7.2.Пример выполнения лабораторной работы
7.2.1.Задание к лабораторной работе
1.Найдите шаг интегрированияh для вычисления интеграла
b
ò f (x)dx по формуле трапеций с точностью e = 0,001.
a
2.Вычислите интеграл по формуле трапеций с шагами2h и h. Дайте уточненную оценку погрешности.
3.Вычислите интеграл по формуле Симпсона с шагами2h и h. Дайте уточненную оценку погрешности.
4. Вычислите |
определенный |
интеграл |
по |
форму |
Ньютона–Лейбница. |
Сравните приближенные |
значения |
интеграла |
с |
точными. Какая формула численного интегрирования дала более точный результат?
Указание. Шаг h следует выбирать с учетом дополнительного
условия: отрезок интегрирования должен разбиваться на число частей, кратное 4.
7.2.2. Решение типового примера
Найти значение интеграла функции f (x) = (x2 -1)-1 , заданной на
отрезке [2,4]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Сначала |
|
найдем |
шаг |
|
интегрированияh для вычисления |
||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
по формуле трапеций с точностью e = 0,001. |
|
|
||||||||||||||||||||
интеграла ò f (x)dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы |
|
найти |
шагh |
|
|
с |
|
|
помощью |
|
|
|
M |
| b - a | h2 |
< e |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
формулы |
12 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M = max | f |
¢¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |; x Î[a, b], найдем вторую производную. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
f '(x) = - |
|
2x |
|
|
, f "(x) = |
|
6x2 + 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(x |
2 |
-1) |
2 |
|
(x |
2 |
-1) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
|
|
|
6x2 + 2 |
|
|
= |
|
¢¢ |
|
= 0,9630 . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||||
Тогда M = max | f (x) |= max |
](x |
-1) |
|
|
f (2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
xÎ[a,b |
] |
|
xÎ[2,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
95
M |
| b - a | h2 |
|
| 4 - 2 | h2 |
|
||
|
< e , 0,9630 |
|
< 0,001, h2 |
< 0,0062, h < 0,0787. |
||
12 |
12 |
|||||
|
|
|
|
|||
Найдем количество шагов, на которое нужно разделить отрезок с шагом h < 0,0787 для достижения точности e = 0,001.
n > b - a , n > 25,4130. h
Следуя указанию, возьмем количество частей отрезка кратное4, т. е. n = 28 . Следовательно, шаг интегрирования h = 0,0714.
2. Вычислим интеграл по формуле трапеций с шагом h = 0,0714.
Получим
4
I (h) = ò(x2 -1)-1 dx »0,0714(0,1667 + 0,3039 + 0,2787 +... + 0,0333) » 0,2940.
2
Увеличим шаг в два раза и посчитаем интеграл I (2h) .
2h = 0,1428, n =14, I (2h) » 0,2945.
Для определения погрешности воспользуемся правилом Рунге.
I - I ТР (h )» 0,2940 - 0,2945 » 0,0002. 3
Итак, по формуле трапеций
4
ò(x2 -1)-1 dx = 0,294 ± 0,0002 .
2
3. Вычислим интеграл по формуле Симпсона с шагами 2h и h.
Интеграл с шагом h = 0,0714, n = 2m = 28, m =14
4
I (h) = ò(x2 -1)-1 dx »
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
2 ×0,0714 |
æ |
0,3333+ 0,0667 |
|
|
ö |
||
|
|
|
|
|||||
» |
|
ç |
|
+ 2 ×0,3039+ 0,2787+... |
+ 2 |
×0,1320÷ |
» 0,29384 |
|
3 |
2 |
|||||||
|
è |
|
|
ø |
|
|||
Увеличим шаг в два раза и посчитаем интеграл I (2h) . |
|
|||||||
2h = 0,1428, |
n = 2m =14, m = 7 , I (2h) » 0,29385. |
|
|
|
||||
Для определения погрешности воспользуемся правилом Рунге.
96
I - I С (h )» 0,29384 - 0,29385 » 4,03×10-7 . 15
Итак, по формуле Симпсона
4
ò(x2 -1)-1 dx = 0,2938 ± 4,03×10-7 .
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вычислим |
|
|
|
|
определенный |
|
|
|
интеграл |
по |
форму |
|||||||||||||||||||||||||||
Ньютона–Лейбница. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 |
|
2 |
|
|
|
-1 |
|
1 |
4 æ |
1 |
|
|
1 ö |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ò(x |
|
-1) |
|
dx = |
|
òç |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
÷dx |
= |
|
|
(ln | |
x -1 | - ln | x +1 |) |
= |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 è x -1 x +1ø |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
. |
|||||||||||||||||||
= |
1 |
(ln 3 - ln1 - ln 5 + ln 3) = |
1 |
ln |
9 |
» 0,293 89 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
= |
A |
+ |
|
B |
= |
|
|
|
|
1 |
|
- |
1 |
; |
|
|
||||||||||
|
x 2 |
-1 |
(x -1)(x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x +1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x -1 |
|
|
|
x +1 2(x -1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
A(x+1) + B(x+1) = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x: A + B=0, тогда A = – B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x0: A – B = 1, – 2B = 1, B = |
- |
1 |
, A = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Получаем, что I = 0,293 89.
Сравнивая приближенные значения интеграла с точными, видим,
что формула Симпсона дает более точный результат интегрирования в отличие от формулы трапеций.
97
|
7.2.3. Варианты заданий |
|
|
№ |
Интеграл |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
13 |
|
|
|
14 |
|
|
|
15 |
|
|
|
16 |
|
|
|
17 |
|
|
|
18 |
|
|
|
19 |
|
20 |
|
|
|
21 |
|
|
|
22 |
|
|
|
23 |
|
|
|
24 |
|
|
|
25 |
|
26 |
|
|
|
27 |
|
|
|
28 |
|
|
|
29 |
|
|
|
30 |
|
|
|
98