- •Федеральное агентство по образованию
- •2. Содержание и структура дисциплины (часть 1).
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •91. ,,.
- •Раздел II.Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Часть 1.
- •А); б) ; в) .
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Множества. Числовые множества. Функция.
- •Тема 2. Комплексные числа и многочлены.
- •Тема 3. Предел функции. Эквивалентные функции.
- •Тема 4. Числовые последовательности. Предел последовательности.
- •Тема 5. Непрерывность функции.
- •Тема 6. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •7.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.
- •7.2 Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •7. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.
- •7.4 Построение графиков функций.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Тема 12. Неявные и выпуклые функции.
- •Тема 13. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Тема 14. Приложения к общей экономической теории.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •С о д е р ж а н и е
91. ,,.
92. ,,.
93. ,,.
94. ,,.
95. ,,.
96. ,,.
97. ,,.
98. ,,.
99. ,,.
100. ,,.
101 – 110. Найти: а) производнуюфункциив точкепо направлению вектора;б) градиент функции и его величину || в точке.
101. , ,
102. , ,
103. , ,
104. , ,
105. , ,
106. , ,
107. , ,
108. , ,
109. , ,
110. , ,
111 – 120. Затраты, необходимые для производства единиц данной продукции задаётся функцией издержек. Продукция реализуется по фиксированной ценеза единицу. Требуется найти:а) оптимальное значение выпуска продукции, при котором производитель получит максимальную прибыль;б) средние значения издержек производства и прибыли при ;в) эластичность издержек производства и прибыли при . Сделать выводы
111. ,112.,
113. ,114.,
115. ,116.,
117. ,118.,
119. ,120.,
5.2. Вопросы к экзамену (часть 1).
Раздел I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.
Понятие множества. Подмножество. Универсальное множество. Способы задания множеств. Равенство и эквивалентность множеств.
Пересечение, объединение и разность множеств. Дополнение множества. Диаграммы Эйлера-Венна.
Множества чисел. Счётные и несчётные множества. Множество действительных чисел, его геометрическая интерпретация и свойства.
Модуль действительного числа и его свойства.
Числовые множества. Верхняя и нижняя грани, наибольший и наименьший элементы числовых множеств. Числовые промежутки. Окрестность конечной точки и бесконечности.
Понятие функции. Основные способы задания функции. Естественная область определения функции. Явная, неявная и параметрическая формы аналитического задания функции. График функции.
Основные элементы поведения функции (чётность, нечётность, периодичность, ограниченность, монотонность).
Основные элементарные функции (степенные:,,,,; тригонометрические:,,,; обратные тригонометрические:,,,; показательная, логарифмическая), их свойства и графики.
Понятие обратной и сложной функций. Элементарные функции, их классификация. Преобразование графиков элементарных функций.
Простейшие элементарные функции: ,,, их свойства и графики.
Понятие числовой последовательности, арифметические операции над ними. Ограниченные и неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства.
Предел числовой последовательности и его геометрический смысл. Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.
Монотонная последовательность и признак её сходимости. Число . Задача о непрерывном начислении процентов по банковским вкладам.
Понятие предела функции в конечной точке и на бесконечности, их геометрический смысл. Односторонние пределы. Условия существования предела функции в конечной точке.
Бесконечно малые и большие функции, их основные свойства и взаимосвязь. Примеры бесконечно малых и больших функций.
Функции, ограниченные при . Взаимосвязь между функциями, имеющими предел и ограниченными при.
Основные теоремы о пределах функций (о пределе постоянной, суммы, разности, произведения и частного функций; о пределе сложной и элементарной функций). Предельный переход в неравенствах.
Первый и второй замечательные пределы, их следствия и применение при вычислении пределов.
Эквивалентные бесконечно малые функции, их основные свойства и применение при вычислении пределов.
Определения непрерывности функции в точке. Понятие непрерывности справа и слева. Условия непрерывности функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями.
Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций. Условие существования непрерывной обратной функции.
Понятие непрерывности на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке (об ограниченности функции, об обращении функции в нуль, о наибольшем и наименьшем значениях функции).
Точки разрыва функции, их классификация и нахождение.
Комплексное число, его изображение на плоскости. Комплексно-сопряжённое число. Модуль и аргумент комплексного числа. Различные формы записи комплексного числа (алгебраическая, тригонометрическая). Множество комплексных чисел, его геометрическая интерпретация.
Действия над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление) в алгебраической и тригонометрической формах.
Возведение комплексного числа в степень. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
Понятие многочлена, алгебраического уравнения. Основная теорема алгебры и теорема Безу. Разложение многочлена на множители. Нахождение корней квадратного уравнения на множестве комплексных чисел.