ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н. М. Моисеева

Общий физический практикум по

Механике

Часть II

Методическое пособие

В

олгоград 2008

УДК 530.1

ББК 22.3

М74

Рецензенты:

Моисеева Н.М.
Общий физический практикум по механике. Часть II. [Текст]: методическое пособие / Н. М. Моисеева. – Волгоград: Издательство Волгоградского государственного университета, 2008.- 47 с.
Методическое пособие «Общий физический практикум по механике» предназначено для студентов первого курса физического факультета. Вторая часть содержит указания для пяти работ по разделу «Механические колебания». Текст указаний для каждой работы состоит из описания оборудования, теоретического материала, включающего постановку задачи и вывод уравнений движения, задание для экспериментальной части и обработки результатов, контрольные вопросы и ссылки на литературные источники для детального изучения материала.
	УДК 530.1 ББК 22.3 М74
	© Н. М. Моисеева, 2008 © Издательство Волгоградского государственного университета, 2008

Содержание

Содержание 3

4. Механические колебания 4

Лабораторная работа №6. Изучение колебаний математического маятника 4

Лабораторная работа №7. Изучение колебаний физического маятника 12

Лабораторная работа №8. Определение ускорения свободного падения методом оборотного маятника 20

Лабораторная работа №9. Наклонный маятник 26

Лабораторная работа №10. Свободные и вынужденные колебания в системе с двумя степенями свободы 36

Список литературы 46

Приложение. Таблица коэффициентов Стьюдента 47

4. Механические колебания Лабораторная работа №6. Изучение колебаний математического маятника

Цель работы - изучение свободных колебаний математического маятника, оценка применимости данной модели к маятнику физическому, определение ускорения свободного падения, обработка результатов измерений и расчет погрешностей.

Оборудование. В работе используется лабораторная установка «универсальный маятник», линейка, штангенциркуль. Основная часть установки изображена на рис. 1.

Вертикальная колонна лабораторной установки заканчивается кронштейном, который может поворачиваться на 360⁰. В нем имеется вороток, регулирующий длину нити; для ее измерения на колонне нанесена шкала. Металлический шарик, подвешенный на нити, совершает колебания. К нижнему кронштейну прикреплен фотоэлектрический датчик, соединенный с электронным секундомером; принцип его работы очень простой: от лампочки датчика световой поток падает на фототранзистор; когда маятник впервые пересекает луч света, поток излучения прерывается, и датчиком вырабатывается импульс, свидетельствующий о начале движения. В этот момент начинается отсчет времени. Электронная схема различает четные и нечетные импульсы, поэтому если нажать кнопку «стоп», таймер дождется завершения последнего периода колебаний, и остановится. Тогда на электронном табло высветится число полных периодов колебаний, совершенных маятником, и время движения.

Теория эксперимента. Для вывода уравнения колебаний физического маятника – шарика, радиуса R, подвешенного на нити, будем исходить из уравнения динамики вращательного движения [11]:

, (1)

где - момент импульса шарика, закрепленного на невесомой нити,- момент внешней силы. Физический маятник представляет собой однородный шарик, радиусаR, закрепленный на нижнем конце невесомой нити длины l. Введем систему координат, связанную с маятником. Начало координат поместим в точку положения равновесия шарик, тогда точка подвеса нити будет иметь координату (0; 0; l). Оси координат направим таким образом, чтобы движение маятника происходило в плоскости YOZ, перпендикулярной оси OX. Ось вращения маятника параллельна оси OX и проходит через точку подвеса. Векторы момента импульса и момента силы также параллельны оси OX и направлены в противоположные стороны. В проекциях уравнение (1) будет иметь вид:

. (2)

На шарик действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити, которая параллельна нити, а значит и вектору, соединяющему ось вращения с шариком, и ее момент равен нулю. Момент вращения, создаваемый силой тяжести относительно точки подвеса, по определению, равен:

. (3)

Его проекция на ось вращения будет иметь вид:

, (4)

где θ – угол отклонения маятника. При расчете момента импульса физического маятника придется учитывать его форму и размеры. Тело, совершающее колебания, представим как совокупность материальных точек. Момент импульса i – й материальной точки массой , равен

. (5)

Здесь - вектор, перпендикулярный оси вращения, проведенной от оси вращения кi- й точке тела. Рассчитаем проекцию на ось вращения:

. (6)

В последней формуле раскроем двойное векторное произведение, получим:

. (7)

Здесь J – момент инерции тела относительно неподвижной оси. Если известен момент инерции J₀ тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то, согласно теореме Гюйгенса-Штейнера, момент инерции J относительно другой, параллельной ей оси, будет вычисляться по формуле:

, (8)

где l – расстояние между двумя параллельными осями: осью, проходящей через точку подвеса и осью, проходящей через центр масс (например, осью OX в момент прохождения маятником положения равновесия).

Рис. 2. Маятник колеблется в плоскости y0z. На шарик массы m действуют сила тяжести и сила упругости нити. Проекция момента силы на осьOX равна .

Подставим правые части уравнений (4) и (7) в формулу (2), получим:

. (9)

При малых углах отклонения ≈θ, тогда уравнение (9) примет вид:

. (10)

Мы получили дифференциальное уравнение, которое описывает движение гармонического осциллятора. Изучение методов решения подобных уравнений выходит за пределы курса механики. Однако, можно убедиться, что функции вида являются решениями уравнения (8). Для этого надо подставить их в уравнение и, если получится тождество, значит, они являются его решениями. Величинаназывается циклической или круговой частотой осциллятора. Она определяется, и в этом также можно убедиться путем подстановки, по формуле:

. (11)

Амплитуда колебаний связана с величинами A и B: ; значения трех этих величин могут быть получены из начальных условий. Дальше будет показано, что момент инерции однородного шара относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, рассчитывается по формуле:

. (12)

Согласно формуле (12) и теореме Гюйгенса-Штейнера, момент инерции шара, закрепленного на невесомой нити или стержне длины l относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса, имеет вид:

. (13)

Если радиус шара R - мал, тогда первым слагаемым можно пренебречь, в этом случае маятник можно считать математическим, а уравнение совершаемых им колебаний (9) преобразовать к виду:

. (14)

Тогда циклическая частота колебаний маятника запишется в виде:

, (15)

а период колебаний будет вычисляться по формуле:

. (16)

Уравнение движения (10) и его упрощенная форма (14), циклическая частота и период математического маятника были получены в предположении, что сила сопротивления воздуха отсутствует. Если учесть момент силы вязкого трения шарика о воздух, то уравнение движения (14) примет вид:

. (17)

Здесь - собственная частота осциллятора,β – коэффициент затухания. Решениями уравнения (17) являются функции, вида:

. (18)

Величина A является амплитудой колебаний в начальный момент времени; - начальная фаза колебаний. Циклическая частота колебанийω определяется собственной частотой осциллятора и его коэффициентом затухания:

. (19)

График функции (18) приведен на рис. 13 в лабораторной работе № 4 части I. Период затухающих колебаний также будет зависеть от коэффициента затухания β:

. (20)

Важной характеристикой осциллятора является добротность Q. Она представляет собой умноженное на 2π отношение энергии системы E к среднему значению энергии , теряемому за один период:

. (21)

Для слабозатухающего гармонического осциллятора добротность может быть рассчитана по формуле, полученной в работе [11]:

. (22)

Введем τ – время релаксации системы, то есть промежуток, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e=2,718281... раз.

. (23)

Если за время τ произойдет N колебаний, тогда, с учетом (22) формулу для добротности можно переписать в виде:

. (24)