- •Федеральное агентство по образованию
- •2. Содержание и структура дисциплины (часть 1).
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •91. ,,.
- •Раздел II.Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Часть 1.
- •А); б) ; в) .
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Множества. Числовые множества. Функция.
- •Тема 2. Комплексные числа и многочлены.
- •Тема 3. Предел функции. Эквивалентные функции.
- •Тема 4. Числовые последовательности. Предел последовательности.
- •Тема 5. Непрерывность функции.
- •Тема 6. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •7.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.
- •7.2 Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •7. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.
- •7.4 Построение графиков функций.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Тема 12. Неявные и выпуклые функции.
- •Тема 13. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Тема 14. Приложения к общей экономической теории.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •С о д е р ж а н и е
6. Приложения.
6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
Часть 1.
1-10. Требуется:
а) найти естественную область определения функции ;
б) установить чётность (нечётность) функции .
Решение. а) Естественную область определения находим как множество всех значений аргументафункции, для которых формулаимеет смысл:. Решив (на числовой прямой) систему неравенств, устанавливаем, что геометрическим образом множестваявляется промежуток.
б) Находим сначала естественную область определения функции :. Решив (на числовой прямой) неравенство , устанавливаем, что геометрическим образом множестваявляется объединение промежутков.
Так как область является симметричной относительно точки, то проверяем выполнение для всехусловий:или, учитывая чётность и нечётность основных элементарных функций, входящих в аналитическое выражение.
Если область не симметрична относительно точки, тона этом множестве является функцией общего вида.
Для этого находим . Посколькудля всех, то функция является чётной.
Ответ: а) ,;
б) функция - чётная.
11-21. Вычислить пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) б) в) г)д)
Вычисление предела , где, начинают всегда с подстановки впредельного значения её аргумента. В результате могут получиться неопределённости,,, которые раскрывают тождественными преобразованиямитакими, чтобы преобразованное выражение получилось определённым. При вычислении пределов используют свойства конечных пределов и бесконечно больших функций, а также следующие известные пределы:,, (),,,,,.
Решение. а) При подстановке вместо переменной её предельного значенияполучим неопределённость. Для её раскрытия сначала разделим числитель и знаменатель дроби на(старшую степень переменнойв числителе и знаменателе), после чего используем свойства конечных пределов и бесконечно больших функций. Получим
.
б) При подстановке вместо переменной её предельного значенияполучим неопределённость. Для её раскрытия выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель вида, где- некоторое число, т.е. множитель. Затем сократим на него числитель и знаменатель дроби, после чего используем свойства пределов.
1) В квадратном трёхчлене множитель выделяют разложением квадратного трёхчлена по формуле, где.2) В выражении множитель выделяют следующим способом:
.
В результате получим
.
в) При подстановке вместо переменной её предельного значенияполучим неопределённость. Выделим в числителе множители вида, гдеприи используем свойства пределов. Получим
Для раскрытия неопределённостей , содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, в числителе и знаменателе дроби выделяют сначала множители вида:,,,, гдепри, используя формулы тригонометрии: , , . После чего применяют свойства пределов, учитывая, что: ,,,.
.
г) При подстановке вместо переменной её предельного значенияполучим неопределённость.
Для раскрытия неопределённости , возникающей при вычислении предела, где,, сначала выражение представляют в виде, гдепри. После чего используют свойства пределов, заменяя выражениеего предельным значениеми учитывая, что=.
Представим в виде, гдепри ,следующим способом:
=. Тогда учитывая, что,, получим ==.
д)
Для вычисления предела , гдепредставляет собой дробь, числитель и знаменатель которой содержат факториалы натурального числа, поступают следующим образом. Выделяют в числителе и знаменателе в качестве общего множителя факториал меньшего натурального числа и сокращают на него. В результате получают выражение, предел которого находят рассмотренными выше способами.
Для вычисления данного предела сначала выразим ,,через:,,, после чего сократим числитель и знаменатель на:
.
В результате получили неопределённость . Для её раскрытия разделим числитель и знаменатель дробина (старшую степень переменнойчислителя и знаменателя), после чего используем свойства пределов. Получим
.
Ответ: а); б);в); г); д).
21-30. Для указанной функции требуется: а) выяснить при каких значениях параметра функция будет непрерывной; б) найти точки разрыва функции и исследовать их характер. Построить график функции.
а) ; б).
Решение.
Точками разрыва функции являются точки разрыва функцийв промежутках,,…,, кроме того, точками возможного разрыва функцииявляются точкив окрестности которых и в самих точках функция задаётся разными аналитическими выражениями.
Точка является точкой непрерывности функциитогда и только тогда, когда:.
а) Поскольку функции инепрерывны в промежуткахикак элементарные функции, определённые в каждой точке данных промежутков, то непрерывность функции может нарушиться только в точке её возможного разрыва .
Определяем значение параметра из условия непрерывности функциив точке: .Вычисляя ,,:,,, из условия непрерывности, находим.
График непрерывной функции имеет вид изображённый на рис. 1.
б) Функции инепрерывны в промежуткахикак элементарные функции, определённые в каждой точке данных промежутков, а функцияв промежуткеимеет точкой разрыва точку, в которой она не определена. Тогда для функции точка является точкой разрыва, а точкии, в окрестности которых и в самих точках функция задаётся разными аналитическими выражениями, являются точками возможного разрыва.
Исследуем на непрерывность точки :
1)
.
Следовательно, точка - точка разрыва 1-го рода функции.
2)
Следовательно, точка - точка бесконечного разрыва (2-го рода) функции.
3)
.
Следовательно, точка - точка непрерывности функции.
График функции имеет вид, изображённый на рис.2.
Ответ: а) Функция непрерывна при(рис.1);б) - точка разрыва 1-го рода, -точка бесконечного разрыва функции (рис.2).
Рис.1 Рис.2
31-40. Найти производную :
а) ; б); в).
Нахождение производной функциизаданной явно, с помощью правил дифференцирования:
(),,,,,,,сводят к нахождению табличных производных.
Производную функциизаданной параметрическими уравненияминаходят в параметрическом виде по формуле.
Решение.
а) , где
=;
Тогда .
б) ,где
.
.
Тогда
.
в) Производную функции , заданной параметрическими уравнениями находим по формуле ,где
;
.
Тогда .
41-50. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.