![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Федеральное агентство по образованию
- •2. Содержание и структура дисциплины (часть 1).
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •91. ,,.
- •Раздел II.Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Часть 1.
- •А); б) ; в) .
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Множества. Числовые множества. Функция.
- •Тема 2. Комплексные числа и многочлены.
- •Тема 3. Предел функции. Эквивалентные функции.
- •Тема 4. Числовые последовательности. Предел последовательности.
- •Тема 5. Непрерывность функции.
- •Тема 6. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •7.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.
- •7.2 Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •7. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.
- •7.4 Построение графиков функций.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Тема 12. Неявные и выпуклые функции.
- •Тема 13. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Тема 14. Приложения к общей экономической теории.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •С о д е р ж а н и е
Тема 13. Экстремумы функций нескольких переменных.
Точка
,
принадлежащая области определения
функции
,
называется стационарной
точкой
функции,
если в этой точке каждая из её частных
производных равна нулю, т.е.
,…,
или
.
Точка
называетсяточкой
минимума
(максимума)
функции
,
если существует окрестность точки
такая, что для всех точек
этой окрестности выполняется неравенство
(
).
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Необходимое
условие экстремума.
Если
-
точка локального экстремума функции
,
дифференцируемой в точке
,
то
-
стационарная точка функции.
Достаточное
условие экстремума.
Пусть
- стационарная
точка дважды дифференцируемой в точке
функции
.
Тогда, если при всевозможных наборах
значений
,
не равных одновременно нулю:
1)
,
то в точке
функция
имеет максимум;2)
,
то в точке
функция имеет минимум;3)
принимает как положительные, так и
отрицательные значения, то в точке
функция
не
имеет экстремума.
Исследование
знака
сводится к исследованию знакоопределённости
второго дифференциала, как квадратичной
формы относительно переменных
(например,
с помощью критерия Сильвестра).
В
частности, функция
в стационарной точке
,
при условии
,
где
,
,
:1)
имеет максимум, если
и
;2)
имеет минимум, если
и
;3)
не имеет экстремума, если
.
Точка
называетсяточкой
условного минимума
(максимума)
функции
,
если существует окрестность точки
такая, что для всех точек
этой окрестности, удовлетворяющих
уравнениям связи
(
)
выполняется неравенство
(
).
Точки условного минимума и максимума
функции называютсяточками
условного экстремума,
а значения функции в этих точках –
условными
экстремумами
функции.
Задача
нахождения условного экстремума сводится
к нахождению обычного экстремума функции
Лагранжа
,
где
(
)
–постоянныемножители
Лагранжа.
Необходимое
условие условного экстремума.
Если
-
точка условного экстремума функции
при наличии уравнений связи
(
)
, то в точке
выполняются условия
.
Решая
данную систему, находят неизвестные
координаты точки
,
в которой возможен условный экстремум
и соответствующие ей значения множителей
Лагранжа
.
Вопрос
о существовании и характере условного
экстремума решается на основании
изучения (например, с помощью критерия
Сильвестра) знака второго дифференциала
функции Лагранжа
в точке
при значениях
,
рассматриваемого как квадратичная
форма относительно переменных
при условии, что они связаны соотношениями:
(
).
В
частности, для функции
исследуется знак
при условии
.
Достаточное
условие условного экстремума.
Пусть
- точка
возможного условного экстремума функции
,
т.е. в этой точке выполнены необходимые
условия условного экстремума. Тогда,
если при всевозможных наборах значений
,
удовлетворяющих соотношениям
(
)
и не равных одновременно нулю:1)
,
то в точке
функция
имеет условный максимум;2)
,
то в точке
функция имеет условный минимум;3)
принимает как положительные, так и
отрицательные значения, то в точке
функция
не имеет условного экстремума.
Если
функция
дифференцируема в ограниченной и
замкнутой области, то она достигает
своих наибольшего и наименьшего значений
в этой области или в стационарной точке,
или в граничной точке области.