Лабораторная работа №10. Свободные и вынужденные колебания в системе с двумя степенями свободы

Цель работы – изучение свободных колебаний в системе с двумя степенями свободы, исследование явления резонанса в системе связанных маятников под действием внешней вынуждающей гармонической силы.

Оборудование.В работе применяется установка для исследования колебаний несвободной системы, состоящей из двух связанных маятников.

Рис. 11. Установка для изучения связанных колебаний и резонанса.

Прибор показан на рис. 11. В его основании установлена колонна (2) с верхней втулкой (3), в нижней ее части установлен кронштейн (4). Верхняя втулка удерживает стержень (5) с тремя подвесками (6). На подвесках с помощью шариковых подшипников укреплены два маятника и подвижный стержень (7), приводящий их в движение. Каждый из маятников состоит из тонкого стержня (8) и груза (9). Маятники соединены между собой посредством двух пружин, закрепленных в С-образной обойме. Второй маятник соединен с подвижным стержнем при помощи двух других пружин. На вале электродвигателя закреплен вращающийся диск. Он возбуждает колебания стержня (7). На нижнем кронштейне укреплена угловая шкала для определения амплитудных углов отклонения маятников, а также фотоэлектрический датчик, регистрирующий колебания одного из маятников.

Теория эксперимента. Любое повторяющееся движение можно рассматривать как результат наложения простых гармонических колебаний, когда положение системы x меняется по закону:

. (1)

Функции, вида (1) играют важную роль в механике, в акустике, а также в электричестве, теории волн и физике твердого тела. Между атомами кристаллической решетки действуют силы притяжения и отталкивания, смещение одного атома приводит к изменению положения других. Их движение можно рассматривать как движение большого числа связанных между собой осцилляторов. Простейшим примером связанной системы является система двух связанных маятников. Каждый из маятников совершает движение в некоторой плоскости. Для описания его движения требуется знать один параметр – угол отклонения от положения равновесия. Положение каждого маятника описывает одна переменная. Одиночный математический маятник - это система с одной степенью свободы. Для двух маятников необходимо знать зависимости от времени двух углов отклонения, то есть, для описания системы необходимы две переменные и два уравнения. Число степеней свободы системы определяется минимальным числом уравнений, необходимых для ее описания. Мы будем рассматривать связанную систему двумя степенями свободы: два математических маятника, связанные между собой пружинами, колеблются в двух параллельных плоскостях. Из уравнения динамики вращательного движения следует для математического маятника длины l:

. (2)

Если груз, подвешенный на стержне, считать материальной точкой, его момент инерции можно считать равным моменту инерции материальной точки:

. (3)

Тогда получим уравнение для гармонического осциллятора:

. (4)

Функция представима в виде:, поэтому уравнение (4) можно записать в виде:

, (5)

где . В настоящей работе маятники будут связанными. Со стороны пружин, прикрепленных к каждому, на другой будет действовать дополнительная сила упругости:

. (6)

Здесь l₁- расстояние от точки подвеса до места крепления пружин к маятникам. Моменты внешних сил учтем в уравнениях движения:

(7)

Если углы малы, то мы можем использовать записанное разложение для синуса, для косинуса же справедливо другое разложение:

(8)

Тогда система уравнений движения (7) принимает вид:

(9)

Чтобы найти решение системы, введем новые углы:

(10)

Для новых переменных уравнения движения примут вид:

(11)

Мы получили два независимых уравнения. Каждое из них является уравнением гармонического осциллятора. Подстановкой можно проверить, что решение системы будет иметь вид:

(12)

Частоты изменения функций определяются соотношениями:

(13a)

. (13б)

- начальные фазы колебаний. Они определяются начальными условиями. Функциимогут быть найдены из системы уравнений:

(14)

Для этого сначала сложим почленно два уравнения системы, а затем вычтем из первого уравнения второе. Тогда запишутся в виде:

(15)

Амплитуды могут быть найдены из начальных условий. Рассмотрим конкретные случаи.

Допустим, в начальный момент времени мы отклонили первый маятник на угол , а второй оставили в положении равновесия. Значит, нам известны углы отклонения маятников в начальный момент времени:

(16)

Энергия первого маятника в начальный момент времени будет равна сумме потенциальной энергии растянутой пружины и потенциальной энергии тела в поле силы тяжести Земли. Кинетическая энергия первого маятника в начальный момент времени будет равна нулю, поэтому скорость первого маятника при t=0будет равна нулю. Скорость второго маятника в начальный момент времени также будет равна нулю:

(17)

Из систем (16) и (17) следует, что

,. (18)

Угол отклонения первого маятника будет меняться по закону:

. (19)

Угол отклонения второго маятника будет таким:

. (20)

Рассмотрим другой случай. Отклоним в момент времени t=0два маятника на один и тот же угол. Получим две системы уравнений для нахождения неизвестных амплитуд и начальных фаз:

(21)

(22)

Найдем их решения:

, ,. (23)

Углы отклонения каждого из маятников из положения равновесия будут меняться по закону:

(24)

