matan_3sem2015_pilot

Следствие. Пусть [a; b] отрезок, лежащий в множестве сходимости степенного ряда. Как мы показали, на нем степенной ряд сходится равномерно

Пусть

1

X

cnxn = f(x)

n=0

Найдем первообразную функции f(x) на множестве сходимости:

Òàê êàê ??? , то у нового ряда радиус сходимости будет таким же.

4

Лекция 11 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

12 октября 2015 г.

(x0 R; x0 + R) она сходится абсолютно, а вне [x0 R; x0 + R] расходится. Мы также получили формулу

limn!1 n jcnj

Далее для удобства будем считать, что x0 = 0.

Для рядов можно ввести операцию интегрирования:

При помощи этого метода можно, например, найти R01 e x2 dx с нужной точ- ностью.

Ряды можно также дифференцировать:

У нового ряда радиус сходимости будет таким же, как и у исходного ряда, так как

Утверждение. Радиус сходимости для ряда из почленных производных членов степенного ряда совпадает с радиусом сходимости самого ряда. ???

Записки могут содержать ошибки.

1

Следствие. В интервале сходимости суммы степенного ряда непрерывно дифференцируемая функция.

Теорема. В интервале сходимости сумма степенного ряда бесконечно

Пусть f(x) бесконечно дифференцируема на отрезке с концами x0 и x. Тогда для любого натурального n существует n точка интервала с концами x0 è x, ÷òî

c0 + c1(x x0) + c2(x x0)2 + c3(x x0)3 +

c1 + 2c2(x x0) + 3c3(x x0)2 +

s(x0) = c0 s0(x0) = 1! c1

...

s(n)(x0) = n! cn

cn = s(n)(x0) n!

Утверждение. Пусть в некоторой окрестности точки x0

cn = c~n

2

Теорема (достаточное условие представимости функции степенным рядом). Пусть I невырожденный промежуток R, f 2 C1(I),

x0 2 I и существует C > 0, что

8x 2 I 8n 2 N: jf(n)(x)j < Cn

Тогда существует x 2 I, что

Нетрудно проверить, что s0(x) (1+x) = s(x). Также мы знаем, что s(0) = 1. Мы получили дифференциальное уравнение на функцию s, которое, как

будет доказано в курсе про дифференциальные уравнения, имеет одно решение s(x) = (1 + x) .

3

обладает свойством, она бесконечно гладкая и все ее производные в нуле существуют и равны нулю, тем не менее она не тождественная равна нулю.

4

Лекция 12 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

16 октября 2015 г.

Пример. Методом Абеля можно суммировать также и расходящиеся ряды. Например, ряд

1 1 + 1 1 +

превращяется в ряд 1 x+x2 x3 + = 1+1x . Подставляя x = 1, получаем, что ряд сходится к 1

2 .

Упражнение. Просуммировать методом Абеля ряд

1 2 + 3 4 +

и получить предел 1

4.

Записки могут содержать ошибки.

1

Системы Фурье.

Пусть H пространство со скалярным произведением, то есть

1)(x; y) = (y; x)

2)( x1 + x2; y) = (x1; y) + (x2; y)

3)8x 6= 0: (x; x) > 0.

Определение. Рассмотрим систему ненулевых векторов fengNn=1 H. Эта система называется ортогональный, если любые два различных векторов в ней являются ортогональными друг другу, то есть 8k 6= m: (ek; em) =

0.

NN

ãäå

(x; en) x^n = kenk2 :

Таким образом минимальное отклонение достигается, когда все xi совпада- þò ñ x^i.

Теорема (экстремальное свойство коэффициентов Фурье). Для любого набора коэффициентов f ngNn=1

NN

XX

причем равенство имеет место, если и только если все n = x^n.

2

Теорема (тождество Бесселя).

XX

Следствие (неравенство Бесселя).

N

X

x^2nkenk2 6 kxk2

n=1

Следствие. Если feng1n=1 ортогональная система, то для любого век-

òîðà x

1

X

x^2nkenk2 6 kxk2

n=1

Вывод: x^nkenk ! 0 ïðè n ! 1.

P1

Определение. Ряд n=1 x^nen называется рядом Фурье элемента x по ортогональной системе feng1n=1.

Определение. Система feng1n=1 называется замкнутой, åñëè 8x 2 H è 8" > 0 существуют N 2 N и 1; : : : ; N , ÷òî

Теорема. Если ортогональная система feng1n=1 замкнута, то для любого x 2 H ряд Фурье элемента x по нашей системе сходится к разлагаемому

элементу:

1

X

x^nen = x:

n=1

Зафиксируем произвольное " > 0. Найдем N 2 N, что 1; : : : ; N , ÷òî

3

Лекция 13 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

19 октября 2015 г.

Если есть пространство со скалярным произведением H и ортогональная система feng1n=1, то имеется сопоставление

N

X

x 7! nen;

n=1

ãäå n = x^n = (x;en)

(en;en) . Тогда

1

X

x 7! x^nen

n=1

NN

нуль, считаются одинаковыми.

Утверждение. Система

1; cos x; sin x; cos 2x; sin 2x; cos 3x; sin 3x; : : :

является ортогональной.