Вычисление момента инерции однородного шара

Рассчитаем момент инерции шара радиусаR и плотности ρ относительно оси, проходящей через его центр. Введем декартову прямоугольную систему координат с началом в центре шара (рис. 18). Пусть осью вращения является ось OZ. Разобьем мысленно шар на малые объемы , сумма которых равна объему шара:, а сумма массравна его массе. Будем считать их материальными точками. Момент инерции системы материальных точек относительно осиOZ равен сумме моментов:

. (25)

Шар однороден, это значит ρ=const, поэтому . Тогда формула (25) запишется в виде:

. (26)

Если элементы объема уменьшать так, что , то пределом суммы (26) будет интеграл

. (27)

Введем сферическую систему координат . Положение произвольной точкиM в ней характеризуется тремя числами: , гдеr- расстояние от M до начала координат, θ – угол между радиусом-вектором точки M и осью вращения OZ, φ – полярный угол. Они будут меняться в пределах:

(28)

Связь между декартовыми координатами любой точки пространства M(x, y, z) и сферическими Mэтой же точки имеет вид:

(29)

Элемент объема в сферических координатах . Квадрат расстояния от произвольной точкиM до оси вращения равен:

. (30)

Формула (27) для момента инерции в сферических координатах примет вид:

. (31)

Вычисление начнем с интеграла

(32)

Вычислим интеграл

. (33)

И, наконец, найдем последний интеграл:

. (34)

Масса шара равна . (35)

Тогда момент инерции шара относительно оси OZ запишется в виде:

. (36)

Аналогично можно рассчитать моменты инерции относительно осей OX и OY.

Ход работы

1. Определите диапазон углов, в пределах которого справедлива формула (10) и период колебаний не зависит от амплитуды. Измерьте период колебаний маятника для 10 различных значений максимального угла отклонения, в пределах от 15⁰до0⁰_,постепенно уменьшая угол отклонения, до тех пор, пока измеряемые периоды колебаний престанут отличаться друг от друга в пределах случайных ошибок эксперимента. Результаты занесите в таблицу 1. Сделайте вывод, в каком диапазоне амплитудных углов колебания можно считать изохронными, то есть не зависящими от амплитуды, с точностью до0,1; 0,5; 1%.

Таблица 1

θ	θ1	θ2	θ3	…	θ10
T(θ)	T(θ1)	T(θ2)	T(θ3)	…	T(θ10)

2. Определите добротность маятника.

3. Рассчитайте, при какой длине нити закрепленный на ней груз можно считать материальной точкой. Для этого измерьте при помощи штангенциркуля радиус шара, найдите массу шара и рассчитайте, в каких пределах длины нити момент инерции однородного шара будет составлять 5% от момента инерции МТ, закрепленной на невесомой нити длиныl. Используйте формулу (13)

4. Исследуйте зависимость периода колебаний Tи квадрата периодаT²от длины нитиl. Результаты занесите в таблицу.

l				…
T(l)				…
T2(l)				…

Постройте график экспериментальной зависимости .

Обработка результатов

5. Рассчитайте затухание маятника.

6. Оцените влияние затухания на период колебаний.

7. Методом наименьших квадратов найдите тангенс угла наклона зависимости и оцените погрешность метода.

8. По тангенсу угла наклона зависимости рассчитайтеg - ускорение свободного падения.

Контрольные вопросы

1. Что такое амплитуда, частота, фаза колебаний?

2. Как будут зависеть от времени кинетическая и потенциальная энергия математического маятника?

3. Какие функции являются решениями уравнения (9)? Проверить.

4. Как будут связаны между собой смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании?

5. Постройте график зависимости скорости осциллятора от его смещения при гармоническом колебании.

6. Что такое нелинейные колебания?

7. Что такое затухающие колебания? Запишите уравнение затухающих колебаний.

8. Начертите график зависимости затухающих колебаний от времени.

9. Рассчитайте логарифмический декремент затухания маятника.

10. Получите формулы для частоты и периода колебаний при наличии затухания.

11. Получите уравнение (14) для математического маятника, пользуясь законом сохранения энергии.

12. Убедитесь, что функция (18) является решением уравнения (17).

Литература: [1] - §34, [2] - § 39-41, [11] – глава 7.