Частоты колебаний маятников в этом случае будут совпадать, и определяться формулой (13а). Пружины в этом случае не будут растягиваться и не повлияют на частоту колебаний маятников. В этом можно убедиться и на опыте. Движение маятников, вида (24) называются синфазными. Колебания будут противофазными, если в начальный момент времени отклонить маятники на равные по абсолютному значению, но противоположные по знаку углы:

. (25)

Тогда , ,, а углы меняются по закону:

(26)

Пусть на первый маятник действует внешняя сила. Она вызвана растяжением и сжатием второй пары пружин, прикрепленных к стержню на расстоянии l₂от точки подвеса. Момент этой силы зависит от времени по гармоническому закону:

. (27)

В этом случае уравнения движения примут вид:

(28)

В уравнениях движения мы пренебрегли силами трения в подшипниках и сопротивления воздуха. Несмотря на то, что эти силы малы, со временем собственные колебания системы с частотами (13а-б) затухают и остаются только колебания с частотой вынуждающей силы, равной p. Разделим уравнения системы (28) на. Система перепишется в виде:

(29)

Чтобы найти решение системы (29), снова введем функции . Для новых функций получим уравнения (для этого применим тот же прием, что и при выводе формулы (11)):

(30)

Пусть в системе установились вынужденные колебания и функции меняются по закону:

(31)

Подставим эти решения в систему (30) и найдем коэффициенты C₁иC₂:

(32)

Функции примут вид:

, (33)

(34)

Амплитуда колебаний возрастает, когда частота вынуждающей силы совпадает с одной из собственных частот колебаний маятников (13а-б). Это явление называется резонансом. Если верить формулам (33), амплитуда колебаний маятников, когда частота внешней силы равна или, должна быть бесконечной. Однако, при выводе формул, мы не учли влияние затухания и особенности конструкции лабораторной установки. В эксперименте амплитуда колебаний будет ограниченной.

Ход работы

Прибор готов к работе непосредственно после включения сетевого напряжения и не нуждается в прогреве. Чтобы в процессе измерений установка работала плавно и ритмично:

1. проверьте выравнивание прибора при помощи уровня, если это необходимо, установите его горизонтально, подкручивая ножки,

2. включите прибор в электросеть,

3. нажмите клавишу «сеть» и проверьте, все ли индикаторы высвечивают цифру «ноль», а также светится ли лампочка фотоэлектрического датчика;

4. проверьте, находятся ли стержни маятников в одинаковой плоскости, или имеют ли все четыре пружины одинаковый масштаб;

5. включите питание двигателя, плавно вращая ручку потенциометра, проверьте, работает ли двигатель, колеблются ли маятники.

Определение частоты синфазных и противофазных колебаний

1) установите обоймы, крепящие пружины на верхней части стержней маятников, а грузы на нижней части стержней для обоих маятников на одинаковом расстоянии от точек подвеса маятников, чтобы у маятников были одинаковые грузы, длины и пружины;

2) отсоедините пружины, от С – образной обоймы, соединяющей маятники со стержнем, возбуждающим колебания;

3) нажмите кнопку «сеть» отклоните маятники в одну сторону на угол около 6⁰и отпустите,

4) нажмите переключатель «сброс»,

5) после примерно 10 колебаний системы нажмите клавишу «стоп»,

6) рассчитайте период колебаний маятников по формуле:

, (35)

и угловую частоту по формуле:

. (36)

7) снова нажмите клавишу «сброс», отклоните маятники в противоположные стороны на 6⁰и отпустить,

8) позвольте системе совершить около 10 колебаний и нажмите клавишу «стоп»,

9) рассчитать период и частоту колебаний .

Наблюдение резонанса под действием внешней вынуждающей силы

1. закрепите пружины к обойме, сопрягающей маятники со стержнем, возбуждающим колебания,

2. включите питание двигателя,

3. регулируя обороты двигателя, пронаблюдайте изменения амплитуды колебаний маятников вблизи частот и;

4. для различных значений частоты двигателя измеряйте время 10 колебаний; рассчитайте период колебаний и частоту и амплитуду запишите в таблицу 1:

Таблица 1

T	T1	T2	T3				T15	T16
p				…	…	…
αmax

Обработка результатов

Постройте экспериментальный график зависимости амплитуды колебаний от частоты внешней гармонической силыp. На графике обозначьте частоты синфазных и противофазных колебаний.

Контрольные вопросы

1. Запишите уравнение затухающих колебаний.

2. Постройте графики функций (19) и (20).

3. Почему не совпадают частоты синфазных и противофазных колебаний? При каких условиях они будут совпадать?

4. По формулам (33) и (34) построить график зависимости амплитуды колебаний от частоты p внешней гармонической силы. Возможны ли такие колебания в лабораторной установке? Почему?

5. В чем заключается явление резонанса?

6. Запишите систему уравнений (28), учитывая моменты сил сопротивления воздуха и трения.

7. Запишите систему (9) для больших углов отклонения.

8. Запишите систему уравнений (28) для больших углов отклонения.

9. Получите формулы (26) для противофазных колебаний.

10. Что такое биения? Какие функции их описывают. Постройте их графики.

11. Назовите причины погрешностей измерений в работе.

12. Почему максимумы резонансной кривой не совпали с частотами и?

Литература: [1] - §21, 34, [2] - § 39-41, [3] - § 90, [11] – глава 7