Лабораторная работа №7. Изучение колебаний физического маятника

Цель работы - изучение свободных колебаний физического маятника, исследование зависимости частоты и периода колебаний от расстояния между точкой его подвеса и центром масс, изучение затухающих колебаний, обработка результатов измерений и расчет погрешностей.

Оборудование.В измерениях применяется лабораторная установка «универсальный маятник», линейка, рулетка. В основание прибора вмонтирована вертикальная колонна, в ее верхней части установлен кронштейн, в котором имеются вкладыши для закрепления опорной призмы. В качестве физического маятника используется стальной стержень (рис. 4). На стержне через каждые 10мм выполнена кольцевая нарезка, служащая для точного определения длины маятника и надежной фиксации опорных призм. На нижнем кронштейне вертикальной колонны прикреплен фотоэлектрический элемент, свет от его лампочки попадает на фототранзистор. Когда стержень в первый раз пересекает луч света, датчик генерирует электрический импульс, который означает начало движения. Такие импульсы генерируются при каждом прохождении стержнем датчика. Электронная схема их усиливает и подает к входу секундомера. Отсчет времени начинается с первым из них. Схема различает четные и нечетные импульсы: нечетные означают, что от начала движения прошло полное число периодов колебаний. Если во время движения нажать кнопку «стоп», таймер дождется первого нечетного импульса, тогда электронном табло останется число полных периодов, совершенных маятником и их время.

Теория эксперимента. Вывод уравнения колебаний физического маятника можно проделать, если использовать уравнение динамики вращательного движения (см. [11]):

, (1)

где - момент импульса физического маятника,- момент внешней силы. Физический маятник представляет собой однородный металлический стержень длиныl. Пусть стержень совершает колебания в плоскости YOZ, а ось вращения AB параллельна оси OX. Уравнение моментов относительно неподвижной оси AB имеет вид:

. (2)

Вывод уравнения колебаний физического маятника приведен в работе №6, оно имеет вид:

, (3)

где a – расстояние между двумя параллельными осями вращения, одна из осей проходит через центр масс, а вторая через точку подвеса, θ – угол отклонения стержня. Пусть J₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, тогда, согласно теореме Гюйгенса-Штейнера, момент инерции J относительно другой, параллельной ей оси, проходящей на расстоянии a, будет равен:

, (4)

При малых углах отклонения θ можно заменить наθ. Уравнение (3) примет вид:

. (5)

Рис. 5. Стержень длины lсовершает колебания в плоскостиyOz. Расстояние от точки подвеса до центра масс равноa. Проекция момента силы тяжестив направлении осиOXравна.

Перепишем уравнение (5) в виде:

. (6)

Уравнение (6) является дифференциальным уравнением движения гармонического осциллятора. Если выполнить подстановку, то можно убедиться, что его решением являются функции и. Маятник будет двигаться по гармоническому закону с собственной циклической частотой, вычисляемой по формуле:

. (7)

Момент инерции однородного тонкого стержня, относительно оси вращения, перпендикулярной ему, и проходящей через его центр масс, вычисляется по формуле:

. (8)

Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера, с учетом (8), формула (4) примет вид:

. (9)

С учетом последнего выражения для момента инерции стержня, найдем циклическую частоту колебаний:

, (10)

а период колебаний будет рассчитываться по формуле:

. (11)

Здесь – период колебаний математического маятника длиныl. В формуле (11) введен безразмерный параметр . Расстояниеa от точки подвеса до центра масс, равное:

. (12)

называется радиусом инерции маятника. Если на расстоянии a₀ от центра масс стержня закрепить опорную призму и подвесить, то период совершаемых им колебаний будет минимальным. Для физического маятника можно подобрать математический маятник такой длины l, чтобы их периоды колебаний совпали. Ее называют приведенной или эффективной длиной физического маятника и вычисляют по формуле:

. (13)

Точка, расположенная на расстоянии от точки подвеса маятника называется его центром качаний. Период маятника длиныбудет равен:

. (14)

Центр качания и точка подвеса взаимно обратимы. Это означает, что если установить две опорные призмы: одну на расстоянии a, а вторую на расстоянии, зависящее отa, от центра масс, и подвесить его сначала за одну призму, а затем за другую, то периоды колебаний будут равными.

В наших рассуждениях мы исходили из уравнения колебаний физического маятника (6), которое является приближенным. При выводе были сделаны некоторые допущения. Первое из них состоит в том, что амплитуды колебаний считаются малыми и изохронными, то есть период не зависит от амплитуды. Если же угол отклонения не удовлетворяет условию , то период колебаний будет зависеть от амплитуды. Второе допущение состоит в пренебрежении моментом сил трения. Если его учитывать, то колебания будут затухающими. Уравнение движения маятника при наличии затухания имеет вид:

. (15)

Здесь - собственная циклическая частота,β – коэффициент затухания. Решениями уравнения (15) являются функции, вида:

. (16)

Величина A является амплитудой колебаний в начальный момент времени; - начальная фаза колебаний. Циклическая частота колебанийω определяется собственной частотой и коэффициентом затухания:

. (17)

Третье допущение состоит в пренебрежении массой подвижной опорной призмы. Если учесть ее массу, то центр масс маятника не будет совпадать с центром масс стержня. В этом случае график экспериментальной зависимости T(a), будет отличаться от графика функции (11).