- •Федеральное агентство по образованию
- •2. Содержание и структура дисциплины (часть 1).
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •91. ,,.
- •Раздел II.Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Часть 1.
- •А); б) ; в) .
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Множества. Числовые множества. Функция.
- •Тема 2. Комплексные числа и многочлены.
- •Тема 3. Предел функции. Эквивалентные функции.
- •Тема 4. Числовые последовательности. Предел последовательности.
- •Тема 5. Непрерывность функции.
- •Тема 6. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •7.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.
- •7.2 Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •7. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.
- •7.4 Построение графиков функций.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Тема 12. Неявные и выпуклые функции.
- •Тема 13. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Тема 14. Приложения к общей экономической теории.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •С о д е р ж а н и е
Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
Пусть - область в двумерном пространстве.Скалярным полем на называется числовая функция, заданная в точках. Линии, гденазываютсялиниями уровня скалярного поля .
Пусть - область в трёхмерном пространстве.
Скалярным полем на называется числовая функция, заданная в точках. Поверхности, гденазываютсяповерхностями уровня скалярного поля .
Градиентом скалярного поля называется вектор
.
Производная скалярного поля по направлению произвольного вектора вычисляется по формуле, где,,- направляющие косинусы вектора.
Градиент скалярного поля в точкенаправлен по нормали к поверхности уровня, проходящей черезв сторону возрастания поля, а его модульравен наибольшей производной по направлению в этой точке.
Пусть - область в трёхмерном пространстве.Векторным полем на называется векторная функция, заданная в точках, где- радиус-вектор точки. Аналогично определяется плоское векторное поле.
Векторной линией (силовой линией, линией тока) называется гладкая кривая, касательная к которой в каждой точке имеет направление соответствующего ей вектора поля. Векторные линии полянаходятся из системы дифференциальных уравнений
.
Если - плоская кусочно-гладкая простая (без точек самопересечений) замкнутая кривая, нигде не касающаяся векторных линий поля, то поверхность, образованная векторными линиями, пересекающими, называетсявекторной трубкой поля .
Дивергенцией векторного поля называется скалярная величина.
Ротором (вихрем) векторного поля называется вектор.
Все операции векторного анализа можно выразить при помощи оператора Гамильтона – символического вектора (читается - набла), определяемого равенством. Так, например:,,.
Векторное поле называетсяпотенциальным, если , где-скалярная функция (потенциал векторного поля).
Векторное поле называетсясоленоидальным, если в каждой точке поля .
Тема 12. Неявные и выпуклые функции.
Если уравнение , где- дифференцируемая функция по переменным, определяеткак функцию независимых переменных, то частные производные этой неявной функциивычисляются по формулам:,,…,при условии, что.
В частности, для функции , заданной неявно уравнениемсправедлива формула, при условии, а для функции, заданной уравнением
справедливы формулы:,, при условии.
Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.
Уравнение касательной плоскости к поверхности , заданной неявным уравнением, в точкеимеет вид, ауравнение нормали –вид .
Множество точек называетсявыпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками и, оно содержит и отрезок.
Функция , определённая на выпуклом множественазываетсявыпуклой вверх, если для всех точек , где,и для любоговыполняется неравенствоивыпуклой вниз, если выполняется неравенство .
Матрицей Гессе функции в точке
называется матрица .
Дважды дифференцируемая на выпуклом множестве функцияявляется на этом множестве:1) выпуклой вниз, если при всех;2) выпуклой вверх, если при всех. Если на множествематрица Гессефункциизнакопеременна, тона этом множестве выпуклой не является.
Знакоопределённость матрицы Гессе устанавливают, используя критерий Сильвестра знакоопределённости квадратичных форм.
Пусть , где- матрица квадратичной формы.Главными минорами матрицы называются миноры порядка(), составленные из первыхстрок и первыхстолбцов матрицы:,,…,.
Критерием знакоопределённости невырожденной симметрической матрицы являетсякритерий Сильвестра:
- матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все её главные миноры положительны, т.е. ,,,;
- матрица отрицательно определена тогда и только тогда, когда для всех её главных миноров выполняются неравенства: ,,,,(все миноры нечётного порядка отрицательны, а чётного – положительны) ;
- матрица знакопеременна тогда и только тогда, когда для её главных миноров выполняется хотя бы одно из условий: один из главных миноров равен нулю, один из главных миноров чётного порядка отрицателен, два главных минора нечётного порядка имеют разные знаки.