Молек. Термодин._практикум

гласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V .. Поэтому постоянная В будет одинаковой для всех идеальных газов. Данная постоянная обычно обозначается R и равна R =

Дж

8,31 моль К .

У р а в н е н и е К л а п е й р о н а - М е н д е л е е в а имеет следующий вид: p V . = R T.

От уравнения (1.7) для одного моля газа можно перейти к у р а в н е н и ю К л а п е й р о н а - М е н д е л е е в а д л я п р о и з в о л ь н о й м а с с ы г а з а :

где – молярная масса (масса одного моля вещества, кг/ моль); m масса

газа; m количество вещества.

Чаще пользуются другой формой уравнения состояния идеального газа,

Из этого выражения следует, что давление идеального газа прямо пропорционально концентрации его молекул или плотности газа. При одних и тех же температурах и давлениях все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м3 при нормальных условиях, на-

зывается ч и с л о м Л о ш м и д т а :

NL = 2,68 1025 м-3.

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

Важнейшей задачей кинетической теории газов является теоретический расчет давления идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов выводится с использованием статистических методов.

Предполагается, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, и эти соударения абсолютно упругие. На стенке

11

сосуда выделяют некоторую элементарную площадку S и вычисляют давление, которое будут оказывать молекулы газа на эту площадку.

Если рассмотреть сосуд в виде куба, в котором беспорядочно движется N молекул газа в шести направлениях, то несложно заметить, что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 количества всех молекул, причем половина из них (то есть. 1/6 количества всех молекул) движется в одну сторону, а вторая половина (тоже 1/6) в противоположную. При каждом соударении отдельная молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, отражаясь, передает ей импульс, при этом ее количество движения (импульс) меняется на величину

Р1=m0 v – (– m0 v) = 2 m0 v.

Число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку будет равно: N = 1/6 n Sv t. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

P= N P1 =2 m0 v 16 n S v t= 13 m0 v 2 n S t,

где n – концентрация молекул. Тогда давление, которое газ оказывает на стенку сосуда, будет равно:

Однако молекулы газа движутся с различными скоростями: v1, v2, …,vn, поэтому скорости необходимо усреднить. Сумма квадратов скоростей движения молекул газа, делённая на их количество, определяет среднеквадратичную скорость:

12

Учитывая, что n VN , получим:

где Е – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа. Следовательно, давление газа прямо пропорционально кинетической энергии поступательного движения молекул газа.

Для одного моля газа m = , и уравнение Клапейрона-Менделеева имеет следующий вид:

p V . = R T ,

и так как из (1.11) следует, что p V . = 13 v кв 2 , получим :

RT = 13 v кв 2 .

Отсюда средняя квадратичная скорость молекул газа равна

где k = R / NA = 1,38 10-23 Дж/К – постоянная Больцмана. Отсюда можно найти среднюю квадратичную скорость молекул кислорода при комнатной температуре – 480 м/с, водорода – 1900 м/с.

МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕМПЕРАТУРЫ

Температура является количественной мерой «нагретости» тела. Для выяснения физического смысла абсолютной термодинамической температуры Т сопоставим основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов (1.14) с уравнением Клапейрона-Менделеева p V = R T.

Приравняв правые части этих уравнений, найдем среднее значение кинетической энергии 0 одной молекулы ( = N/NA, k = R/NA):

Из этого уравнения следует важнейший вывод молекулярно-

кинетической теории: средняя кинетическая энергия поступательного дви-

жения одной молекулы идеального газа зависит только от температуры, при этом она прямо пропорциональна термодинамической температуре.

Таким образом, термодинамическая шкала температур приобретает непосредственный физический смысл: при Т = 0 кинетическая энергия молекул идеального газа равна нулю. Следовательно, исходя из этой теории, поступательное движение молекул газа прекратится и его давление станет равным нулю.

13

ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНЫХ СВОЙСТВ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Ч и с л о с т е п е н е й с в о б о д ы м о л е к у л . Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов приводит к весьма важному следствию: молекулы газа совершают беспорядочное движение, причем средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы определяется исключительно температурой.

кинетических э н е р г и й в р а щ е н и я и к о л е б а н и я молекул. Для того, чтобы подсчитать энергию, идущую на все виды движения молекул, необходимо дать определение ч и с л у с т е п е н е й с в о б о д ы .

