Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

Система нелинейных уравнений решается методом Ньютона аналогично.

Пусть дана система нелинейных уравнений

f₁(х₁, . . .,х_n)=0;

f₂(x₁, . . .,х_n)=0;

… … …;

f_n(х₁, . . . ,х_n)=0.

Эта система заменяется системой линеаризованных уравнений

;

;

… … … … … ;

.

Вматричном виде система (2) записывается

…∆х₁f₁(х₁,х₂, …,х_n)

…х ∆х₂=f₂(х₁,х₂, …,х_n)

… … … … … …

…∆х_nf_n(х₁,х₂, …,х_n)

или в общем матричном виде

, (8)

где - матрица Якоби; ∆х– вектор-столбец поправок;F(х) – вектор-столбец невязок.

Данная система линейных уравнений может быть решена любым известным численным методом (например, методом Гаусса).

Алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит из следующих действий:

1. Зададим начальные приближения ,, …,.

2. Вычислим невязки f₁(х₁,х₂, …,х_n),f₂(х₁,х₂, …,х_n), …,f_n(х₁,х₂, …,х_n).

3. Вычислим все элементы матрицы частных производных прих₁=,х₂=, …,х_n=.

4. Найдем поправки ,, …,

Для этого решим систему линейных уравнений

численным методом относительно поправок ∆х⁽¹⁾.

5. Определим новые приближения

6. Вычислим невязки f₁(х₁,…,х_n),f₂(х₁,…,х_n), …,f_n(х₁,…,х_n)

7. Проверим условия

|f₁(х₁,…,х_n)|≤ε₁;

|f_n(х₁,…,х_n) )|≤ε_n.

Если не выполняется хотя бы одно из nусловий, то производим следующую итерацию – повторяем действия 3-7, уже используя полученные значения,, …,. Итерационный процесс нахождения корней системы нелинейных уравнений будем продолжать до выполнения всех условий без исключения.

Метод Ньютона эффективен в том случае, когда известны хорошие начальные приближения неизвестных, достаточно близкие к корням системы нелинейных уравнений. Это условие в наших задачах, как правило, удается выполнить.

Пример: нужно решить систему нелинейных уравнений

(при ε=0,01)

0 итерация1.; 2.;

1 итерация

1.

2. х=или;

Отсюда ;.

3. ;

.

4. ; |0,01667|>ε

; |0,114|>ε

2 итерация

1.

2. х=;

3. ;

;

4. 0,0002714<ε

0,0000071<ε

Результаты расчетов сведем в таблицу

№ итерации		∆х		хк		f(к)
0	-	-		0	0	9	1
1		0,1667	-1,125	-0,1667	1,125	0,01667	0,114
2		-0,0191	-0,0016	-0,1476	1,1266	0,0002714	0,0000071

55