- •Федеральное агентство по образованию
- •2. Содержание и структура дисциплины (часть 1).
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •91. ,,.
- •Раздел II.Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Часть 1.
- •А); б) ; в) .
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Множества. Числовые множества. Функция.
- •Тема 2. Комплексные числа и многочлены.
- •Тема 3. Предел функции. Эквивалентные функции.
- •Тема 4. Числовые последовательности. Предел последовательности.
- •Тема 5. Непрерывность функции.
- •Тема 6. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •7.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.
- •7.2 Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •7. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.
- •7.4 Построение графиков функций.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Тема 12. Неявные и выпуклые функции.
- •Тема 13. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Тема 14. Приложения к общей экономической теории.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •С о д е р ж а н и е
Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
Частной производной (1-ого порядка) функции в точкепо переменнойназывается предел, если этот предел существует. Частную производную обозначаютили.
Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны.
Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка. При этом используются обозначения:
, ().
Производные () называютсясмешанными. Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго. Для функции частные производные обозначаются:
, ,,,,,… или,….
Если смешанные частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования.
Полным приращением функции в точке, соответствующим приращениям аргументовназывается разность.
Функция называетсядифференцируемой в точке , если её полное приращение может быть представлено в виде, гдепри,- числа, не зависящие от.
Полным дифференциалом функциив точкеназывается главная, линейная относительночастьполного приращенияфункции, равная, где.
Функция, обладающая в точкенепрерывными частными производными, всегда имеет в этой точке полный дифференциал. Для функциидифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала.
Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменные являются функциями новых, независимых переменных (свойство инвариантности формы первого дифференциала).
Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается, т. е.. В общемдифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала-ого порядка и обозначается, т.е..
Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциалафункциисправедлива символическая формула, формально раскрываемая по биномиальному закону. Например, для функциисправедливы формулы:,,
а для функции - формулы:,
.
Для функции -кратная дифференцируемость в точкеравносильна существованию в этой точке её полного дифференциала-ого порядка.
Если функция раз дифференцируема в точке, то в этой точке значение любой смешанной частной производной-ого порядка не зависит от порядка дифференцирования.
Если функция дифференцируемараз в точке, то приимеет местоформула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано
,
где при. Частный случай формулы Тейлора в точкеназываетсяформулой Маклорена.
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точкеимеет вид
,
а уравнение нормали – вид .
Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки, в которой функция дифференцируема, по формуле:.
В частности, для функции по формуле:, где,. Чем меньше значение, тем точнее формула.
Если - дифференцируемая функция переменных, являющихся дифференцируемыми функциями независимой переменной:, то производная сложной функциивычисляется по формуле. Еслисовпадает с одним из аргументов, например, то производная, называемая «полной» производной функциипо, вычисляется по формуле
.
Если - дифференцируемая функция переменных, являющихся дифференцируемыми функциями независимыx переменных :,…,, то частные производные сложной функциивычисляются по формулам:
,
………………………….………………..,
.
В частности, для функции справедливы формулы:
, где ;
, где ;
, , где,.