Лабораторная работа №8. Определение ускорения свободного падения методом оборотного маятника

Цель работы: изучение колебаний оборотного маятника, расчет ускорения свободного падения, нахождение положения центра масс оборотного маятника, оценка погрешностей измерений.

Оборудование. В данной лабораторной работе используется лабораторная установка «универсальный маятник». В ее комплект входят детали для сборки оборотного маятника, изображенного на рис. 7. На металлическом стержне закрепляются две легкие опорные призмы B₁ и B₂, положение первой из которых не рекомендуется менять, а вторая в ходе работы будет перемещаться по стержню. Также на стержне закреплены две чечевицы C и D, их положение в эксперименте остается неизменным. Центр масс маятника обозначен на рисунке точкой O. Время колебаний маятника измеряется с помощью электронного блока. Включение блока осуществляется нажатием клавиши «сеть». Подвесим и отклоним маятник. Нажмем клавишу «сброс». При первом прохождении положения равновесия, стержень пересечет луч света в фотоэлектрическом датчике, электронная схема выработает импульс, включится секундомер, и начнется отсчет времени. Импульсы вырабатываются при каждом прохождении стержнем положения равновесия. Схема различает четные и нечетные импульсы, так что секундомер может остановиться только после нечетного импульса, когда произойдет полное число периодов. Секундомер и счетчик периодов продолжают работать до первого нечетного импульса после нажатия клавиши «стоп».

Теория эксперимента. Движение любого физического маятника, если пренебречь силой сопротивления воздуха и силой трения, можно описать с помощью уравнения:

. (1)

Величина ω₀ называется циклической или круговой частотой маятника. Она связана с моментом инерции маятника J и расстоянием a от центра масс маятника до его оси вращения формулой:

. (2)

Уравнение (1) является дифференциальным, методы решения таких уравнений изучаются на старших курсах, но путем подстановки можно убедиться, что функции являются его решениями. Эти функции являются периодическими с периодомT. Если точно измерить период колебаний физического маятника произвольной формы, то можно определить ускорение свободного падения в любой точке Земли. Измерения будут основаны на зависимости периода колебаний маятника T от величины ускорения свободного падения g по формуле:

. (3)

Здесь J- момент инерции маятника относительно точки подвеса, J₀ – момент инерции маятника относительно центра масс, J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса на расстоянии a от центра масс, m – масса маятника. Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера

. (4)

Применение формулы (3) не удобно тем, что она содержит момент инерции физического маятника, который не всегда известен. Метод оборотного маятника лишен этого недостатка.

В нем используется характер зависимости периода колебаний от расстояния a между точкой подвеса и центром масс. Если уменьшать расстояние a, подвешивая маятник в окрестности центра масс, то период колебаний будет расти, и если , колебания станут невозможными, период будет бесконечным:, потому что маятник «застынет» в состоянии равновесия. Если увеличить значениеa, то период колебаний сначала будет уменьшаться до некоторого значения, а затем снова расти. Таким образом, функция (3) будет иметь минимум. Расстояние a, при котором T(a) принимает наименьшее значение, называется радиусом инерции маятника:

. (5)

При дальнейшем возрастании a период маятника растет как функция .

Рис. 8. Зависимость периода колебаний Tоборотного маятника от расстоянияaот точки подвеса до центра масс. В точках с координатами ±a₀функцияT(a)имеет минимумы.

График зависимости T(a) имеет вид, показанный на рис.8. Он имеет две ветви, соответствующие двум способам подвеса маятника: за верхнюю и за нижнюю опорную призму. Каждая ветвь имеет свою точку минимума T_min. Таким образом, для любого значения периода колебаний T₀, кроме T_min, можно подобрать два места крепления для каждой из опорных призм, где период равен именно этому значению T₀. то есть прямая T=T₀ будет пересекать ветви графика, изображенного на рисунке 8 в четырех точках.

