения груза определяется

c

 

 

величиной сжатия пружины и, поскольку начало отсчёта координаты x выбрано

в положении статического равновесия груза, равна (со знаком!): x0 = −( l0 + λст )= – 0,125 м (см. рис. 4.11).

Подставляя значение координаты начального положения груза в общее

решение уравнения колебаний при t = 0, получим C1= – 0,125 м. Для определе-

ния второй константы вычислим скорость груза в произвольный момент време-

ни: x& = −C1ωsinωt + C2ωcosωt . Подставим сюда начальное значение скорости груза при t = 0 x& = V0 = 0, получим C2 = 0 . Окончательно, уравнение движения груза 1 относительно положения статического растяжения пружины:

x(t) = −0,125cos14,01t м.

Амплитуда колебаний груза А = 0,125 м.

Задача 2. Груз 1 весом Р = 20 Н подвешен на недеформированной верти-

 

кальной пружине (рис. 4.12).

Жесткость

 

пружины c = 800 Н/м. В начальный момент

 

груз был оттянут вниз в положение, при ко-

 

тором пружина растянулась на

расстояние

 

l 0 = 0,1 м, и в этом положении ему сооб-

 

щена начальная скорость V0 = 2 м/с, направ-

Рис. 4.12. Схема крепления

ленная вверх.

 

груза и условия начала

Одновременно с началом

движения

колебаний

груза верхний конец пружины стал совершать гармонические колебания по закону S = asin10t , где а = 0,02 м.

Определить уравнение колебаний груза 1, а также частоту и амплитуду собственных колебаний.

92

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности