MetodTM1

Таблица 1.2

Исходные данные для задания С2. Равновесие пространственной системы сил

20

Примеры решения задания С2. Равновесие пространственной системы сил

Задача 1. Горизонтальный вал (рис. 1.14) закреплен в подпятнике С и

подшипнике К. Вал имеет шкив I радиуса R и шкив II ра-

диуса r, перпендикулярные оси вала. Рукоять АЕ парал-

лельна оси Сx. Нить, удержи-

вающая груз Q, сходит со шкива I по касательной верти-

кально вниз. На вал действуют

силы F, P и пара сил с мо-

Рис. 1.14. Схема вала и его нагрузка

ментом М, закручивающая вал

вокруг оси Сy. Сила F находится в плоскости, параллельной zCy, и составляет угол 60° с направлением оси Cy. Сила P приложена в точке В шкива II, опре-

деляемой центральным углом 30º, и направлена по касательной. Определить ве-

личину уравновешивающего момента М и реакции подшипника и подпятника,

21

составляющие: XC , YC , ZC , направленные вдоль координатных осей. Реакция подшипника К лежит в плоскости, перпендикулярной оси вала, и ее состав-

ляющими будут вектора X K , ZK , направленные вдоль координатных осей x, z.

Натяжение нити T направлено вдоль нити от точки К и по модулю равно весу груза. Действие на вал внешних сил и реакций связи показано на рис. 1.15.

Внешние силы, действующие на вал, и реакции связей составляют произ-

вольную пространственную систему сил эквивалентную нулю

( P, F, X K , ZK , T , XC , YC , ZC , М) ∞ 0, для которой уравнения равновесия

å Fkx = 0 , å Fky = 0 , å Fkz = 0 ,

åM x (Fk ) = 0 , åM y (Fk ) = 0, åM z (Fk ) = 0.

Для удобства при составлении уравнений равновесия изобразим вал вме-

сте с действующими на него силами в проекциях на координатные плоскости

(рис. 1.16).

Рис. 1.16. Вал и действующие на него силы в проекциях на координатные плоскости:

а – вид вала в проекции на плоскость zСx с положительного конца оси y; b – вид вала в проекции на плоскость zСy с положительного конца оси x; с – вид вала в проекции на плоскость xСy с положительного конца оси z

22

На рис. 1.16, а показаны проекции всех сил на плоскость zСx. Вычисляя моменты проекций этих сил относительно точки С, получим значения моментов исходных сил относительно оси y.

Для вычисления моментов сил относительно оси x достаточно найти мо-

менты проекций сил на плоскость zСy относительно точки С (см. рис. 1.16, b), а

вычисляя моменты проекций сил на плоскость xСy относительно точки С,

получим значения моментов сил относительно оси z .

Составляем уравнения равновесия:

å Fkx = P2 + X K + X C = 0 , åFky = F2 + YC = 0 ,

åFkz = -P1 + ZK - T + ZC - F1 = 0 ,

åM x (Fk ) = P1a − ZK 2a − T(2a + b) + F1(2a + 2b) = 0 ,

åM y (Fk ) = −F1a + TR + Pr− M = 0 ,

åM z (Fk ) = P2a + X K 2a − F2a = 0.

0,5 × 4 × 0,8 -1,6ZK - 3 × 0,87(2 × 0,8 + 0,4) + 2 × 0,87(2 × 0,8 + 2 × 0,4) = 0,

- 0,87 × 0,8 + 3 × 0,6 + 4 × 0,3 - M = 0, 0,87 × 4 × 0,8 +1,6 × X K - 2 × 0,5 × 0,8 = 0.

23

Задача 2. Плита весом Р расположена в вертикальной плоскости zАу. В

точке А плита закреплена пространственным шарниром, а в точке В на оси у

её плоскости, и сила F , лежащая в плоскости плиты и направленная под углом

α к горизонту (см. рис. 1.17). Кроме того, в плоскости плиты на неё действует пара сил с моментом М. Найти реакции шарниров А и В и усилие в стержневой подпорке СС1 при равновесии плиты, если параметры нагрузки: Р = 1 кН,

Решение

24

Пространственная система сил, действующих на плиту, является уравно-

вешенной: ( P, F, X B , ZB , T , X A , YA , ZA , М) ∞ 0. Уравнения равновесия:

å Fkx = 0 , å Fky = 0 , å Fkz = 0 ,

åM x (Fk ) = 0 , åM y (Fk ) = 0, åM z (Fk ) = 0.

Ввычислениях моментов сил относительно осей будем считать момент положительным, если при взгляде со стороны положительного направления оси, сила вращает тело (плиту) против хода часовой стрелки. Получим

åFkx = 0 , X A + Q + X B + T = 0,

åFky = 0 , YA + Fcosa = 0,

åFkz = 0 , Z A + Fsina - P + ZB = 0

åM x (Fk ) = 0 , - Fcosa × b - P × 0,5(a + d) + ZB (a + d) + M = 0,

åM y (Fk ) = 0, Q × (b + c) + T × (b + c) = 0,

åM z (Fk ) = 0, - Q × a - T × (a + d) - X B × (a + d) = 0.

Подставив исходные данные задачи, получим систему уравнений

откуда находим значения составляющих реакций

T = −500 Н, X B = 83,33 Н, ZB = 580 Н,

X A = -83,33 Н, YA = -328 Н, Z A =192 Н.

Полные реакции пространственного шарнира А:

RA = X A2 + YA2 + Z A2 = 389,09 Н,

цилиндрического шарнира В: RB = X B2 + ZB2 = 585,95 Н.

25

2. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются свойст-

ва движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил.

2.1. Кинематика точки. Основные параметры движения точки

Кривая, которую описывает движущаяся точка, называется траекторией

точки. Движение точки может быть задано векторным, координатным или ес-

тественным способами.

Векторный способ основан на определении положения точки ее радиу-

сом-вектором в виде векторного уравнения r = r (t) . При координатном спосо-

бе задания движения точки положение точки определяется ее координатами,

заданными для каждого момента времени: x = x(t) , y = y(t) , z = z(t). Естест-

венный способ задания движения используется, если заранее известна траекто-

рия движения точки. Тогда положение точки однозначно определяется длиной дуги OM = S(t) , отсчитываемой от некоторой фиксированной точки О, приня-

той за начало отсчета.

Мгновенная скорость, или скорость точки в данный момент времени,

является векторной величиной и определяется как производная по времени от

радиуса-вектора точки: = r& . Вектор скорости точки V всегда направлен по ка-

V r

сательной к траектории в сторону движения точки.

При координатном способе задания движения величины проекций векто-

ра скорости V на координатные оси определяются как производные по времени от соответствующих координат: Vx = x& , Vy = y& , Vz = z& . Модуль вектора скоро-

сти: V = Vx2 + Vy2 + Vz2 . При естественном способе задания движения вектор

скорости точки определяется равенством: = &r , где S S(t) – закон измене-

V Sτ =

26

ния длины дуги, τ –единичный вектор касательной к траектории движения, на-

тающих расстояний. При S& < 0 он имеет направление, противоположное еди-

ничному вектору τ , т. е. в сторону убывающих расстояний.

Мгновенное ускорение, или ускорение точки в данный момент времени,

является векторной величиной и определяется как производная по времени от вектора скорости точки или как вторая производная от радиус-вектора точки:

При естественном способе задания движения вектор ускорения точки a

раскладывается на две взаимно перпендикулярные составляющие an и aτ , па-

раллельные осям n и τ естественной системы координат, и представляется в виде равенства a = aττ + ann , или a = aτ + an , где τ – единичный направляю-

щий вектор оси, касательной к траектории (касательная ось); n – единичный

направляющий вектор главной нормали траектории. Величина an называется

радиус кривизны траектории. (У окружности радиус кривизны равен её радиусу,

у прямой линии – бесконечности.) Вектор an нормальной составляющей уско-

рения всегда направлен к центру кривизны траектории. При движении по ок-

ружности радиус кривизны траектории равен радиусу окружности, а центр кри-

визны траектории совпадает с центром окружности. Величина aτ называется

касательным ускорением и равна модулю второй производной от заданного

27

векторах an и aτ Модуль вектора ускорения равен: a = an2 + aτ2 .

2.2. Вращение тела вокруг неподвижной оси

Движение тела, при котором все точки некоторой его прямой остаются неподвижными, называется вращательным, а указанная прямая называется осью вращения. Вращение тела задается углом поворота ϕ = ϕ(t) подвижной плоскости, связанной с телом, относительно некоторого ее начального положе-

ния. Направление вращения с возрастанием угла поворота считается положи-

тельным.

Величина угловой скорости вращения тела равна модулю производной от угла поворота тела по времени: ω = ϕ . Направление угловой скорости вра-

щения тела зависит от знака производной ϕ& . При ϕ& > 0 вращение происходит в

положительном направлении, в сторону возрастания угла поворота. При ϕ& < 0

– в отрицательном. Направление угловой скорости обычно показывают дуговой стрелкой вокруг оси вращения. Вектор угловой скорости ω направлен вдоль оси вращения в сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.

Величина углового ускорения при вращении тела равна модулю второй производной от угла поворота тела по времени: ε = ϕ&& . Если ϕ&& одного знака с

28

ϕ& , то угловое ускорение ускоряет вращение тела. Если разных знаков, то угло-

вое ускорение замедляет вращение.

При вращательном движении тела все его точки движутся по окружно-

стям, радиусы которых равны расстояниям от выбранной точки до неподвиж-

ной оси. Скорость точки вращающегося твердого тела (в отличие от угловой скорости тела) называют линейной, или окружной скоростью точки. Величина скорости рассчитывается по формуле: V = ω h , где ω – величина угловой ско-

рости тела; h – расстояние от точки до оси вращения. Вектор скорости точки лежит в плоскости описываемой точкой окружности и направлен по касатель-

ной к ней в сторону вращения тела. Отношение скоростей двух точек вращаю-

Ускорение точки вращающегося твердого тела рассчитывается как ус-

корение точки при естественном способе задания движения в виде суммы век-

торов касательного и нормального ускорений: aM = aτ + an . Величины каса-

тельного, нормального и полного ускорений точки вращающегося тела, соот-

2.3. Плоскопараллельное движение твёрдого тела

Плоскопараллельным, или плоским движением твердого тела, назы-

вается такое движение, при котором все точки тела движутся параллельно неко-

торой неподвижной плоскости. Плоское движение представляется в виде суммы мгновенного поступательного движения, при котором все точки плоской фигу-

ры движутся со скоростью выбранной точки-полюса, и мгновенного враща-

тельного движения вокруг этого полюса.

29