Лабораторная работа №9. Наклонный маятник

Цель работы: изучение свободных затухающих колебаний наклонного маятника, определение коэффициента трения качения шарика по металлической пластинке.

Оборудование: лабораторная установка, входящая в состав набора приборов для лаборатории механики. Общий вид установки представлен на рис. 9. На основании (2) установлен миллисекундомер (1) и трубка (3) с червячным механизмом (4). К червячной передаче закреплен кронштейн (5) с колонкой (8). К кронштейну также крепится угловая шкала (6). На кронштейне есть пазы для закрепления сменных металлических пластин (10), по которым движется шарик (9). Угол наклона маятника можно менять при помощи воротка (9). С электронным таймером (1) соединен фотоэлектрический датчик (12). В состав электрического блока входит таймер и счетчик числа колебаний. Схема разработана таким образом, что изменение числа периодов на единицу происходит после каждого (кроме первого) нечетного прохождения телом через фотоэлектрический датчик, то есть после завершения очередного полного периода колебаний. Электронный блок управляется тремя клавишами: «СЕТЬ», «СТОП» и «СБРОС». Перед выполнением работы прибор следует включить в сеть. Затем, после нажатия кнопки «СЕТЬ», схема сброса устанавливает миллисекундомер в начальное состояние с нулевыми показаниями на цифровых индикаторах. Световой сигнал фотоэлектрического датчика распространяется от лампочки к фототранзистору. После нажатия кнопки «СБРОС» первое кратковременное прерывание светового потока, вызванное прохождением шарика через датчик, включает секундомер и счетчик периодов. Если нажать на кнопку «СТОП», первое нечетное прерывание светового сигнала, попадающего на фототранзистор, опять же, в момент прохождением шариком положения равновесия, останавливает работу таймера и счетчика периодов колебаний.

Рис. 9. Установка «наклонный маятник».

Время движения маятника и число периодов высвечивается на табло. Угол наклона маятника можно менять, вращая вороток червячного механизма. При этом будет меняться характер колебаний.

Теория эксперимента

Запишем уравнение движения для груза, подвешенного на нити и совершающего колебания в плоскости, расположенной под углом βк вертикали.

На рисунке 10 изображен груз, подвешенный на легкой малорастяжимой нити, совершающий колебания в плоскости, наклоненной к горизонту, и показаны силы, действующие на маятник. Допустим, в некоторый момент времени t=0 он был отклонен на угол α от положения равновесия (в этом положении нить направлена вдоль прямой, пресекающей оси OX и OZ). Потенциальная энергия маятника в поле силы земного тяготения равна .Кинетическая энергия маятника складывается из энергии поступательного и вращательного движения тела, подвешенного на нити:

. (1)

а) б)

Рис. 10. Наклонный маятник. Силы, действующие на колеблющийся груз.

Грузик поступательно движется со скоростью v и, одновременно, совершает вращательное движение с угловой скоростью ω. При перемещении тела на расстояние dx сила трения совершает отрицательную работу, равную убыли энергии маятника:

. (2)

Выполним дифференцирование и рассчитаем вклад каждой величины. Выполним преобразования для элементарной работы силы трения:

. (3)

Найдем приращение кинетической энергии поступательного движения, учитывая, что скорость поступательного движения шара связана с угловой скоростью колебательного движения формулой , тогда выражение для изменения кинетической энергии поступательного движения примет вид:

. (4)

Аналогично найдем приращение кинетической энергии вращательного движения:

. (5)

Напомним, что в нашем случае груз является однородным шаром. Пусть шар радиуса r катится по поверхности без проскальзывания, тогда его скорость поступательного движения v связана с угловой скоростью вращательного движения ω формулой:

. (6)

В то же время скорость поступательного движения шара связана с угловой скоростью колебаний маятника формулой:

. (7)

Таким образом, существует связь между угловыми скоростями вращательного и колебательного движения:

. (8)

Следовательно,

. (9)

Тогда выражение для приращения кинетической энергии вращательного движения примет вид:

. (10)

Рассчитаем приращение потенциальной энергии:

. (11)

Уравнение (2) для элементарной работы силы трения запишется в виде:

. (12)

Или . (13)

Если маятник отклоняется на малые углы, то , тогда уравнение (13) примет вид:

. (14)

Уравнение (14) является уравнением движения маятника, перепишем его:

. (15)

Уравнение (15) связывает неизвестную функцию, ее вторую производную и внешнюю силу. Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. В правой части уравнения стоит сила трения; ее выражение мы пока не нашли. Обратимся снова к рисунку 10 а. Сила реакции опоры равна . С такой же силой, но противоположной по направлению, тело давит на поверхность. Если принять, что сила трения не зависит от скорости, направление этой силы противоположно скорости, а значение зависит от силы нормального давления, то справедлива связь:

, (16)

где μ – коэффициент трения качения. Уравнение движения примет вид:

. (17)

Выполним небольшие преобразования, разделим (17) на множитель при второй производной, стоящий в скобках:

. (18)

Упростим формулу (19), для этого рассчитаем параметр η. Момент инерции шара равен , тогда

. (19)

Теперь уравнение (19) будет выглядеть значительно проще:

. (20)

Маятник будет совершать затухающие колебания с собственной частотой

. (21)

Период колебаний будет вычисляться по формуле:

. (22)

Если угол наклона , маятник колеблется в вертикальной плоскости, то в формуле для периода множительдолжен оставаться до тех пор, пока происходит качение шарика без проскальзывания по поверхности. Если же соприкосновения шарика нет, то этот множитель придется опустить.