Под ч и с л о м с т е п е н е й с в о б о д ы ( i ) тела подразумевается число независимых координат, которые необходимо ввести для определения положения тела в пространстве.

Например, материальная точка обладает тремя степенями сво-

боды, так как ее положение в пространстве определяется тремя координатами:

х, у и z. Следовательно, одноатомная молекула обладает тремя степенями свободы поступательного движения.

Двухатомная молекула имеет 5 степеней свободы (рис. 1.4): 3 степени свободы поступательного движения и 2 степени свободы вращательного движения.

Молекулы из трех и более атомов имеют 6 степеней свободы: 3 степени свободы поступательного движения и 3

степени свободы вращательного движения (рис. 1.5).

Каждая молекула газа обладает определенным числом степеней свободы, три из которых соответствуют ее поступательному движению.

ПОЛОЖЕНИЕ О РАВНОРАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ

Основной предпосылкой молекулярно-кинетической теории газов является предположение о полной беспорядочности движения молекул. Это относится

14

и к колебательному, и к вращательному движениям, а не только поступательному. Считается, что все направления движения молекул в газе равновероятны. Поэтому можно предположить, что на каждую степень свободы молекулы в среднем приходится одно и то же количество энергии – это есть положение о равнораспределении энергии по степеням свободы. Энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы, равна:

Если молекула обладает i степенями свободы, то на каждую степень свободы приходится в среднем:

ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Если отнести полный запас внутренней энергии газа к одному молю, то получим ее значение, умножив на число Авогадро:

Отсюда следует, что внутренняя энергия одного моля идеального газа зависит только от температуры и числа степеней свободы молекул газа.

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА

Р а с п р е д е л е н и е м о л е к у л и д е а л ь н о г о г а з а п о с к о р о с т я м и э н е р г и я м т е п л о в о г о д в и ж е н и я ( р а с п р е д е л е н и е М а к с в е л -

л а ) . При постоянной температуре газа все направления движения молекул предполагаются равновероятными. В этом случае средняя квадратичная скорость каждой молекулы остаётся постоянной и равна

Это объясняется тем, что в идеальном газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям. Это распределение подчиняется определенному статистическому закону, который теоретически вывел Дж. Максвелл. Закон Максвелла описывается функцией

f (υ) dN (υ) ,

Ndυ

то есть функция f(v) определяет относительное число молекул dN (υ) , скорости

N

которых лежат в интервале от v до v + dv. Применяя методы теории вероятно-

15

Функция распределения в графическом виде представлена на рис. 1.6. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это значит, что функция f(v) удовлетворяет условию нормировки:

f (υ)dυ 1.

0

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям f (v) максимальна, называется н а и б о л е е в е р о я т н о й скоростью vB.

Рис. 1.6. Распределение молекул идеального газа по скоростям

Значения v = 0 и v = соответствуют минимумам выражения (1.15). Наиболее вероятную скорость можно найти, продифференцировав выражение (1.23) и приравняв его к нулю:

υB 2kT / m0 = 2RT / = 1,41 RT /

При увеличении температуры максимум функции сместится вправо (рис.1.6), то есть при увеличении температуры увеличивается и наиболее вероятная скорость, однако, ограниченная кривой площадь остаётся неизменной. Следует заметить, что в газах и при небольших температурах всегда присутствует небольшое количество молекул, которые движутся с большими скоростями. Наличие таких «горячих» молекул имеет большое значение при протекании многих процессов.

С р е д н я я а р и ф м е т и ч е с к а я с к о р о с т ь молекулы определяется по формуле

16

Отношение этих скоростей не зависит ни от температуры, ни от вида газа.

Ф у н к ц и я р а с п р е д е л е н и я м о л е к у л п о э н е р г и я м т е п -

л о в о г о д в и ж е н и я . Эту функцию можно получить, подставив в уравнение распределения молекул (1.15) вместо скорости значение кинетической энергии:

получим с р е д н ю ю к и н е т и ч е с к у ю э н е р г и ю молекулы идеального газа:

23 kT .