Выберем два положения опорных призм на разных ветвях графика (на маятнике это будут точки закрепления опорных призм, для того, чтобы маятник мог совершать колебания относительно этих точек) по разные стороны от центра масс, так чтобы периоды колебаний маятника были равными. Эти две точки будут располагаться на расстояниях a₁ и a₂ относительно центра масс маятника:

. (6)

Эти расстояния не должны совпадать с радиусами инерции. В точках функцияимеет минимум и достаточно медленно растет при удалении от этих точек. Поэтому при подвешивании маятника вблизи точек ±a₀ малые изменения периода будут сопровождаться значительным разбросом значений параметра a. Для равенства периодов необходимо выполнение условия:

. (7)

Это возможно, в двух случаях: во-первых, если , и если

. (8)

Воспользуемся этими соотношениями и перепишем период (3) еще раз:

. (9)

Из формулы (9) получим выражение для ускорения свободного падения:

. (10)

Ход работы

1. Зафиксировать чечевицы на металлическом стержне несимметрично, так чтобы одна находилась вблизи конца стержня, а другая вблизи его середины. Опорные призмы закрепить по обеим сторонам центра масс маятника, так чтобы они были обращены друг к другу вершинами. Одну из них поместить вблизи свободного конца стержня, а вторую на середине расстояния между чечевицами. Проверить, насколько прочно зафиксированы опорные призмы. Закрепить маятник на вкладыше верхнего кронштейна на призме, находящейся вблизи стержня. Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком переместить таким образом, чтобы стержень маятника пересекал оптическую ось.

2. Измерить расстояние от одного из концов маятника до опорных призм и чечевиц и рассчитать положение центра масс, если известны массы стержня, чечевиц и опорных призм.

3. Отклонить маятник на 4⁰-5⁰ от положения равновесия и отпустить. Нажать клавишу «сброс». После 10 колебаний нажать клавишу «стоп». Рассчитать период маятника T₁.

4. Снять маятник и закрепить его на второй призме. Переместить нижний кронштейн с фотоэлектрическим датчиком так, чтобы он пересекал оптическую ось. Отклонить маятник на 4⁰-5⁰, измерить T_2. Если T₂< T₁, вторую призму переместить в направлении чечевицы, находящейся на конце стержня, если T₂> T₁ - то в направлении середины стержня. Отношение между величинами a₁ и a₂ должно быть не меньше 1,5 и не больше 3. Расположение чечевиц и первой призмы менять не следует.

5. Повторно менять положение опорной призмы, находящейся вверху и сравнивать с величиной T₁, до получения равенства T₂= T₁ с точностью 0,5%.

Обработка результатов

6. Масса стержня равна 0,5кг, масса каждой чечевицы 1,080кг, а масса каждой опорной призмы – 0,020кг. Зная положение каждого из грузов, и полагая, что центр масс стержня без грузов находится в его середине, рассчитать положение центра масс оборотного маятника.

7. Рассчитать положение каждого груза и середины стержня относительно центра масс оборотного маятника. Рассчитать момент инерции оборотного маятника J₀ относительно его центра масс по формулам (8).

8. Определить радиус инерции оборотного маятника по формуле (5).

9. Рассчитать приведенную длину по формуле

. (11)

Убедиться в ее справедливости и сравнить приведенную длину с суммой .

10. По формуле (10) рассчитать ускорение свободного падения.

Контрольные вопросы

1. Масса стержня равна 0,5кг, масса каждой чечевицы 1,080кг, а масса каждой опорной призмы – 0,020кг. По указанию преподавателя расположите и закрепите тела на стержне. Рассчитайте положение центра масс.

2. Как можно найти положение центра масс, не прибегая к расчетам?

3. Насколько важно точно определить положение центра масс при расчете по формуле (10)?

4. Объясните причины затухания колебаний. Как измерить значение коэффициента затухания?

5. Записать уравнение затухающих колебаний, его решение и построить график зависимости решения от времени.

6. Что такое добротность?

7. Как затухание влияет на частоту колебаний оборотного маятника?

8. Почему значения a₁иa₂ не должны находиться в окрестностях точек минимума функцииT(a), изображенной на рис. 8?

9. Убедиться, что функции являются решениями уравнения (1).

10. Показать, что при гармонических колебаниях кинетическая энергия маятника зависит от времени по гармоническому закону. С какой частотой меняется значение кинетической энергии?

11. По какому закону будет зависеть от времени потенциальная энергия?

12. Получить значение приведенной длины способом, отличным от метода, приведенного в разделе «Обработка результатов».

Литература: [1] - §21, 34, [2] - § 39-41, [3] - § 91, [11] – глава 7.