Снова рассмотрим колебания маятника. Пусть в некоторый начальный момент времени маятник был отклонен на угол . Потенциальная энергия маятника была равна:

. (23)

Теперь отпустим маятник и предоставим ему возможность свободно двигаться. Двигаясь, маятник прошел самую нижнюю точку траектории, а затем, спустя полпериода, отклонился на угол . Потенциальная энергия маятника спустя половину периода будет равна:

. (24)

Во время движения на маятник будет действовать сила трения качения (24) и за половину периода она совершит работу:

, (25)

равную убыли потенциальной энергии за это же время:

. (26)

Или . (27)

Пусть маятник снова прошел нижнюю точку траектории и отклонился теперь уже на угол . Пропустив аналогичные выкладки, мы можем записать работу силы трения за полный период:

. (28)

Перепишем это выражение, с учетом формулы (24):

. (29)

Предположим, что: , тогда будет выполняться соотношение:

. (30)

Тогда из (29) следует связь:

. (31)

И мы можем получить выражение для коэффициента трения качения:

. (32)

Если же маятник совершит n колебаний, тогда формула для коэффициента трения качения примет вид:

. (33)

Ход работы

1. Вращая вороток, установить колонку и наклонную плоскость вертикально. Нить должна быть параллельна наклонной плоскости.

2. Определить длину маятника. Обратить внимание на то, чтобы стерженек, на который накручивается шарик, пересекал световой поток фотоэлектрического датчика.

3. Отклонить шарик от нижнего положения на 5-6⁰, нажать кнопку «сброс» после 9 периодов колебаний нажать кнопку «стоп», маятник завершит последний, десятый период и секундомер остановится. Рассчитать период колебаний математического маятника.

4. Наклонить мятник на угол 10⁰ относительно вертикали. Отвести груз на угол 5-6⁰ от положения равновесия, нажать «сброс» и отпустить груз. Измерить время 10 периодов колебаний и рассчитать время одного периода. Для углов наклона больше 50⁰ измерять время 2-3 периодов колебаний.

5. Выполнить измерения пункта 4) для различных углов наклона маятника, результаты измерений занести в таблицу 1:

Таблица 1

β	00	100	200	300	400	500	600	700	800
T1
T2
T3

6. С помощью воротка установить маятник под углом β=30⁰ к вертикали. Шар отклонить от положения равновесия на угол α₀= 4-5⁰, спустя один период, определить угол максимального отклонения шара α₁. Затем угол отклонения спустя два периода и три периода. Результаты записать в таблицу. Рассчитать изменение угла , результаты занести в таблицу. Выполнить серию измерений для угла наклона плоскости 30⁰. Повторить измерения для других углов таблицы 2.

Таблица 2

β	α0	α1	Δα1	α2	Δα2	α3	Δα3
300
450
600

Рассчитать коэффициент трения качения по формуле (33).

Обработка результатов

7. По данным таблицы 1 построить зависимость от. По результатам пункта 1) обозначить на графике минимальное значение периода колебаний при углеβ=0⁰. Как будет меняться период колебаний при стремлении , а?

8. Сделать вывод, зависит ли значение коэффициент трения качения от угла наклона плоскости колебаний маятника β.

Контрольные вопросы

1. Получить формулу для расчета случайной погрешности косвенной величиныμ.

2. Получить уравнение (20), применяя второй закон Ньютона.

3. Получить уравнение (20), применяя уравнение динамики вращательного движения.

4. Как изменится вид уравнения (20), если шарик будет двигаться с проскальзыванием?

5. Если в качестве груза закрепить на маятнике шарик для настольного тенниса, какую силу следует учесть? Изменится ли в этом случае вид уравнения движения?

6. Какова скорость поступательного движения точки касания шара с плоскостью в момент касания?

7. Как изменится период колебаний маятника, если вместо шарика закрепить в качестве груза горизонтальный диск?

8. Построить график распределения скоростей на вертикальном диаметре катящегося шара.

9. Получите формулу (33).

10. Потери энергии шарика за половину периода пропорциональны длине пройденной им дуги. Сделайте предположения относительно последовательности ; какой будет формула (33)?

11. Перечислите причины неучтенных погрешностей в настоящей работе.

12. В каких случаях шарик будет двигаться по наклонной плоскости с проскальзыванием?

Литература: [1] - §21, 34, [2] - § 39-41, [3] - § 90, [11] – глава 7.