Б а р о м е т р и ч е с к а я ф о р м у л а . Р а с п р е д е л е н и е Б о л ь ц м а -

н а . При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и распределения Максвелла молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы идеального газа не действуют внешние силы, поэтому молекулы равномерно распределены по всему объему. Однако молекулы любого газа находятся в поле тяготения Земли. При выводе закона зависимости давления от высоты, предполагается, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова:

позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, можно найти высоту. Так как h1 – это высота над уровнем моря, где давление считается нормальным, то выражение можно модифицировать:

g h

p p0e RT .

Барометрическую формулу можно преобразовать, если воспользоваться выражением р = nkT:

17

П

n n0e k T ,

которое называется р а с п р е д е л е н и е м Б о л ь ц м а н а .

Лабораторная работа 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ БОЛЬЦМАНА

Ц е л ь р а б о т ы : 1 экспериментально подтвердить зависимость давления газа от концентрации молекул при постоянной температуре газа; 2 определить постоянную Больцмана.

М е т о д и к а э к с п е р и м е н т а

Давление газа пропорционально концентрации молекул n и термодинамической температуре Т газа см. формулу (1.8) :

p k n T ,

где k постоянная Больцмана.

Если изменить концентрацию молекул на величину n при неизменной температуре газа, то давление газа изменится на величину p:

p k T n .

Изменение давления газа при постоянной температуре пропорционально изменению концентрации молекул газа.

Целью работы является экспериментальное подтверждение зависимости (1.34) при Т = const и определение постоянной Больцмана.

Используемая в лабораторной работе установка (рис. 1.8) состоит из сосуда С, объем которого VC известен; шприца Ш; U-образного водяного манометра М и крана К. Резиновый шланг 1 соединяет сосуд с одним из колен манометра, шланг 2 соединяет шприц (через кран) с сосудом.

18

нии 1 , в шприц из атмосферы набирают определенный объем VШ воздуха. При этом температура Т воздуха в сосуде и шприце равна температуре воздуха в аудитории. Давления воздуха в шприце и в сосуде будут равны атмосферному р = рА. Разность уровней жидкости в коленах манометра равна нулю. Число молекул N, находящихся в объеме VШ шприца:

где число молей воздуха; NА – число Авогадро; Vш,0 – объем, который занимал бы воздух в шприце при нормальных условиях; V ,0 = 22,4 л – объем одного моля газа при нормальных условиях (см. приложение).

Определим, каким был бы объем воздуха в шприце при нормальных условиях. Для этого запишем уравнение состояния газа см. формулу (1.6) :

где р0 = 1,01 105 Па; Т0 = 273К – давление и температура газа при нормальных условиях.

Подставив последнее выражение в уравнение (1.17), получим:

Повернув рукоятку крана в положение 2 и, переводя газ из шприца в сосуд, увеличиваем концентрацию газа в сосуде на величину n:

19

( р = n k T) на величину р. В связи с этим высота столбика жидкости в колене манометра, соединенном с сосудом, уменьшится, а в другом – увеличится. Разность давлений найдем по формуле:

П о р я д о к в ы п о л н е н и я р а б о т ы

1.Поставить кран К в положение 1 . Набрать в шприц воздух объемом Vш = 10 см3. Перевести кран в положение 2 .

2.Ввести воздух из шприца в сосуд. Рукоятку крана перевести в положение3 , повернув ее по часовой стрелке на 90 .

3.Подождать 1 – 1,5 минуты, пока прекратится перемещение жидкости в коленах манометра. Измерить по шкале манометра М высоты уровней жидкости h1 и h2. Результаты измерений занести в таблицу 1.1.

4.Оставить кран в положении 3 . Набрать в шприц воздух объемом Vш = 10 см3. Перевести кран в положение 2 . Ввести воздух из шприца в сосуд. Вернуть кран в положение 3 . Таким образом, в сосуд уже будет введено 20 см3 воздуха.

5.Подождать 1 – 1,5 минуты, пока прекратится перемещение жидкости в коленах манометра. Измерить по шкале манометра М высоты уровней жидкости h1 и h2. Результаты измерений занести в таблицу 1.1.

6.Повторить пункты 4, 5 два раза. При этом в сосуд уже будет введено соответственно 30 см3, затем 40 см3 воздуха.

7.По шкале барометра определите величину атмосферного давления р.

8.По шкале термометра определите температуру воздуха в аудитории Т.

20